利用平面向量判断三角形形状1．三角形ABC 中，5BC =，G ，O 分别为三角形ABC 的重心和外心，且5GO BC ⋅=，则三角形ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述均不是【答案】B【解析】【分析】取BC 中点D ，利用GO GD DO =+代入计算，再利用向量的线性运算求解．【详解】如图，取BC 中点D ，连接,OD AD ，则G 在AD 上，13GD AD =，OD BC ， ()GO BC GD DO BC GD BC DO BC ⋅=+⋅=⋅+⋅221111()()()53326GD BC AD BC AB AC AC AB AC AB =⋅=⋅=⨯+⋅-=-=， ∴2223025AC AB BC -=>=，∴2220AB BC AC +-<，由余弦定理得cos 0B <，即B 为钝角，三角形为钝角三角形．故选：B ．2．若O 为ABC ∆所在平面内任一点，且满足()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=，则ABC ∆的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【答案】A【解析】【分析】利用平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质即可进行判断.【详解】由()()0OB OC OC OA CA AB -⋅-++=，即()0CB AC CB CB AB ⋅+=⋅=， 所以，CB AB ⊥，即2B π∠=，故ABC ∆为直角三角形.故选：A.【点睛】本题主要考查了平面向量加法和减法的三角形法则以及向量数量积的性质的简单应用，属于基础题.3．已知非零向量AB ，AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，且1||||2AB AC AB AC =，则ABC ∆的形状是( )A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰（非等边）三角形D ．等边三角形【答案】D【解析】【分析】先根据0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，判断出A ∠的角平分线与BC 垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ，判断出三角形的形状．【详解】解：0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，||AB AB ，||AC AC 分别为单位向量， A ∴∠的角平分线与BC 垂直，AB AC ∴=， 1cos ||||2AB AC A AB AC ==， 3A π∴∠=， 3B C A π∴∠=∠=∠=，∴三角形为等边三角形．故选：D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题．4．在ABC 中，若BC a CA b AB c ===，，，且a b b c c a ⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．以上都不对【答案】A【解析】【分析】由题中a b b c c a ⋅=⋅=⋅，结合三角形图像找准向量夹角，得出基本关系式，再根据几何关系进行求解【详解】如图所示.()cos cos a b a b C a b C ⋅=-=-π， ()cos cos b c b c A b c A ⋅=-=-π， ()cos cos c a c a B c a B ⋅=-=-π.∵a b b c c a ⋅=⋅=⋅，∴cos cos cos cos a b C b c A a C c A -=-⋅=，.作BD AC ⊥于D ，则cos ,cos CD a C AD c A ==，∴CD AD =，∴D 为AC 的中点，∴AB BC =.同理可证AB AC =，∴ABC 为等边三角形.答案选A【点睛】个别设及三角形形状题型，可先进行预判，再想法设法去进行证明比如此题，可先预判为等边三角形，再进行证明，对于复杂的几何问题，需要借助图形来辅助求解5．若O 为平面内任意一点，且()()20OB OC OA AB AC +-⋅-=，则△ABC 是( ) A ．直角三角形或等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形但不一定是直角三角形D ．直角三角形但不一定是等腰三角形【答案】C【解析】由()()2OB OC OA AB AC +-⋅-＝0得()AB AC +·()AB AC -＝0，∴AB 2－AC 2＝0，即|AB |＝|AC |，∴AB ＝AC ，即△ABC 是等腰三角形，但不一定是直角三角形．选C.6．设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(2)()0DB DC DA AB AC +-⋅-=，则ABC ∆的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 【答案】B【解析】试题分析：：∵(2)()0DB DC DA AB AC +-⋅-=，∴()()22·00AB AC AB AC AB AC +-=∴-=，即|AB|=|AC|．△ABC 的形状是等腰三角形7．△ABC 中，AB ·BC <0，BC ·AC <0，则该三角形为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 【答案】C【解析】 ·cos()0,cos 0,AB BC AB BC B B B π=⨯-∴为锐角，·cos 0,BC AC BC AC C C =⨯<为钝角．故选C8．已知在ABC ∆中，向量AB 与AC 满足 0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅=⎪⎝⎭，且12||||AB AC AB AC ⋅=，则ABC ∆为（ ）A ．三边均不相等的三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等边三角形 【答案】D【解析】【分析】分别在,AB AC 上取点,D E ，使得,AB AC AD AE AB AC ==，由条件可得在ABC 中有AB AC =，12||||AB AC AB AC ⋅=，可得60BAC ∠=︒，从而得到答案. 【详解】 分别在,AB AC 上取点,D E ，使得,ABACAD AE AB AC == ，则1AD AD ==.以,AD AE 为一组邻边作平行四边形ADFE .如图.则平行四边形ADFE 为菱形,即对角线AF 为角DAE ∠的角平分线.由0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭，即()0AD AE BC +⋅=,也即0AF BC ⋅= 所以AF BC ⊥,即角DAE ∠的角平分线AF 满足AF BC ⊥.所以在ABC 中有AB AC =.又12||||AB AC AB AC ⋅=，即12⋅=AD AE ，所以111cos 2AD AE BAC ⋅=⨯⨯∠= 所以60BAC ∠=︒.所以 ABC ∆为等边三角形，故选：D .9．