高等数学习题解答习题一一.单项选择题1、A2、D ３、Ｃ 二.填空题1、 2、(－9,1) 三.计算题1、(１)解 函数要有意义,必须满足 即 定义域为 (２)解 函数要有意义,必须满足 解得或3。

(1)解 由 得 交换、ｙ得反函数为(２)解 由 得 交换、y 得反函数为 ４。

(1)解 只有ｔ=０时,能;t 取其它值时,因为 ,无定义 (２)解 不能,因为,此时无意义 5.解(１)12arccos 2-====x w w v v u ey u(2) 令 则 x w e m m x v v u ey wu2)sin(32==+===6、解 7。

解 设所以 解得 习题二一。

单项选择题1、Ａ ２、Ｂ 3、Ｄ 二、填空题 1、〉12、单调增加 三.计算题1、(1)解 因为 所以函数就是偶函数 (2)解 因为)()1ln(11ln)1ln()(222x f x x xx x x x f -=-+-=-+=++=-所以函数就是奇函数 (３)解所以函数就是奇函数 2、解 因为而得周期为,所以就是周期函数,周期为 3.解 由 得表面积: )0(919221226224222222≥++=++=+⋅+=r r v r r r rv r r r r h r s πππππππ四 证明习题三一.单项选择题1、C2、C3、B ４、C 二。

填空题1、１2、a ３、 4、２,0 ５、１ 三。

判断正误1、对; ２、对; 3、错 四.(1) 证明 令 只要,取当时,恒有 所以(2)证明 因为,对取定得,存在M 〉0,当x 〉M 时,有故当x 〉M 时, 习题四一、单项选择题1、B2、B3、B4、D 二。

填空题1、 2、0,6 3、 4、2,—2 三。

判断正误1、错; ２、错; ３、错; 四、计算题 1、原式＝2、原式＝3、原式=4、原式＝5、原式＝6、、原式= ７、因为 所以习题五一、1.B, 2.A, ３。

B 二、1。

2.0 三、1、 (1) (２) (3) (４)00sin 1lim lim sin 1()x x x x x x++→→+=解：原式=后一项是无穷小量乘有界函数 2.(1)22222222222lim(1)lim[(1)]lim(1)1n nn n n e e n n n⨯+→∞→∞→∞=+=++==原式 (２)(3)22322(3)3332233lim(1)lim(1)22x x x x e x x -++-•---→∞→∞⎡⎤-=-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦原式＝ (４)(中间思维过程同前)(５)222222lim ln()lim ln(1)lim ln(1)lim ln(1)1nn n n n n n n n n n n n•→∞→∞→∞→∞+==+=+=+=原式 四.1.证明:2......n nn π<++<+lim1,,.n n ==而故由夹逼准则知原式成立2、证明:只要证明原数列单调有界就可以达到目得()()2211112,110,0,.n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-+-=-=-->->>n 即而0<x <1,故即故数列单调递增且有界,极限存在.22212(21)11(1)1lim 1n n n n n n n n x x x x x x x +→∞=-+=--++=--<∴=习题六一、１。

Ｂ,2.B,3.Ｂ,4、B,５。

B 二、1。

,２。

可去,3。

1个 三、１。

解: 2.解: 有 四、证明:[][]31,(),(1)30,(2)250.,1,2,()0.x f x f f f ξξ--=-<=>=5设 f(x)=x 显然在区间1,2上连续且由零点定理知在区间上至少存在一点使原问题得证.习题七一、1.A,２.Ｃ二、1.充分,必要,2。

-2,３。

必要 三、1. (1)解:22222222221111111......1,(1)(1)(1)...(1)(1)3231111lim(1)lim(1)0,:lim(1)(1)...(1)023n nn n n n n n n nn n→∞→∞→∞<-<<-∴-<---<--=-=---=222111-221而由夹逼定理知2(2)解:2.解: 为第二类 ３。

