天津新人教版数学高三单元测试11《空间向量与立体几何》
（ 时间：60分钟 满分100分）
一、选择题（每小题5分，共50分）
1. 在下列命题中：
①若向量,a b 共线，则向量,a b 所在的直线平行；
②若向量,a b 所在的直线为异面直线，则向量,a b 一定不共面；
③若三个向量,,a b c 两两共面，则向量,,a b c 共面；
④已知是空间的三个向量,,a b c ，则对于空间的任意一个向量p 总存
在实数x,y,z 使得p xa yb zc =++；其中正确的命题的个数是 （ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
2. 与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是 （ ）
（A 和（）； （B ））；
（C ）（）和（）； （D ）
（）； 3. 已知A 、B 、C 三点不共线，点O 为平面ABC 外的一点，则下列条件中，能得到M ∈平面ABC 的充分条件是 （ ）
（A ）111222OM OA OB OC =
++； （B ）1133
OM OA OB OC =-+； （C ）OM OA OB OC =++； （D ）2OM OA OB OC =-- 4. 已知点B 是点A （3，7，-4）在xOz 平面上的射影，则2()OB 等于 （ ）
（A ）（9，0，16） （B ）25 （C ）5 （D ）13
5. 设平面α内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（-1，1，2），则下
列向量中是平面的法向量的是（ ）A （-1，-2，5） B （-1,1,-1）
C （1, 1,1）
D （1，-1，-1）
6. 如图所示，在正三棱柱ABC ——A
1B 1C 1中，若BB 1，则
AB 1与C 1B 所成的角的大小为 （ ）（A ）60° （B ）
90° （C ）105° （D ）75°
7. 到定点()1,0,0的距离小于或等于1的点集合为（ ）
A.()(){}222,,|11x y z x y z -++≤
B.()(){}
222,,|11x y z x y z -++=
C.()(){},,|11x y z x y z -++≤
D.(){}222,,|1x y z x y z ++≤
8. 已知,a b 均为单位向量,它们的夹角为60︒,那么3a b +等于（ ）
A
B
C
D ．4
9. 在平面直角坐标系中, (2,3),(3,2)A B --,沿x 轴把平面直角坐标系折
成120︒的二面角后,则线段AB 的长度为（ ） A
．
B
． C
． D
．
10. 已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，
则“αβ⊥”是“m β⊥”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不
充分也不必要条件
二、填空题（每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）
11. 若空间三点A （1，5，-2），B （2，4，1），C （p,3,q+2）共线，则p=______,q=______。
12. 设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．
13. 如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a 则异面直线PB 与AC 所成角的余弦值等于________；
14.已知123F i j k =++，223F i j k =-+-，3345F i j k =-+，若123,,F F F 共同
作用于一物体上，使物体从点M （1，-2，1）移动到N （3，1，2），则合力所作的功是 .
三、解答题（本大题共四个小题，15题11分，16题11分，17题12分，共24分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）
15. 设向量()()3,5,4,2,1,832,,a b a b a b =-=-⋅，计算并确定,λμ的关系，使
D C B
A E N M
a b z λμ+与轴垂直
16. 如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱长为1，P 、Q
分别是线段AD 1和BD 上的点，且D 1P ：PA=DQ ：
QB=5：12，
（1） 求线段PQ 的长度；
（2） 求证P Q ⊥AD ；
（3） 求证：PQ//平面CDD 1C 1；
17. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2 2，E ，F 分别是AD ，PC 的中点 （Ⅰ）证明：PC ⊥平面BEF ；（Ⅱ）求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小。
18. 如图,四棱锥S-ABCD 的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且SA ⊥
底面ABCD,若边BC 上存在异于B,C 的一点P,使得PS PD ⊥.
(1)求a 的最大值;
(2)当a 取最大值时,求异面直线AP 与SD 所成角的大小;
(3)当a 取最大值时,求平面SCD 的一个单位法向量n
及点P 到平面SCD 的距离.
