1.导数应用之函数单调性欧阳光明（2021.03.07）题组1：1.求函数32()3912f x x x x =--+的单调区间.2.求函数2()3ln f x x x x =-+的单调区间.3.求函数2()3ln f x x x x =+-的单调区间.4.求函数1()ln f x x x =的单调区间. 5.求函数ln ()ln ln(1)1x f x x x x=-+++的单调区间.题组2：1.讨论函数4322411()(0)43f x x ax a x a a =+-+>的单调区间. 2.讨论函数32()3912f x x ax x =+--的单调区间.3.求函数321()(2)4132m f x mx x x =-+++(0)m >的单调递增区间. 4.讨论函数1ln )1()(2+++=ax x a x f 的单调性. 5.讨论函数1()ln 1af x x ax x-=-+-的单调性. 题组3：1.设函数32()1f x x ax x =+++. (1)讨论函数()f x 的单调区间；(2)设函数()f x 在区间21()33--，内是减函数,求a 的取值范围． 2.(1)已知函数2()ln f x ax x x =++在区间(1,3)上单调递增,求实数a 的取值范围.(2)已知函数2()ln f x ax x x =++在区间(1,3)上单调递减,求实数a的取值范围.3.已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++. (1)若3a b ==-,求()f x 的单调区间；(2)若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调递增,在(,2),(,)αβ+∞单调递减,证明:6βα-＞.解：（1）当a ="b =" -3时，f （x ）=(x+3x-3x -3)e，故= (3)分当x <-3或0<x <3时，>0; 当-3<x <0或x >3时，<0,从而f(x)在（-，-3），（0，3）上单调递增，在（-3，0），（3，+）上单调递减………. 6分(2) (7)分 (8)分将……..…..…………….10分………………………………………………..11分.由此可得a<-6,于是>6。

………………………………………………… 12分4.设函数322()1f x x ax a x =+-+,2()21g x ax x =-+, (1)若0a >,求函数()f x 的单调区间；(2)若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数,求a 的取值范围．2.导数应用之极值与最值1.设函数2132()x f x x e ax bx -=++,且2x =-和1x =均为()f x 的极值点．(1)求a ,b 的值,并讨论()f x 的单调性； (2)设322()3g x x x =-,试比较()f x 与()g x 的大小． 2.设函数2()()f x x x a =-.(1)若'(1)3f =,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (2)求函数()y f x =在区间[]2,0上的最大值. 3.设函数233)(x ax x f -=．(1)若2=x 是函数)(x f y =的极值点,求a 的值；(2)若函数()()()g x f x f x '=+,[02]x ∈，,在0=x 处取得最大值,求a 的取值范围．4.已知函数321()23f x x x =+-.(1)设n S 是正项数列{}n a 的前n 项和,13a =,且点211(,2)n n n a a a ++-在函数'()y f x =的图象上,求证:点(,)n n S 也在'()y f x =的图象上；(2)求函数()f x 在区间(1,)a a -内的极值.5.设函数322()31f x ax bx a x =+-+在1x x =,2x x =处取得极值,且122x x -=． (1)若1a =,求b 的值,及函数()f x 的单调区间； (2)若0a >,求实数b 的取值范围．6.设函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+在1x 处取得极大值,在2x 处取得极小值,且12012x x <<<<.证明:0a >,并求2a b +的取值范围. 7.已知1x =是函数3213()(1)532f x ax x a x =-+++的一个极值点, (1)求函数()f x 的解析式；(2)若()y f x =的图像与直线2y x m =+有三个不同的交点,求实数m 的取值范围.8.已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点.(1)求()f x 的解析式及其单调区间；(2)若直线y b =与曲线()y f x =有三个交点,求b 的取值范围. 9.设函数432()2()f x x ax x b x =+++∈R ．(1)若函数()f x 仅在0x =处有极值,求a 的取值范围；(2)若对于任意的[]22a ∈-，,不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立,求b 的取值范围．10.