24.认识三角形问题解决例1 （江苏省竞赛题）在△ABC 中，高BD 和CE 所在直线相交于O 点，若△ABC 不是直角三角形，且∠60A =°，则∠BOC =_______度． 【答案】当ABC △为锐角三角形时，∠60BOC =°．例2 （北京市竞赛题）如图，将纸片△ABC 沿着DE 折叠压平，则（ ）．A ．∠A =∠1+∠2B ．∠A =12(∠1+∠2)C ．∠A =13(∠1+∠2) D ．∠A =14(∠1+∠2)【答案】B 180B C AED ADE A ∠+∠=∠+∠=︒-∠，又1B C AED ADE ∠+∠+∠+∠+∠+2∠=360︒，得2(180)12360A ︒-∠+∠+∠=︒，化简得1(12)2A ∠=∠+∠．例3 （1）如图①，AD BC ⊥于D AE ，平分∠BAC ，试探寻∠DAE 与∠C 、∠B 的关系． （2）如图，②，若将点A 在AE 上移动到F ，FD BC ⊥于D ，其他条件不变，那么∠EFD 与∠C 、∠B 是否还有（1）中的关系？请说明理由． （3）请你提出一个类似的问题．B D CE E 图①图②AFB D AC【答案】（1）∠1();2DAE C B =∠-∠（2）过A 作AG BC ⊥于G ，则1();2EFD EAG C B ∠=∠=∠-∠（3）略例4 如图①，已知A 为x 轴负半轴上一点，B 为x 轴正半轴上一点，(02)(32)C D --，，，． （1）求△BCD 的面积；（2）如图②，若AC BC ⊥，作∠CBA 的平分线交CO 于P ，交CA 于Q ，判断∠CPQ 与∠CQP 的大小关系，并证明你的结论；（3）如图③，若∠ADC =∠DAC ，点B 在x 轴正半轴上运动，∠ACB 的平分线CE 交DA 的延长线于点E ，在B 点的运动过程中，EABC∠∠的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．12EBD AC图①图②图③【答案】（1）3BCD S =△ （2）可证明.CPQ CQP ∠=∠（3）CD ∥AB ，可证明1122ABCE ABC ABC ∠∠==∠∠为定值． 例5 在三角形纸片内有2008个点，连同三角形纸片的3个顶点，共有2011个点，在这些点中，没有三点在一条直线上．问：以这2011个点为顶点能把三角形纸片分割成多少个没有重叠部分的小三角形？ （天津市竞赛题）解法一 我们不妨先退一步，考察三角形内有一个点、两个点、三个点…的简单情形，有下表所示的关系：不难发现，这个点必落在已连好的某一个小三角形内，它与该三角形的三个顶点可得到三个小三角形，从而增加了两个小三角形，于是可以推出，当三角形内有2008个点时，连接可得到小三角形的个数为：3+2×(2008-1)=4017(个)．解法二 整体核算法．设连线后把原三角形分割成n 个小三角形，则它们的内角和为180°·n ，又因为原三角形内每一个点为小三角形顶点时，能为小三角形提供360°的内角，2008个点共提供内角2008×360°，于是得方程1803602008180n =⨯+，解得4017n =，即这2008个点能将原三角形纸片分割成4017个小三角形． 角平分线角平分线是联系角与角之间关系的纽带，当角平分线与三角形相遇可生成内涵上有关联性、解法上有共通性的组图．例6 （1）如图①，已知△ABC 中的两内角平分线交于P 点，两外角平分线交于M 点，一内角平分线与一外角平分线交于N 点．试分别探究∠BPC 、∠M 、∠N 与∠A 关系； （2）如图②，在凹四边形ABCD 中，已知∠ABD 与∠ACD 的平分线交于点E ， 求证：2A DE ∠+∠∠=．y y x x PNBM ACBDA CE图①图②分析与解 （1）∠90BPC =°+11190.222A M A N A ∠∠=︒-∠∠=∠，，（2）凹四边形ABCD 形似“规形”，易证∠BDC =∠A +∠B +∠C ． 图②可分解为两个“规形”，BE CE 、分别平分∠ABD 、∠ACD ，∴可设∠ABE =∠DBE =x ，∠ACE =∠DCE =y ． 由（1）得∠E =∠A +x y +， ① ∠D =∠E +x y +， ② ②-①得，∠D –∠E =∠E –∠A ， ∴∠E =2A D∠+∠． 数学冲浪知识技能广场 1．（2012年山东省烟台市中考题）一副三角形叠在一起如图放置，最小锐用的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M ．若∠ADF =100°，则∠BM D =_______度． 【答案】851MF EBDAC（第1题）（第2题）2．（湖北省荆州市中考题）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠1的度数为_______． 【答案】75° 3．（新疆乌鲁木齐市中考题）如图，△ABC 中，∠80A =°，剪去∠A =80°，剪去∠A 后，得到四边形BCED ，则∠1+∠2=_______． 