若M 为ABC ∆所在平面内一点,且满足()()0MB MC MB MC -⋅+=,20MB MC MA ++=,则ABC ∆的形状为( ) A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【解析】 ()()220,0,MB MC MB MC MBMC MB MC -⋅+=∴-=∴=,点M 在底边BC 的中垂线上，又20,22MB MC MA MB MC MA AM ++=∴+=-=,所以点M 在底边BC 的中线上，因而底边BC 的中线与垂直平分线重合，所以∆ABC 的形状为等腰三角形.10．点O P 、是ABC ∆所在平面上的两点，满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=和|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由平面向量的加法与减法运算，将表达式化简.即可由向量数量积定义求得,AB AC 的关系，进而判断ABC ∆的形状.【详解】点O P 、是ABC ∆所在平面上的两点，满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=所以()()0OB OC OB OA OC OA -⋅-+-=即()0CB AB AC ⋅+=因为CB AB AC =-所以()()0AB AC AB AC -⋅+=即22AB AC =，所以AB AC =又因为|||2|0PB PC PB PC PA --+-= 则()()0CB PB PA PC PA --+-= 所以CB AB AC =+ 即AB AC AB AC -=+两边同时平方并展开化简可得0AB AC ⋅=即AB AC ⊥ 所以2A π∠=综上可知，ABC ∆的形状是等腰直角三角形故选：A【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量数量积的运算律与定义，向量垂直与数量积关系，三角形形状的判断，属于中档题.11．在ABC 中,102BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=，,则ABC 为( ) A ．直角三角形B ．三边均不相等的三角形C ．等边三角形D ．等腰非等边三角形【答案】C【解析】【分析】直接代入数量积的计算公式第一个条件求出A C =，第二个条件得到B 即可求出结论.【详解】解：因为在ABC 中，,,(0,)A B C π∈10,2||||||||BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=， ||||cos ||||cos 0||cos ||cos 0||||AB AC A CA CB C CA A AC C AB BC -⨯⨯⨯⨯∴+=⇒-=cos cos A C A C ∴=⇒=，11||||cos ||||cos 223BC BA BC BA B BC BA B B π⋅=⨯⨯=⨯⇒=⇒=， ∴ABC 为等边三角形.故选：C.【点睛】 本题考查了数量积运算性质以及特殊角的三角函数值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.12．若20AB BC AB ⋅+=，则三角形ABC 必定是（ ）三角形A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．等腰直角 【答案】B【解析】【分析】 由AB BC AC +=得到，0AB AC ⋅=，即可求解.【详解】 ()20AB BC AB AB AB BC AB AC ⋅+=⋅+=⋅=AB AC ∴⊥，即90A =︒所以三角形ABC 必定是直角三角形故选：B【点睛】本题主要考查了平面向量的基本运算，属于基础题.13．已知AB AC ，是非零向量，且满足()()22AB AC AB AC AB AC -⊥-⊥，，则ABC 的形状为（ ）A ．等腰（非等边）三角形B ．直角（非等腰）三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 【答案】C【解析】【分析】先将题中()()22AB AC AB AC AB AC -⊥-⊥，进行转化，再观察转化条件存在的基本关系，根据向量夹角的余弦公式和模长公式来进行判断即可【详解】∵()2AB AC AB -⊥，∴()20AB AC AB -⋅=，即20AB AB AC AB ⋅-⋅=.∵()2AC AB AC -⊥，∴()20AC AB AC -⋅=，即20AC AC AB AC ⋅-⋅=，∴2AB AB AC AC AB AC ⋅=⋅=⋅，即AB AC =. ∵1cos 2AB ACA AB AC ⋅==，∴60A ︒∠=，∴ABC 为等边三角形.答案选C【点睛】三角形形状的判断向量法常采用模长公式、夹角的余弦公式、向量垂直公式进行求解，解题时可灵活选用14．点P 是ABC ∆所在平面上一点，满足20PB PC PB PC PA --+-=，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 【答案】B【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出0AB AC ⋅=，由此可判断出ABC ∆的形状. 【详解】 点P 是ABC ∆所在平面上一点，满足20PB PC PB PC PA --+-=，则2PB PC PB PC PA -=+-，可得CB AB AC =+，即AB AC AC AB -=+， 等式AB AC AC AB -=+两边平方并化简得0AB AC ⋅=，AB AC ∴⊥，因此，ABC ∆是直角三角形.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算，也考查了模长公式应用，是中等题．15．若O 为ABC ∆所在平面内一点，()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆形状是（ ）．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．以上答案均错 【答案】A【解析】【分析】根据向量的减法运算可化简已知等式为()0CB AB AC ⋅+=，从而得到三角形的中线和底边垂直，从而得到三角形形状.【详解】()()()20OB OC OB OC OA CB AB AC -⋅+-=⋅+= ()CB AB AC ∴⊥+∴三角形的中线和底边垂直 ABC ∆∴是等腰三角形本题正确选项：A【点睛】本题考查求解三角形形状的问题，关键是能够通过向量的线性运算得到数量积关系，根据数量积为零求得垂直关系.16．若20AB BC AB ⋅+=，则ABC 为( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形 【答案】A【解析】【分析】根据数量积的运算法则推导得AB AC ⊥即可.【详解】 ()20AB BC AB AB BC AB AB AC ⋅+=⋅+=⋅=,AB AC ∴⊥,90BAC ∴∠=︒,ABC ∴为直角三角形.故选：A【点睛】本题主要考查了根据向量的数量积运算判断三角形形状的问题,属于基础题.17．在ABC 中，若AB AC AB AC +<-，则ABC 的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定【答案】B【解析】【分析】两边平方||||AB AC AB AC +<-，化简可得0AB AC ⋅<，从而可判断三角形的形状。