§5正弦函数的图像与性质5．1正弦函数的图像2．在函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像上，起着关键作用的有五个关键点：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．描出这五个点后，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线顺次将它们连接起来，就得到这个函数的简图．我们称这种画正弦函数曲线的方法为“五点法”．如图．思考2：描点法作函数的图像有哪几个步骤？ [提示] 列表、描点、连线．1．对于正弦函数y ＝sin x 的图像，下列说法错误的是( ) A ．向左、右无限延展B ．与y ＝－sin x 的图像形状相同，只是位置不同C．与x轴有无数个交点D．关于y轴对称D[y＝sin x为奇函数，关于原点对称，故D错误．]2．y＝sin x的图像的大致形状为()[答案]B3．用五点法画y＝sin x，x∈[0,2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．5π[0＋π2＋π＋3π2＋2π＝5π.]4．函数y＝sin x在[0,2π]上的单调减区间为________，最大值为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2 1 [由正弦函数的图像(图略)可知．]【例1】 [解] (1)列表：(2)描点、连线，图像如图．1．解答本题的关键是要抓住五个关键点．使函数中x取0，π2，π，3π2，2π，然后相应求出y值，再作出图像．2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．1．(1)作出函数y＝2sin x(0≤x≤2π)的图像；(2)用五点法画出函数y＝sin 2x(0≤x≤π)的图像．[解](1)列表：(2)列表：描点得y＝sin 2x(0≤x≤π)的简图，如图：【例2】 利用y ＝sin x 的图像，在[0,2π]内求满足sin x ≥－12的x 的取值范围．[解] 列表：描点，连线如图，同时作出直线y ＝－12的图像．由图像可得sin x ≥－12的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π6，2π.用三角函数图像解三角不等式的方法(1)作出相应正弦函数在[0,2π]上的图像；(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；(3)根据图像写出不等式的解集．2．利用正弦函数的图像，求满足sin x ≥12的x 的集合．[解] 作出正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像，如图所示，由图像可以得到满足条件的x 的集合为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z .[1．若已知函数y ＝f (x )的图像，如何作出函数y ＝|f (x )|的图像？[提示] 将函数y ＝f (x )的x 轴上方的图像保持不变，将x 轴下方的图像关于x 轴翻折到x 轴上方即可．2．如何利用函数的图像判断该函数对应方程的解的个数？[提示] 可以利用函数的图像与x 轴的交点的个数判断．也可以将该函数对应的方程拆分成两个简单函数，利用这两个函数图像交点的个数判断．【例3】 函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．[思路探究] 在同一坐标系中，作出两个函数图像． [解] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，0≤x ≤π，－sin x ，π<x ≤2π.作出图像分析(如图)．∵f (x )图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同交点． ∴1<k <3.1．(变条件，变结论)将例3变为“求方程lg x＝sin x的实数解的个数”应如何求解．[解]作出y＝lg x，y＝sin x在同一坐标系内的图像，则方程根的个数即为两函数图像交点的个数，由图像知方程有三个实根．2．(变结论)将例3中的函数f(x)不变，求方程“f(x)＝|log2x|”的解的个数，应如何求解．[解]在同一坐标系内作出f(x)＝sin x＋2|sin x|和g(x)＝|log2x|的图像如图所示，易知f(x)与g(x)的图像有四个交点，故所给方程有四个根．数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的数学式子转化成形象直观的图形.利用正弦函数图像可解决许多问题，例如特殊方程根的问题，通常可转化为函数图像交点个数问题.1．“五点法”是我们画y＝sin x图像的基本方法，在区间[0,2π]上，其横坐标分别为0，π2，π，3π2，2π的五个点分别是最高点、最低点以及与x轴的交点，这五个点在确定函数的图像形状时起到关键作用，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，再将曲线向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)，就得到正弦函数的简图．2．作图像时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝sin x 在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同．( ) (2)函数y ＝sin x 的图像介于直线y ＝－1和y ＝1之间．( ) (3)函数y ＝sin x 的图像关于x 轴对称．( )(4)用五点法画函数y ＝sin x 在区间[－π，π]上的简图时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1是其中的一个关键点．( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√2．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )D [函数y ＝－sin x 与y ＝sin x 的图像关于x 轴对称，故选D.]3．在[0,2π]上，满足sin x ≥22的x 的取值范围为________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 [结合图像(图略)可知为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.] 4．在[0,2π]内，用五点法作出函数y ＝2sin x －1的图像． [解] (1)列表：(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点： (0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－3，(2π，－1)．(3)连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y ＝2sin x －1，x ∈[0,2π]的简图，如图所示．5.2 正弦函数的性质正弦函数的性质思考：正弦函数的周期为2π，在研究正弦函数性质时，选取哪个区间研究，既好学，又有效？[提示] 选取⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，32π上的图像来研究，即可掌握整个定义域上的性质．1．下列函数中是奇函数的是( ) A ．y ＝－|sin x | B ．y ＝sin (－|x |) C ．y ＝sin |x |D ．y ＝x sin |x |D [利用定义，显然y ＝x sin |x |是奇函数．]2．已知M 和m 分别是函数y ＝13sin x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( )A ．23B ．－23C ．－43D ．－2D [因为M ＝y max ＝13－1＝－23， m ＝y min ＝－13－1＝－43， 所以M ＋m ＝－23－43＝－2.]3．若函数f (x )＝sin 2x ＋a －1是奇函数，则a ＝________. 1 [由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )得a ＝1.] 4．函数y ＝|sin x |的值域是________．[0,1] [由函数y ＝|sin x |的图像(图略)可知为[0,1]．]【例1(1)y ＝sin 12x ； (2)y ＝|sin x |.[解] (1)∵sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(x ＋4π)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2π＝sin 12x ，∴sin 12x 的周期是4π.(2)作出y ＝|sin x |的图像，如图．故周期为π.1．求正弦函数的周期时要注意结合图像判断，不要盲目套用结论． 2．