【答案】260°EBD A C21（第3题）（第4题）4．（广西桂林市中考题）如图，在△ABC 中，∠A =α，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点1A ，得∠1;A ∠1A BC 的平分线与∠1ACD 的平分线相交于点2A ，得∠2A ；…，2008A BC ∠的平分线与∠2008A CD 的平分线相交于点2009A ，得∠2009A ，则∠2009A =_______．【答案】20092α5．（“希望杯”邀请赛试题）如图，△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的外角分别记为αβγ、、．若345αβγ=∶∶∶∶，则∠A ∶∠B ∶∠C =（ ）． A ．3∶2∶1 B ．1∶2∶3 C ．3∶4∶5 D ．5∶4∶3【答案】AγβαBA C（第5题）（第6题）PBMAC6．（“希望杯”邀请赛试题）如图，BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的邻补角的平分线．若∠20ABP =︒，∠50ACP =°，则∠A +∠P =（ ）． A ．70° B ．80° C ．90° D ．100° 【答案】C 7．（内蒙古呼和浩特市中考题）在等腰△ABC 中，AB AC =，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）． A ．7 B ．11 C ．7或11 D ．7或10 【答案】C 8．（武汉市选拔赛试题）如图，△ABC 中，∠ABD =∠DBE =∠EBC ，∠ACD =∠DCE =∠ECB ，若∠145BEC =°，则∠BDC 等于（ ）． A ．100° B ．105° C ．110° D ．115° 【答案】CC（第8题）A B OM （第9题）EBD A CN9．如图，已知射线OM 与射线ON 互相垂直，B A 、分别为OM ON 、上一动点，∠ABM 、∠BAN 的平分线交于C ．问：B A 、在OM ON 、上运动过程中，∠C 的度数是否改变？若不改变，求出其值；若改变，说明理由．【答案】190452C AOB ∠=︒-∠=︒，为一定值．10．如图①，已知△ABC 中，∠ABC =∠ACB D ，为BC 边上一点，E 为直线AC 上一点，且∠ADE =∠AED ．（1）求证：∠2BAD =∠CDE ，（2）如图②，若D 在BC 的反向延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？证明你的结论．DE CB（第10题）A图①图②B EAC【答案】（1）证明略；（2）（1）中的结论仍然成立 思维方法天地11．在△ABC 中，∠50A =°，高BE CF 、交于O ，且O 不与B C 、重合，则∠BOC 的度数为_______． 【答案】50130︒︒或 12．（“希望杯”邀请赛试题）如图，已知∠45C =°，∠45B =°+2α，∠45BAC =°+3α，AE 平分∠BAD ，则∠CAE =_______． 【答案】126︒ 13．（河南省竞赛题）如图，BP 平分∠ABC 交CD 于F ，DP 平分∠ADC 交AB 于E ，AB 与CD 相交于G ，如果∠4A =2°，∠38C =°，那么∠P 的度数为_______．【答案】40︒ 如图，由对顶三角形性质得122122A P A C ∠+∠=∠+∠⎧⎨∠+∠=∠+∠⎩， 解得∠40P =°．14．如图，已知△ABC 中，∠A =∠ACB ，CP 平分∠ACB BD CD ，、分别为△ABC 的两外角的平分线，给出下列结论：①;CP CD ⊥②∠90D =°–12A ∠；③PD ∥AC ．其中正确结论的个数是（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】D（第12题）EDAG 21B E CF P（第13题答案）DA（第13题）（第14题）F B A C FGC D E PDAP EB15．（江苏省竞赛题）如图，∠31ABC =°，又∠BAC 的平分线AE 与∠FCB 的平分线CE 相交于E 点，则∠AEC 为（ ）．A ．14.5°B ．15.5°C ．16.5°D ．20° 【答案】B（第15题）（第16题）E GFEBDACF B DA C16．如图，△ABC 中，∠90BAC =°，AD BC ⊥，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分∠DAC ．给出下列结论：①∠BAD =∠C ；②∠AEF =∠AFE ；③∠EBC =∠C ； ④AG EF ⊥．其中正确的结论是（ ）．A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③ 【答案】C17．