设3x =是函数23()()x f x x ax b e -=++的一个极值点.(1)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求函数()f x 的单调区间； (2)设0a >,225()()4xg x a e =+.若存在．．[]12,0,4x x ∈,使12()()1f x g x -<总成立,求a 的取值范围. 11.已知函数21()kx f x x c+=+(0c >且1c ≠)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是x c =-．(1)求函数()f x 的另一个极值点；(2)求函数()f x 的极大值M 和极小值m ,并求1M m -≥时k 的取值范围．12.设函数32()f x ax bx cx d =+++的图像∏上有两个极值点,P Q ,其中P 为坐标原点,(1)当点Q 的坐标为(1,2)时,求()f x 的解析式；(2)当点Q 在线段50x y +-=(13)x ≤≤上时,求曲线∏的切线斜率的最大值.3.导数应用之函数的零点题组1：1.函数2()3x f x x =-在区间[1,0]-内有没有零点？为什么？2.函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是【 】.A.(2,1)--B.(1,0)-C.(0,1)D.(1,2) 3.函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25,则()f x 可以是【 】.A.()1x f x e =-B.()41f x x =-C.2()(1)f x x =-D.1()ln()2f x x =-4.若234a b <<<<,且函数()log a f x x x b =+-的零点0(,1)x n n ∈+()n Z ∈,则n =【 】.A.1B.2C.3D.4题组2：5.设函数)(x f y =的图像在[,]a b 上连续,若满足____________,则方程0)(=x f 在[,]a b 上有实根.6.已知0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点.若10(1,)x x ∈,20(,)x x ∈+∞,则【 】.A.1()0f x <,2()0f x <B.1()0f x <,2()0f x >C.1()0f x >,2()0f x <D.1()0f x >,2()0f x > 7.函数1()f x x x=+的零点个数为____________. 8.求证:函数23()21f x x x =---在区间(0,2)内没有零点. 题组3：9.函数2()log f x x x =+在区间(0,1)内是否有零点？为什么？ 10.求证:函数4()21f x x x =--在区间[1,2]-内至少有两个零点. 11.求证:函数()(3)(8)1f x x x =---有且只有两个零点.12.求证:函数2()ln 1f x x x x =-++有且只有两个零点.13.设函数c bx ax x f ++=2)(,若0)1(>f ,0)2(<f ,则)(x f 在区间)2,1(上的零点个数为【 】.A.至多有一个B.有且只有一个C.有一个或两个 D.一个也没有14.设(1,)m ∈+∞,求证:函数()ln()f x x x m =-+有且只有两个零点. 15.判断函数2()lg f x x x =-在区间(0,10)内的零点个数,并说明理由. 题组4：16.设函数()1n n f x x x =+-*(,2)n N n ∈≥.(1)证明:()n f x 在区间)1,21(内存在唯一的零点； (2)设n x 是()n f x 在)1,21(内的零点,判断数列23,,,nx x x 的增减性．17.设函数2()(2)ln f x x a x a x =---．(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a 的值； (3)若方程()f x c =有两个不等实根12,x x ,求证:12()02x x f +'>． 18.设函数2ln 2)(x mx x x f -+=有两个零点21,x x ,求证:12()02x x f +'<.19.设函数()ln f x x ax =-有两个零点1x ,2x ,求证:212x x e >. 20.记函数!!2!11)(2n x x x x f nn ++++= ()n N +∈,求证:当n 为偶数时,方程0)(=x f n 没有实数根；当n 为奇数时,方程0)(=x f n 有唯一实数根n x ,且n n x x <+2.21.设函数232222()1123nn x x x x f x n=-+++++(,)x R n N +∈∈, (1)证明:对每个n N +∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =； (2)证明:对任意p N +∈,由(1)中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<. 4.导数应用之图像的切线题组1：1.求平行于直线910x y -+=,且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程.2.