2.2.2 对数函数及其性质
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内.
1．对数式b a a =--)5(log 2中，实数a 的取值范围是 （ ）
A ．)5,(-∞
B ．(2,5)
C ．),2(+∞
D ． )5,3()3,2(
2．如果lgx =lga +3lgb －5lgc ，那么
（ ）
A ．x =a +3b －c
B ．c
ab x 53=
C ．53
c
ab x = D ．x =a +b 3－c 3
3．设函数y =lg(x 2－5x )的定义域为M ，函数y =lg(x －5)+lg x 的定义域为N ，则
（ ） A ．M∪N=R
B ．M=N
C ．M ⊇N
D ．M ⊆N
4．若函数log 2(kx 2+4kx +3)的定义域为R ，则k 的取值范围是
（ ）
A ．⎪⎭⎫ ⎝
⎛
43,0 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0 C ．⎥⎦⎤
⎢⎣⎡4
3,0 D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞-∞,43
]0,(
5．下列函数图象正确的是 （ ）
A B C D 6．已知函数)
(1
)()(x f x f x g -
=，其中log 2f (x )=2x ，x ∈R ，则g(x ) （ ） A ．是奇函数又是减函数 B ．是偶函数又是增函数 C ．是奇函数又是增函数 D ．是偶函数又是减函数
7．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新现有总车辆数的(参
考数据：1．14=1．46，1．15
=1．61) ( )
A ．10%
B ．16．4%
C ．16．8%
D ．20% 8．如果y=log 2a －1x 在(0，+∞)内是减函数，则a 的取值范围是
（ ）
A ．｜a ｜＞1
B ．｜a ｜＜2
C ．a 2-<
D ．21<<a
二、填空题：请把答案填在题中横线上. 9．函数)2(log 22
1x y -=
的定义域是 ，值域是 .
10．方程log 2(2x +1)log 2(2x +1+2)=2的解为 .
11．将函数x y 2=的图象向左平移一个单位，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，作出C 2关于直线y =x 对称的图象C 3，则C 3的解析式为 .
12．函数y=)124(log 2
2
1-+x x 的单调递增区间是 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 13．已知函数)(log )1(log 1
1
log )(222
x p x x x x f -+-+-+=. (1)求函数f (x )的定义域；(2)求函数f (x )的值域.
14．设函数)1lg()(2++
=x x x f .
(1)确定函数f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的奇偶性；
(3)证明函数f (x )在其定义域上是单调增函数； (4)求函数f(x)的反函数.
15．现有某种细胞100个，其中有占总数
1
2
的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过10
10个？（参考数据：lg30.477,lg 20.301==）.
16．如图，A ，B ，C 为函数x y 2
1log =的图象
上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1). (1)设∆ABC 的面积为S 求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值.
17．已求函数)1,0)((log 2≠>-=a a x x y a 的单调区间.
参考答案
一、DCCB BDBD
二、9． (][)
2,112 --， [)+∞,0； 10．0； 11．1)1(log 2--=x y ； 12． )2,(--∞；
三、
13． 解：(1)函数的定义域为(1，p ).
(2)当p ＞3时，f (x )的值域为(－∞，2log 2(p +1)－2)； 当1＜p ≤3时，f (x )的值域为(－∞，1+log2(p +1)).
14．解： (1)由⎪⎩⎪⎨⎧≥+>++0
10122x x x 得x ∈R，定义域为R. (2)是奇函数. (3)设x 1，x 2∈R ，
且x 1＜x 2，
则1
1lg )()(2
222
112
1++++=-x x x x x f x f . 令12++=x x t ，
则)1()1(2
2221121++-++=-x x x x t t .
=)11()(2
22121+-++-x x x x
=11))(()(2
221212121++++-+-x x x x x x x x
=
1
111)((22
2
12
12
22121++++++++-x x x x x x x x
∵x 1－x 2＜0，01121>++x x ，0122
2>++x x ，0112221>++
+x x ，
∴t 1－t 2＜0，∴0＜t 1＜t 2，∴102
1
<<
t t ， ∴f (x 1)－f (x 2)＜lg1=0，即f (x 1)＜f (x 2)，∴ 函数f(x)在R 上是单调增函数.
(4)反函数为x
x
y 1021102⋅-=(x ∈R).
15．解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数， 1小时后，细胞总数为11310010021002
2
2
⨯+⨯⨯=⨯；
2小时后，细胞总数为13139100100210022
22
4
⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯；
3小时后，细胞总数为191927100100210024
248
⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯；
4小时后，细胞总数为1271278110010021002
8
2
8
16
⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯；
可见，细胞总数y 与时间x （小时）之间的函数关系为： 31002x
y ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭
，x N *
∈
由103100102x
⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，得83102x
⎛⎫> ⎪⎝⎭
，两边取以10为底的对数，得3lg 82x >，
∴8lg3lg 2
x >
-， ∵8845.45lg3lg 20.4770.301=≈--，
∴45.45x >.
答：经过46小时，细胞总数超过10
10个.
16．解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1， 则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C .
)44
1(log )2(4log 2
3223
1t t t t t ++=++=
（2）因为v =t t 42
+在),1[+∞上是增函数,且v ≥5,
[)∞++=.541在v v 上是减函数，且1<u ≤59; S ⎥⎦⎤
⎝⎛=59,1log 3在u 上是增函数，
所以复合函数S=f (t ) [)+∞++
=,1)44
1(log 2
3在t
t 上是减函数 （3）由（2）知t =1时，S 有最大值，最大值是f (1) 5log 25
9
log 33-==
17．解：由2
x x ->0得0<x<1，所以函数)(log 2x x y a -=的定义域是(0,1)
因为0<2
x x -=4
141)2
1(2
≤+
--x ， 所以，当0<a <1时, 4
1log )(log 2
a
a x x ≥- 函数)(log 2x x y a -=的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41log a ; 当a >1时, 4
1
log )(log 2
a
a x x ≤- 函数)(log 2x x y a -=的值域为⎥⎦
⎤ ⎝
⎛
∞-41log
,a
当0<a <1时，函数)(log 2x x y a -=在⎥⎦⎤ ⎝⎛21,
0上是减函数，在⎪⎭
⎫⎢⎣⎡1,21上是增函数；
当a >1时，函数)(log 2x x y a -=在⎥⎦
⎤
⎝⎛21,0上是增函数，在⎪⎭
⎫⎢⎣⎡1,2
1上是减函数.。