平面内的四条线段AB BC CD DA 、、、首尾顺次连接，已知∠24ABC =°， ∠42ADC =°．（1）如图①，若∠BAD 与∠BCD 的平分线交于点M ，求∠AMC 的值；（2）如图②，点E 在BA 的延长线上，∠DAE 的平分线和∠BCD 的平分线交于点N ，求∠ANC 的值．【答案】（1）可证明1()33.2AMC ABC ADC ∠=∠+∠=︒（2）可证明1(180)1232ANC B D ∠=︒+∠+∠=︒．NM 图①图②（第18题）（第17题）BD ACEBDA C GEB D A CF18．如图，在△BCD 中，BE 平分∠DBC 交CD 于F ，延长BC 至G CE ，平分∠DCG ，且EC DB 、的延长线交于A 点，若∠30A =°，∠75DFE =°．（1）求证：∠DFE =∠A +∠D +∠E ； （2）求∠E 的度数；（3）若在图中作∠CBE 与∠GCE 的平分线交于1E ，作∠1CBE 与∠1GCE 的平分线交于2E ，作∠2CBE 与∠2GCE 的平分线交于3E ，依此类推，∠n CBE 与∠n GCE 的平分线交于1n E +，请用含有n 的式子表示∠1n E +的度数．【答案】（1）略；（2）2D E ∠=∠，代入（1）得15;E ∠=︒（3）122113022n n n E D +++∠=∠=⋅︒． 应用探究乐园19．把一副学生用三角板（30°、60°、90°和45°、45°、90°）如图①放置在平面直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，直角边AC 与y 轴重合，斜边AD 与y 轴重合，直角这AE 交x 轴于F ，斜边AB 交x 轴于G O ，是AC 中点，8AC =． （1）把图①中的Rt △AED 绕A 点顺时针旋转α度得图②，此时△AGH 的面积是10，△AHF 的面积是8，分别求F H B 、、三点的坐标；（2）如图③，设∠AHF 的平分线和∠AGH 的平分线交于点M ，∠EFH 的平分线和∠FOC 的平分线交于点N ，当△AED 绕A 点转动时，∠N +∠M 的值是否会改变，若改变，请说明理由，若不改变，请求出其值．（第19题）图①图②图③【答案】（1）(50)(10)(84)F H B ---，，，，，． （2）22.57597.522M N M N αα∠=︒+∠=︒-∠+∠=︒，，，故M N ∠+∠的值不会改变．20．（2012年山洪省青岛市中考题）问题提出 以n 边形的n 个顶点和它内部的m 个点，共（m n +）个点作为顶点，可把原n 边形分割成多少个互不重叠的小三角形？问题探究 为了解决上面的问题，我们将采取一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：探究一：以△ABC 的三个顶点和它内部的1个点P ，共4个点为顶点，可把△ABC 分割成多少个互不重叠的小三角形？如图①，显然，此时可把△ABC 分割成3个互不重叠的小三角形．探究二：以△ABC 的三个顶点和它内部的2个点P Q ，，共5个点为顶点，可把△ABC 分割成多少个互不重叠的小三角形？在探究一的基础上，我们可看作在图①△ABC 的内部，再添加1个点，那么点Q 的位置会有两种情况：一种情况，点Q 在图①分割成的某个小三角形内部，不妨假设点Q 在△PAC 内部，如图②； 另一种情况，点Q 在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨假设点Q 在PA 上，如图③．显然，不管哪种情况，都可把△ABC 分割成5个互不重叠的小三角形． 探究三：以△ABC 的三个顶点和它内部的3个点P Q R ，，共6个点为顶点，可把△ABC 分割成_______个互不重叠的小三角形，并在图④中画出一种分割示意图．探究四：以△ABC 的三个顶点和它内部的m 个点，共（3m +）个顶点，可把△ABC 分割成_______个互不重叠的小三角形．探究拓展：以四边形的4个顶点和它内部的m 个点，共（4m +）个顶点，可把四边形分割成_______个互不重叠的小三角形．问题解决 以n 边形的n 个顶点和它内部的m 个点，共（m n +）个顶点，可把△ABC 分割成_______个互不重叠的小三角形．实际应用 以八边形的8个顶点和它内部的2012个点，共2020个顶点，可把八边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（要求列式计算）图④图①图②图③CABABAC【答案】7 分割示意图：（答案不唯一）． 探究四：32(1)21m m +-+或 探究拓展：42(1)22m m +-+或 问题解决:2(1)22n m m n +-+-或实际应用：把82012n m ==，代入上述代数式，得2222012824024824030m n +-=⨯+-=+-=．BC A。