参考答案
1-5 AABBB 6-10 BACBB
11. 3，2 12. 2π 13. 14. 14
15. 解：323(3,5,4)2(2,1,8)a b -=--=（9,15,-12）-(4,2,16)=(5,13,-28) a b ⋅=(3,5,-4)⋅(2,1,8)=6+5-32=-21
由()(0,0,1)(32,5,48)a b λμλμλμλμ+⋅=++-+(0,0,1)⋅480λμ=-+=
即当,λμ满足48λμ-+＝0即使a b λμ+与z 轴垂直.
16. 解：以D 为坐标原点。
DA 、DC 、DD 1分别为x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系。
由于正方体的棱长为1，所以D （0，0，0），D 1（0，0，1），B （1，1，0），A （1，0，0），∵P 、Q 分别是线段AD 1和BD 上的点，且D 1P ：PA=DQ ：QB=5：12，∴P 512(
,0,)1717
，Q （55,,01717），∴512(0,,)1717PQ =-，所以
（1）∴13||17
PQ PQ ==； （2）∵(1,0,0)DA =，∴0PQ DA ⋅=，∴P Q ⊥AD ；
（3）∵(0,1,0)DC =，1(0,0,1)DD =，∴15121717
PQ DC DD =-，又1,DD DC ⊂平面CDD 1C 1，PQ ⊄平面CDD 1C 1，∴PQ//平面CDD 1C 1；
17. 解法一 （Ⅰ）如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 算在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系。
∵AP=AB=2,BC=AD=2√ 2,四边形ABCD 是矩形。
∴A ，B ，C ，D 的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 2 √ 2,0)，D(0，2 √ 2，0)，P(0,0,2)
又E ，F 分别是AD ，PC 的中点，∴E(0，√ 2，0),F(1，√ 2，1)。
∴PC =（2，2 √ 2，-2）BF =（-1，√ 2，1）EF =（1,0, 1），∴PC ·BF =-2+4-2=0，PC ·EF =2+0-2=0，
∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF ，∴PC ⊥BF,PC ⊥EF,BF ∩ EF=F,∴PC ⊥平面BEF
（II ）由（I ）知平面BEF 的法向量
平面BAP 的法向量
设平面BEF 与平面BAP 的夹角为 θ ，
则
∴ θ=45℃， ∴ 平面BEF 与平面BAP 的夹角为45
解法二 （I ）连接PE ，EC 在
PA=AB=CD, AE=DE,
∴ PE= CE, 即 △PEC 是等腰三角形，
又F 是PC 的中点，∴EF ⊥PC,
又
，F 是PC 的中点，
∴BF ⊥PC.
又
18. 解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为: A(0,,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),
设P(a,x,0).
(0<x<2)
(1) ∵(),,1,PS a x =--(),2,0PD a x =--
∴由PS PD ⊥得: 2(2)0a x x --=
即: 2(2)(02)a x x x =-<<
∴当且仅当x=1时,a 有最大值为1.此时P 为BC 中点;
(2) 由(1)知: (1,1,0),(0,2,1),AP SD ==- ∴10cos ,,25AP SD
AP SD AP SD ===⨯⨯
∴异面直线AP 与SD
所成角的大小为cos 5
arc (3) 设()1,,n x y z =是平面SCD 的一个法向量,∵(1,0,0),(0,2,1),SD ==-DC
∴由1111000201021x x n DC n DC y z y n SD n SD z y ==⎧⎧⎧⎧⊥=⎪⎪⎪⎪⇒⇒-=⇒=⎨⎨⎨⎨⊥=⎪⎪⎪⎪⎩⎩==⎩⎩
取得1(0,1,2),n = ∴平面SCD 的一个单位法向量(
)110,1,25
n n n ==⋅= 又
(0,1,0),=-CP 在n 方向上的投影为55,15
n n -⋅==-CP ∴点P 到平面SCD 的距离为5。