模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果AB ＜0，BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B ，由AB ＜0，BC ＜0，得－AB ＞0，－CB ＞0，故直线Ax ＋By ＋C ＝0经过第一、二、三象限，不经过第四象限．2．已知直线mx ＋ny ＋1＝0平行于直线4x ＋3y ＋5＝0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n 的值分别为( )A ．4和3B ．－4和3C ．－4和－3D ．4和－3解析：选C.由题意知：－m n ＝－43，即3m ＝4n ，且有－1n ＝13，所以n ＝－3，m ＝－4.3.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 在AC 上，且AM ＝12MC ，点N 在A 1D 上，且A 1N ＝2ND .设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则MN →＝( ) A ．－13a ＋13b ＋13c B ．a ＋13b －13c C.13a －13b －23c D ．－13a ＋b ＋13c解析：选A.因为M 在AC 上，且AM ＝12MC ，N 在A 1D 上，且A 1N ＝2ND ，所以AM →＝13AC →，A 1N →＝23A 1D →.又ABCD -A 1B 1C 1D 1为平行六面体，且AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，所以AC →＝a ＋b ，A 1D →＝b －c ，所以MN →＝MA →＋AA 1→＋A 1N →＝－13AC →＋AA 1→＋23A 1D →＝－13(a ＋b )＋c ＋23(b －c )＝－13a ＋13b ＋13c . 4．已知直线l 的倾斜角为135°，直线l 1经过点A (3，2)，B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：选B.因为直线l 的斜率为tan 135°＝－1，所以l 1的斜率为1，所以k AB ＝2－（－1）3－a＝1，解得a ＝0.又l 1∥l 2，所以－2b ＝1，解得b ＝－2，所以a ＋b ＝－2.5．已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°解析：选B.由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，则AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD→＝CD →2＝1，由cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝12，得〈AB→，CD →〉＝60°，故直线a ，b 所成的角为60°.6．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆x 2＋y 2－6x ＝0截得的弦长为25，则双曲线的离心率为( )A. 3B.62C.355D. 5解析：选 C.依题意可得渐近线方程为bx ±ay ＝0，而圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9.由弦长为25，可得圆心(3，0)到渐近线的距离为2，故3b a 2＋b2＝2，即b 2a 2＝45，所以离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝355.故选C.7．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B.由已知可得，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0.又直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，则|OA |＝|a |2，故S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，解得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x .8．已知椭圆x 225＋y 2m 2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4，0)，右焦点为F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，35B.⎝⎛⎭⎪⎫－355，355 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 D.⎝⎛⎭⎪⎫－574，574 解析：选D.依题意，得m ＝3，所以x 225＋y 29＝1.以原点为圆心，c ＝4为半径作圆，则F 1F 2是圆的直径．若P 在圆外，则∠F 1PF 2为锐角；若P 在圆上，则∠F 1PF 2为直角；若P 在圆内，则∠F 1PF 2为钝角．联立⎩⎨⎧x 225＋y 29＝1，x 2＋y 2＝16，消去y ，得x ＝±574.故结合图形(图略)可知－574<x <574.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．在同一平面直角坐标系中，直线y ＝ax ＋a 2与圆(x ＋a )2＋y 2＝a 2的位置不可能是( )解析：选ABD.圆(x ＋a )2＋y 2＝a 2的可知a ≠0，圆的圆心(－a ，0)，半径为|a |，直线y ＝ax ＋a 2的斜率为a ，在y 轴上的焦距为a 2＞0，所以在同一直角坐标系中，直线y ＝ax ＋a 2与圆(x ＋a )2＋y 2＝a 2的位置不可能是ABD.故选ABD.10．已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y ＝±33x ，则下列结论正确的是( )A ．C 的方程为x 23－y 2＝1 B ．C 的离心率为 3C ．曲线y ＝e x －2－1经过C 的一个焦点D ．直线x －2y －1＝0与C 有两个公共点解析：选AC.设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，根据条件可知b a ＝33，所以方程可化为x 23b 2－y 2b 2＝1，将点(3，2)代入得b 2＝1，所以a 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1，故A 对；离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝3＋13＝233，故B 错；双曲线C 的焦点为(2，0)，(－2，0)，将x ＝2代入得y ＝e 0－1＝0，所以C对；联立⎩⎨⎧x 23－y 2＝1x －2y －1＝0，整理得y 2－22y ＋2＝0，则Δ＝8－8＝0，故只有一个公共点，故D 错，故选AC.11．已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，短轴长等于2，离心率为63，过焦点F 1作y 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，则下列说法正确的是( )A ．椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1 B ．椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1 C ．|PQ |＝233D ．△PF 2Q 的周长为4 3解析：选ACD.