函数y ＝sin x 为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y ＝sin x ，x ∈[0,2π]是非奇非偶函数．1．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x sin x；(2)f(x)＝|sin x|＋1.[解](1)∵x∈R，且关于原点对称，又f(－x)＝－x sin(－x)＝x sin x＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵x∈R，且关于原点对称，又f(－x)＝|sin(－x)|＋1＝f(x)，∴f(x)为偶函数．【例2①sin π4与sin π8；②sin 4π7与sin 19π7. (2)求函数y ＝log 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的递增区间．[解] (1)①因为0＜π8＜π4＜π2，且y ＝sin x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为单调增函数，∴sin π4＞sin π8，②因为π2＜4π7＜5π7＜π，且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的．所以sin 4π7＞sin 5π7，即sin 4π7＞sin 19π7.(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＞0得2k π＜x －π6＜π＋2k π(k ∈Z )得π6＋2k π＜x ＜7π6＋2k π(k ∈Z )，①要求原函数的递增区间，只需求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的递减区间，令π2＋2k π≤x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )得2π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π(k ∈Z )，② 由①②可知2π3＋2k π≤x ＜76π＋2k π(k ∈Z )，所以原函数的递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3＋2k π，7π6＋2k π(k ∈Z )．1．比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式，把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较．2．比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2±β后，再依据单调性进行比较．3．当不能将两角转到同一单调区间上时，还可以借助于图像或值的符号比较．2．比较sin 215π与sin 42π5的大小． [解] ∵sin 21π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π5＝sin π5，sin 42π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋2π5＝sin 2π5.∵0<π5<2π5<π2.又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，∴sin π5<sin 2π5，即sin 21π5<sin 42π5.[1．对于形如y ＝f [g (x )]的函数，如何求其值域？[提示] 先求内函数u ＝g (x )的值域，再求外函数y ＝f (u )的值域． 2．对于y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 型的函数，怎样求值域？[提示] 利用换元法转化为二次函数求最值． 【例3】 求下列函数的值域． (1)y ＝3－2sin x ； (2)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54.[思路探究] (1)利用|sin x |≤1即可求解． (2)配方求解，要注意|sin x |≤1这一情况． [解] (1)∵－1≤sin x ≤1， ∴－1≤－sin x ≤1， 1≤3－2sin x ≤5，∴函数y ＝3－2sin x 的值域为[1,5]． (2)令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1， y ＝－t 2＋3t ＋54＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋2，∴当t ＝32时，y max ＝2. 此时sin x ＝32，即x ＝2k π＋π3或x ＝2k π＋2π3，k ∈Z . 当t ＝－1时，y min ＝14－ 3. 此时sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z . ∴函数y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－3，2.1．(变条件)将例3(1)的条件变为“函数y ＝1＋2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6”求函数的最值．[解] ∵－π6≤x ≤π6，∴－12≤sin x ≤12. ∴0≤1＋2sin x ≤2.即y ＝1＋2sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6的最大值为2，最小值为0.2．(变条件)将例3(1)中的函数变为“y ＝3＋a sin x (a ≠0)”试求函数的值域． [解] ∵－1≤sin x ≤1. (1)当a >0时， －a ≤a sin x ≤a ， 3－a ≤3＋a sin x ≤3＋a . (2)当a <0时，a ≤a sin x ≤－a ， 3＋a ≤3＋a sin x ≤3－a .综上，当a >0时函数的值域为[3－a,3＋a ]； 当a <0时，函数的值域为[3＋a,3－a ]．求正弦函数的值域一般有以下两种方法：(1)将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y＝a(sin x＋b)2＋c型的值域问题.(2)利用sin x的有界性求值域，如y＝a sin x＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b.1．求正弦函数在给定区间[a，b]上的值域时，要注意结合图像判断在[a，b]上的单调性及有界性．2．利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时，需利用诱导公式将角转化到正弦函数的同一个单调区间内．3．观察正弦曲线不难发现：(1)正弦曲线是中心对称图形，对称中心的坐标为(kπ，0)(k∈Z)，即正弦曲线和x轴的交点，原点是其中的一个．(2)正弦曲线是轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ＋π2(k∈Z)；正弦曲线的对称轴一定过正弦曲线的最高点或最低点.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数y ＝sin x 的定义域为R .( ) (2)正弦函数y ＝sin x 是单调增函数．( ) (3)正弦函数y ＝sin x 是周期函数．( )(4)正弦函数y ＝sin x 的最大值为1，最小值为－1.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像上的一条对称轴是( ) A ．y 轴 B ．x 轴 C ．直线x ＝π2D ．直线x ＝πC [结合函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像可知直线x ＝π2是函数的一条对称轴．] 3．函数f (x )＝sin 2x ＋1的奇偶性是________． 偶函数 [f (－x )＝[sin(－x )]2＋1＝sin 2x ＋1＝f (x )， 所以f (x )为偶函数．] 4．比较下列各组数的大小． (1)sin 2 016°和cos 160°； (2)sin 74和cos 53.[解] (1)sin 2 016°＝sin(360°×5＋216°) ＝sin 216°＝sin(180°＋36°)＝－sin 36°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵sin 36°<sin 70°， ∴－sin 36°>－sin 70°， 即sin 2 016°>cos 160°. (2)cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53，又π2<74<π2＋53<3π2，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是减少的，∴sin 74>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53，即sin 74>cos 53.。