求垂直于直线320x y -+=,且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程.3.求与直线320x y -+=夹角为45︒,且与抛物线22y x =相切的直线方程.4.设函数()sin f x x =图像上动点P 处切线的倾斜角为θ,求θ的取值范围. 题组2：5.求函数3()2f x x =的图像C 在点(1,2)P 处的切线l 方程,以及曲线C 与切线l 的所有交点坐标.6.求函数3()2f x x =的图像经过点(1,2)P 的切线方程.7.求函数3()2f x x =的图像经过点(1,10)P 的切线方程.8.求经过坐标原点,且与函数9()5x f x x +=+的图像相切的直线方程. 9.设函数()b f x ax x=-,曲线C :()y f x =在点(2(2))f ，处的切线为74120x y --=．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求证:曲线C 上任意一点处的切线与直线y x =,以及y 轴所围成三角形的面积为定值.10.已知直线23ln 20x y +-+=是函数()ln mf x x x=+的图像C 的一条切线.(1)求()f x 的解析式；(2)若(,)P s t 是曲线C 上的动点,求曲线C 在点P 处的切线纵截距的最小值. 题组3：11.已知直线y x =是函数32()31f x x x ax =-+-图像的一条切线,求实数a 的值.12.已知0a >,且过点(,)P a b 可作函数3()f x x x =-图像的三条切线,证明:()a b f a -<<.13.设函数3211()32f x x ax bx c =-++(0)a >的图像C 在点(0,(0))P f 处的切线为1y =.(1)确定,b c 的值；(2)设曲线C 在1122(,()),(,())A x f x B x f x 处的切线都过(0,2)Q ,证明:若12x x ≠,则12'()'()f x f x ≠；(3)若过点(0,2)Q 可作曲线C 的三条不同切线,求a 的取值范围.14.已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，,(13]，内各有一个极值点．(1)求24a b -的最大值；(2)当248a b -=时,设曲线C :()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线l 穿过曲线C (穿过是指:动点在点A 附近沿曲线C 运动,当经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求()f x 的表达式．15.由坐标原点(0,0)O 向曲线x x x y +-=233引切线,切于不同于点O的点111(, )P x y ,再由1P 引切线切于不同于1P 的点222(,)P x y ,如此继续下去……,得到点(,)n n n P x y ,求1n x +与n x 的关系,及n x 的表达式. 巩固练习：1.求函数3()2f x x =的图像经过点(1,8)P -的切线方程.2.求函数23()3x f x x +=+的图像经过点1(3,)2P 的切线方程.3.如图,从点1(0, 0)P 作x 轴的垂线交于曲线x y e =于点1(0, 1)Q ,曲线在1Q 点处的切线与x 轴交与点2P ；再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ,依次重复上述过程得到一系列的点:1P ,1Q ,2P ,2Q ,…,n P ,n Q ,记点k P 的坐标为(, 0)k k P x (1,2,3,,)k n =.(1)求1k x +与k x 之间的等量关系； (2)求112233...n n PQ PQ PQ PQ ++++.5.导数应用之存在与任意1.已知函数()(0)a f x x b x x=++≠,其中,a b R ∈．(1)若曲线)(x f 在点))2(,2(f P 处的切线方程为13+=x y ,求函数()f x 的解析式；(2)若对于任意的1[,2]2a ∈,不等式10)(≤x f 在1[,1]4x ∈恒成立,求b 的取值范围．2.已知函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+.(1)求()f x 的单调区间； (2)若()f x m <对1[1,1]x e e -∈--恒成立,求m 的取值范围；*欧阳光明*创编 2021.03.07 3.设函数1()ln f x x x= .(1)求()f x 的单调区间； (2)若12a xx >对(0,1)x ∈恒成立,求a 的取值范围. 4.已知函数22()ln (1)1x f x x x =+-+.(1)求()f x 的单调区间； (2)若1(1)n e n+α+≤对n N +∈都成立,求α的最大值.5.设函数2)1()(ax e x x f x --=.(1)若21=a ,求)(x f 的单调区间； (2)若当0≥x 时,0)(≥x f ,求a 的取值范围.6.设函数x ax e x f x --=2)(.(1)若0=a ,求)(x f 的最小值； (2)若当0≥x 时,()1f x ≥恒成立,求a 的取值范围.7.