由已知得，2b ＝2，b ＝1，c a ＝63， 又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3. 所以椭圆C 的方程为x 2＋y 23＝1.如图：所以|PQ |＝2b 2a ＝23＝233，△PF 2Q 的周长为4a ＝4 3.故选ACD.12．已知点F 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，AB ，CD 是经过点F 的弦且AB ⊥CD ，AB 的斜率为k ，且k ＞0，C ，A 两点在x 轴上方，则下列结论中成立的是( )A.OC→·OD →＝－34p 2 B ．四边形ACBD 面积最小值为16p 2 C.1|AB |＋1|CD |＝12pD ．若|AF |·|BF |＝4p 2，则直线CD 的斜率为－ 3 解析：选ACD.如图所示：F (p2，0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，设直线AB 的倾斜角为θ(θ≠0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线AB 与抛物线的方程整理得： y 2－2pmy －p 2＝0.所以y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝y 212p ·y 222p ＝p 24，y 1＋y 2＝2pm . |AB |＝1＋m 2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝2p (1＋m 2)＝2p ·(1＋cos 2θsin 2θ)＝2psin 2θ.设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 同理可得y 3y 4＝－p 2，x 3x 4＝p 24，|CD |＝2pcos 2θ， 对于A ，OC →·OD →＝x 3x 4＋y 3y 4＝p 24－p 2＝－3p 24，故正确；对于B ，四边形ACBD 面积S ＝12CD ·AB ＝4p 22sin 2θ·cos 2θ＝8p 2sin 22θ，故其最小值为8p 2，故错；对于C ，1|AB |＋1|CD |＝sin 2θ2p ＋cos 2 θ2p ＝12p ，故正确；对于D ，|AF |·|BF |＝(x 1＋p 2)(x 2＋p 2)＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24＝4p 2，则p 2(x 1＋x 2)＝7p 2⇒x 1＋x 2＝7p .⇒2pm 2＝6p ⇒m ＝3(m ＞0)，θ＝π6.则直线CD 的倾斜角为2π3，其斜率为－ 3. 故选ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝a 2＋b 2在第一象限的交点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则此双曲线的离心率为________．解析：由题知PF 1⊥PF 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，|PF 1|＝3|PF 2|， 得ca ＝3＋1. 答案：3＋114．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，则两圆的公共弦所在的直线方程为________，公共弦长为________．解析：设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0， ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解， ①－②得：3x －4y ＋6＝0.因为A ，B 两点坐标都满足此方程，所以3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程． 易知圆C 1的圆心(－1，3)，半径r 1＝3. 又C 1到直线AB 的距离为 d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋（－4）2＝95.所以|AB |＝2r 21－d 2＝232－⎝ ⎛⎭⎪⎫952＝245.即两圆的公共弦长为245. 答案：3x －4y ＋6＝0 24515.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2，D 为AA 1上一点．若二面角B 1­DC ­C 1的大小为60°，则AD 的长为________．解析：如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Cxyz ，则C (0，0，0)，B 1(0，2，2)．设AD ＝a (0≤a ≤2)，则点D 的坐标为(1，0，a )，CD →＝(1，0，a )，CB 1→＝(0，2，2)． 设平面B 1CD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧m ·CB 1→＝0m ·CD →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋2z ＝0，x ＋az ＝0，令z ＝－1，得m ＝(a ，1，－1)．又平面C 1DC 的一个法向量为(0，1，0)，记为n ，则由cos 60°＝|m ·n ||m ||n |，得1a 2＋2＝12，即a ＝2，故AD ＝ 2. 答案： 216．已知直线l ：x ＝my ＋1(m ≠0)恒过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F ，椭圆C 的上顶点为抛物线x 2＝43y 的焦点，则椭圆C 的方程为________．解析：根据题意，直线l ：x ＝my ＋1(m ≠0)恒过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F ，所以F (1，0)，所以c ＝1.又因为椭圆C 的上顶点为抛物线x 2＝43y 的焦点， 所以b ＝3，b 2＝3， 所以a 2＝b 2＋c 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 答案：x 24＋y 23＝1四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． 解：(1)因为l 1⊥l 2， 所以a (a －1)－b ＝0.又因为直线l 1过点(－3，－1)， 所以－3a ＋b ＋4＝0. 故a ＝2，b ＝2.(2)因为直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2， 所以直线l 1的斜率存在． 所以ab ＝1－a .①又因为坐标原点到这两条直线的距离相等， 所以l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b .② 联立①②可得a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.18．(本小题满分12分)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为 y ＝k (x －1)(k ＞0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2. 由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°.(1)求证：BD ⊥平面P AC ；(2)若P A ＝4，求平面PBC 与平面PDC 所成角的余弦值．解：(1)证明：因为底面ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC .又P A ⊥平面ABCD ，所以BD ⊥P A .又P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC .(2)以BD 与AC 的交点O 为坐标原点，OB ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，过点O 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知可得，AO ＝OC ＝3，OD ＝OB ＝1，所以P (0，－3，4)，B (1，0，0)，C (0，3，0)，D (－1，0，0)，PC→＝(0，23，－4)，BC →＝(－1，3，0)，CD→＝(－1，－3，0)． 设平面PBC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面PDC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎨⎧n 1·PC →＝0，n 1·BC →＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧23y 1－4z 1＝0，－x 1＋3y 1＝0，令x 1＝3，可得n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫3，1，32. 同理，由⎩⎨⎧n 2·PC →＝0，n 2·CD →＝0，可得n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1，32， 所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－519，又平面PBC 与平面PDC 所成的角为锐角，所以平面PBC 与平面PDC 所成角的余弦值为519.20．(本小题满分12分)如图，已知抛物线C ：y 2＝4x的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A (x 1，y 1)(y 1>0)，B (x 2，y 2)两点，T 为抛物线的准线与x 轴的交点．(1)若TA→·TB →＝1，求直线l 的斜率； (2)求∠ATF 的最大值．解：(1)由题意得F (1，0)，T (－1，0)，当直线l 与x 轴垂直时，A (1，2)，B (1，－2)，此时TA →·TB →＝(2，2)·(2，－2)＝0，这与TA→·TB →＝1矛盾． 故直线l 与x 轴不垂直．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．①将①代入y 2＝4x 整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1. 所以y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－4，所以TA →·TB →＝(x 1＋1，y 1)·(x 2＋1，y 2)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＝1＋2k 2＋4k 2＋1－4＝4k 2＝1.解得k ＝±2.故直线l 的斜率为±2.(2)因为y 1>0，所以tan ∠ATF ＝y 1x 1＋1＝y 1y 214＋1＝4y 1＋4y 1≤1. 当且仅当y 1＝4y 1，即y 1＝2时取等号． 故∠ATF 的最大值为π4.21.(本小题满分12分)如图，在三棱锥P -ABC 中，平面P AB ⊥平面ABC ，AB ＝6，BC ＝23，AC ＝26，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且AD ＝2DB ，CE ＝2EB ，PD ⊥AC .(1)求证：PD ⊥平面ABC ；(2)若直线P A 与平面ABC 所成的角为π4，求平面P AC 与平面PDE 的夹角．解：(1)证明：由题意知AC ＝26，BC ＝23，AB ＝6，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，所以∠ACB ＝π2， 所以cos ∠ABC ＝236＝33.又易知BD ＝2，所以CD 2＝22＋(23)2－2×2×23cos ∠ABC ＝8， 所以CD ＝22，又AD ＝4，所以CD 2＋AD 2＝AC 2，所以CD ⊥AB .因为平面P AB ⊥平面ABC ，交线为AB ，所以CD ⊥平面P AB ，所以CD ⊥PD ，因为PD ⊥AC ，AC ∩CD ＝C ，所以PD ⊥平面ABC .(2)由(1)知PD ，CD ，AB 两两互相垂直，所以可建立如图所示的直角坐标系D -xyz ，因为直线P A 与平面ABC 所成的角为π4，即∠P AD ＝π4，所以PD ＝AD ＝4，则A (0，－4，0)，C (22，0，0)，B (0，2，0)，P (0，0，4)，所以CB →＝(－22，2，0)，AC →＝(22，4，0)，P A →＝(0，－4，－4)． 因为AD ＝2DB ，CE ＝2EB ，所以DE ∥AC ，由(1)知AC ⊥BC ，所以DE ⊥BC ，又PD ⊥平面ABC ，所以PD ⊥BC ，因为PD ∩DE ＝D ，所以CB ⊥平面PDE ，所以CB→＝(－22，2，0)为平面PDE 的一个法向量． 设平面P AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ⊥AC →，n ⊥P A →，所以⎩⎪⎨⎪⎧22x ＋4y ＝0，－4y －4z ＝0，令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1，所以n ＝(2，－1，1)为平面P AC 的一个法向量．所以cos 〈n ，CB →〉＝－4－24×12＝－32， 所以平面P AC 与平面PDE 所成的锐二面角的余弦值为32，故平面P AC 与平面PDE 的夹角为30°.22．(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点(0，1)，且离心率为32.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝12x ＋m 与椭圆E 交于A ，C 两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，求证|BN |为定值．解：(1)由题意，可知椭圆的焦点在x 轴上，且b ＝1，由椭圆的离心率e ＝c a ＝1－b 2a 2＝32，得a ＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，线段AC 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 24＋y 2＝1， 整理得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0，由Δ＝(2m )2－4(2m 2－2)＝8－4m 2>0，解得－2<m <2，则x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)＋2m ＝m ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ，12m .|AC |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·4m 2－4×（2m 2－2）＝10－5m 2. 由l 与x 轴的交点N (－2m ，0)， 得|MN |＝（－m ＋2m ）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＝54m 2.所以|BN |2＝|BM |2＋|MN |2＝14|AC |2＋|MN |2＝5 2，所以|BN |为定值．。