解: 有四、1。

证明:0()1,()[0,1],f x f x ≤≤在上连续由介值定理知结论成立2。

证明:()cos ,(),].()0,()0,22222,f x x x f x f f ππππππππξξξ=--=-<=>∈设在[-上连续又2由零点定理知至少存在一点,使得f()=0,即使方程x=cosx 有根[-,]22习题八一、1、B,2.A,３、D 二、1.-2,00000000(2)(2)()(lim42lim 4lim 2,2()(0)()(0)'(0)lim lim ()()(0)()(0)()'(0)'(0)lim lim 2'(0)2lim'(0)2)x x x x x x x x f x f x f x x x xf x f f x f f x xf x f f x f f x f f f x x xf →→→→→→→→=-⇒=-⇒=--+==-+∴+=+⇒==-又奇函数故 2.100000000000002000020(2)()2(0(2)()2lim0,(2)()(2)()lim(2)0lim 2(2)()(2)lim 22(2)()lim 1()12h h h h h f x h f x hh f x h f x h h hf x h f x f x h f x h hf x h f x hf x h f x f x h →→→-→-→--+→--+∴=----⇒+=⇒=-⇒---=----⇒=⇒=-时，是的高阶无穷小'三、1.(1)解:22000200()()[()()1][1]()lim lim lim2lim lim (21)21x x x x x y f x x f x x x x x x x f x x x xx x x x x x x x∆→∆→∆→∆→∆→∆+∆-+∆-+∆+--+===∆∆∆∆+∆-∆==+∆-=-∆'(２)解:1321,0(0),24y x y x x y =-===令切线平行于轴，斜率为，得代入原方程得。

13故切点坐标为（，）24''２。

(1)解:(2)解:'000000000'0[()()][()()]()()lim()lim2()2h h f x h f x f x f x h f x h f x f x h h f x A →→+-+----==+-==原式 ３。

(１)解:22002(1)21(1)1lim 2,lim 2.x x x x x x +-∆→∆→+∆-⨯+∆-==∆∆左右导数存在且相等，故在分段点x=1处可导。

(２)解: 001sin(0)(0)limlim 0()k x x x f x f x xx+∆→∆→∆+∆-∆==∆∆无穷小量乘有界函数，在分段点x=0处可导。

４。

解:0000lim ()(0),lim ()lim ()1,1(2)lim (0)lim lim (0)lim 1.1x x x x x x x x f x f f x a f x a b x a e f b f x xa b +-++--→→→∆∆→∆→∆→∆→====+∆--=====∆∆==+-(1)要在x=0处连续，须即要在x=0处可导，须f (0)=f (0),即故时,f(x)在x=0处连续可导。

习题九 一、1.D,2.D,3。

Ａ 二、１.,2、－2() 3.,三、1.(1),(2)。

,(3)。

,(4)、 ２。

(1),(2),(3),(４) (5),(6),(7) (8) 3、(１), (2), (3), (4)222(cos )2cos 1,()21(sin )2sin 1f x x f x x f x x '''=-∴=-∴=-四(1)证明:(２)证明:()()()()()()()f x T f x f x T f x f x T x T f x T f x +=⇒+=⇒+•+=+=（），即原命题得证。

''''''ﻬ习题十一、1.D 2。

C二、1. 2。

０三、计算题1.求下列函数得高阶导数 (１),求 解:(2)设求(提示:) 解:,2.设与都三阶可导,,求, 解:()()()()()()()()()()()()()()()(),f x f x f x x f x f x f x f x f x f x f x f x x f x f x f x -=-⇒-•-=-⇒--=-⇒-=-=⇒-•-⇒-=-同理：原命题得证。

'''''''''='''[][][]222()[()]()[()]()()[()]()[()]()()[()]2()()[()]3()()[()]()[()]()()[()]y x f x x f x y x x f x x f x x x f x x x f x x x f x x f x x x f x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ''''''''=+''''''''''''''''''''''=+++''''''''''''''=++3、 (１) 解:(２)解:４、 (１)解:(2)解:5、 解:6、求曲线在处得切线方程,法线方程 解:切线方程: 法线方程: 习题十一一、１。

A C 2.A 3、B 二、１. 2. 3. 三、1、(１) (２) (3)2、(1)(2)2、 ３、4、５、７、(1)(2)略习题十二一、1.D 2.Ａ 3.C４.B ５.D 6、Ａ二、1.１２.1 0 3.0 4。

5.三、1、原式=2、(１)(2)3、(1)(2)4、5、设处处可导有既且既且有6、四、∵∴又∵∴于就是∴即:可寻习题十三一、1.A 2.Ｄ二、1.3 2.三、计算题:１、(1)原式(２)原式(３)原式(4)原式(5)原式(6)原式(7)原式(８)原式＝2、原式=四、证明题:(1)证:区间编点为两点连线斜率为 又∵∴于就是即总就是位于区间得正中点 (2)∴ 当 ∴ 即:4、 ∴∴ 即:３、则只有一实根 习题十四 一、1。