设函数()x f x e ax =-的图象与y 轴交于点A ,曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-<a . (1)求()f x 的极值；(2)证明:当0>x 时,x e x <2；(3)证明:对任意给定的正数c ,总存在0x ,使得当()∞+∈，0x x ,恒有x ce x <2. 8.设函数()cos f x ax x =+,(1)讨论函数()f x 在区间[0,]π内的单调性；(2)若()1sin f x x ≤+对[0,]x π∈恒成立,求实数a 的取值范围. 9.设函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈.(1)求证:()0f x ≤；(2)若sin x a b x <<对(0,)2x π∈恒成立,求a 的最大值与b 的最小值. 10.已知函数1ln )1()(2+++=ax x a x f , (1)讨论函数)(x f 的单调性；(2)设1-<a ,且对任意的),0(,21+∞∈x x ,都有||4)()(|2121x x x f x f -≥-,求a 的取值范围.11.已知3x =是函数23()()x f x x ax b e -=++的一个极值点.(1)求a 与b 的关系式(用a 表示b ),并求函数()f x 的单调区间； (2)设0a >,225()()4x g x a e =+.若存在[]12,0,4x x ∈,使得12()()1f x g x -<成立,求a 的取值范围.12.已知函数321()cos 22f x ax x x c θ=+-+的图像过点37(1,)6,且在[2,1]-上递减,在[1,)+∞上递增. (1)求()f x 的解析式；(2)若对任意的12,[,3]x x m m ∈+都有1245()()2f x f x -≤成立,求正实数m 的取值范围.13.设函数5)(,14)22(31)(23+=+++-=mx x g x x m mx x f . (1)当0m >时,求函数)(x f 的递增区间；(2)是否存在负实数m ,使得对任意的12,[1,2]x x ∈,都有1)()(21≤-x f x g ？若存在,求m 的范围；若不存在,请说明理由.6.导数应用之极值点偏移1.(1)设不同的两点1122(,),(,)A x y B x y 均在二次函数2()f x ax bx c =++(0abc ≠)的图像上,记直线AB 的斜率为k ,求证:12'()2x x k f +=； (2)设不同的两点1122(,),(,)A x yB x y 均在“伪二次函数”2()ln g x ax bx c x=++(abc ≠)的图像上,记直线AB 的斜率为k ,试问:12'()2x x k g +=还成立吗？ 2.设函数2()(12)ln ()f x ax a x x a =+--∈R ．(1)当0a >时,求函数()f x 的单调递增区间；(2)记函数()y f x =的图像为曲线C ,设11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线C 上不同的两点,M 为线段AB 的中点,过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ．试问:曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？ 3.设函数2()(2)ln f x x a x a x =---． (1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数有两个零点,求满足条件的最小正整数a 的值； (3)若方程()f x c =有两个不等实根12,x x ,求证:12()02x x f +'>． 4.设函数2ln 2)(x mx x x f -+=.(1)若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为n x y +=2,求实数n m ,的值；(2)若4->m ,求证:当0>>b a 时,有2)()(22->--ba b f a f ； (3)若函数()f x 有两个零点21,x x )(21x x <,且0x 是21,x x 的等差中项,求证:0)('0<x f .5.设函数()ln f x x ax =-有两个零点1x ,2x ,求证:212x x e >.6.设函数()x f x e ax a =-+的两个零点为1x ,2x ,求证:2121x x x x +<.7.设函数()x f x e ax =-,其中a e >,(1)求证:函数()f x 有且仅有两个零点1x ,2x ,且1201x x <<<； (2)对于(1)中的1x ,2x ,求证:12'()'()0f x f x +>.8.设函数()x f x e mx =+的图像在点(0,(0))P f 处的切线方程为210x y -+=,求证:对满足a b c <<的实数,,a b c ,都有()()()()f b f a f c f b b a c b--<--成立. 7.导数应用之不等式证明(1)1.证明:对任意的n N +∈,都有3211)11ln(nn n->+. 2.已知,m n N +∈,且1m n <<,求证:(1)(1)n m m n +>+. 3.设函数1()ln(1),1)nf x a x x =+--（ (1)当2n =时,求函数()f x 的极值；(2)当1a =时,证明:对任意的n N +∈,当2x ≥时,都有() 1.f x x ≤- 4.已知函数()ln(1)1x f x e a x =-+-在点(0,(0))P f 处的切线垂直于y 轴, (1)求函数()f x 的单调区间；(2)当0m n >>时,求证:1ln(1)ln(1)m n e m n -->+-+. 5.设函数xe x xf =)(,且)(')(1x f x f =,)(')(1x f x f n n =+()n N +∈.(1)求)(1x f ,)(2x f ,)(3x f ,)(x f n 的解析式；(2)求证:对任意的实数b a ,,以及任意的正整数n ,都有)()()(122n f b f a f n n <--.6.设函数x x mx x f ln )(-=在1=x 处取得极值,数列}{n a 满足111<<-a e ,1()n n a f a +=()n N +∈.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求证:对任意的*N n ∈,都有11<<-n a e ； (3)求证:对任意的*N n ∈,都有122++<+n n n a a a . 7.记函数!!2!11)(2n x x x x f nn ++++= ()n N +∈,求证:当n 为偶数时,方程0)(=x f n 没有实数根；当n为奇数时,方程0)(=x f n 有唯一实数根n x ,且n n x x <+2.8.设函数232222()1123nn x x x x f x n=-+++++(,)x R n N +∈∈, (1)证明:对每个n N +∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =；(2)证明:对任意p N +∈,由(1)中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<.8.导数应用之不等式证明(2)1.设函数1()ln xf x x ax-=+. (1)若函数()f x 在),1[+∞上为增函数,求正实数a 的取值范围；(2)当1a =时,求证:对大于1的任意正整数n ,都有1111ln 234n n>+++⋅⋅⋅+. 2.设函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0,其中>0a .(1)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值； (2)证明:对大于1的任意正整数n ,都有)12ln(211215131+<-+++n n . 3.设函数2()f x kx =,()ln g x x =,(1)讨论关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e -内的实数根的个数； (2)求证:对任意的正整数n ,都有44444ln1ln 2ln 3ln 4ln 112342n n e+++++<. 4.设函数2()ln(1)f x x a x =-+,(1)若函数()f x 在区间12(,)33上递增,求实数a 的取值范围； (2)证明:当0x >时,2ln(1)x x +<；(3)证明:对大于1的任意正整数n ,都有44441111(1)(1)(1)(1)2123e n ++++<. 5.设函数2()xf x ax b=+,其中(1)1f =,12()23f =.在数列{}n x 中,112x =,且1()n n x f x +=.(1)求数列{}n x 的通项n x .(2)求证:对任意的正整数n ,都有12312n x x x x e>.6.设函数()1x f x e ax =--,(1)若()0f x ≥对x R ∈均成立,求正实数a 的取值集合； (2)求证:对任意的正整数n ,都有123()()()()1n n n n n e n n n n e ++++<-. 7.设函数()1x f x e x =--,(1)求证:函数()f x 有且只有一个零点；(2)求证:对任意的正整数n ,都有13521()()()()22221n n n n n n n nn e -++++<-. 8.(1)设函数r x rx x f r -+-=1)()0(>x ,其中10<<r .求函数)(x f 的最小值；(2)用(1)的结果证明命题:设01≥a ,02≥a ,21,b b 为正实数,若121=+b b ,则22112121b a b a a a b b +≤；(3)请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题.9.(1)求函数1ln )(+-=x x x f 的最大值；(2)设,k k a b 均为正实数,证明:若112212n n n a b a b a b b b b +++≤+++,则12121n b b b n a a a ≤；(3)设,k k a b 均为正实数,证明:若121n b b b +++=,则1222212121n b b b n n b b b b b b n≤≤+++.。