19
柱坐标系
1 (rAr ) A (rAz ) divA A= r r z 1 (rAr ) 1 A Az r r r z
球坐标系
1 divA A= 2 R sin
( AR R 2 sin ) ( A R sin ) ( RA ) R 1 ( R 2 AR ) 1 ( A sin ) 1 A = 2 R R R sin R sin
C为常数
梯度运算符合以下规则：
C 0 C C ( ) ( ) ( / ) ( ) / 2 F ( ) F ' ( )
10
Example 2-16(P30)
11
12
例 3


2) 梯度 (dv/dn)an
标量的梯度定义为一矢量，其大小为标量的空间最大变化率，其方 向为标量增加率最大的方向。
6
记为
GradV
dV an dn
习惯记为： V
dV an dn
沿dl 的方向导数是
dV dV dn dV cos dl dn dl dn V ˆn a ˆl V a ˆl a n
div A
V 0
lim

S
A dS v
分子表示流出的净通量，它是对包围该体积的整个表面S的积分。式 子是对div A的一般定义，它是一个标量，当A本身变化时，其大小 可能随点的位置而变化。该定义对任何坐标系都适用，当然div A的 表达式取决于所选的坐标系。
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S
A dS
a source and a sink

V
divAdV

S
A dS
该恒等式称为散度定理。该定理适用于封闭面S所围的任何体积V。ds的 方向总是外法线方向，垂直于表面ds且方向远离体积。
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Example 2-19(P35)
23
24
例
ˆR kR （例2-20，P35-36） 已知 F a
R2 R1
判断散度定理是否适用于图中所示 的壳层区域。壳层的封闭面是以原 点为中心而半径分别为 R=R1 和 R=R2 （R2>R1）的两个球面。 解 在外表面上：
ˆr r 2 a ˆz 2z Aa
1 (rFr ) 1 F Fz F r r r z
z 4
r 5
ˆr r 2 a ˆz 2 z Aa ˆs a ˆr dsr a ˆ ds a ˆ z dsz ds dsa ˆr rd dz a ˆ drdz a ˆ z rdrd ds a ˆ z rdrd dstop a ˆ z rdrd dsbottom a ˆr rd dz dsside a
同理可得
1 R ' 3 R R
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2. 矢量场的散度
A
B
矢量场 通线或流线 矢量的通量 电力线
A dS
S
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如： 真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面 包围的自由电荷的电荷量q与真空介电常数0之比：

S
E dS
q
0
高斯定理
闭合曲面内的电量为正、负、零时的通量· · · · · ·
O
源点 P’ (x’,y’,z’) 场点 P (x, y, z) '
r
R (r r ' )
r
y
ˆx ( y y ')e ˆy ( z z ')e ˆz x R ( x x ')e
R R ( x x ')2 ( y y ') 2 ( z z ') 2
bottom
bottom
2 A dstop 2 z rdrd 2 2 4 1 r 2
2 4 r 2
top
side
side
2
3
3
2
s
27
ˆr r 2 a ˆz 2 z Aa 1 (rFr ) 1 F Fz F r r r z 1 (r r 2 ) 1 0 2 z r r r z 1 2 3r 2 3r 2 r
S
z0

V
div AdV

A dS
26
z 4
r 5
z 0
A ds
s top
top
A ttom
side
A ds side
5 0
A ds 2 z rdrd 0 A ds r rd dz r 2 4 8 25 5 A ds r 2 4 2 4 r
电磁场与电磁波
主讲教师：黄文
重庆邮电大学 光电工程学院 电磁场与无线技术教学部 Email: huangwen@ 办公室：老1教1403
复习
1. 坐标系间的转换
2. 矢量函数的积分
2
Main topic
1. 标量场的梯度 2. 矢量场的散度 3. 散度定理
3
1. 标量场的梯度
1 1 1 1 ˆx e ˆy e ˆz e x R y R z R R 1 ˆx ( y y ')e ˆy ( z z ')e ˆz ] 3 [( x x ')e R R 3 R


标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。
5
Q1
V
q 4 0 R
l1
ln
P
Q
Q2
l2
1) 方向导数dv/dl
f f ( x x, y y, z z ) f ( x, y, z ) lim l l 0 l l x 2 y 2 z 2，三维
ˆR R22 sin d d R R2 , d S a
在内表面上：
ˆR R12 sin d d R R1 , d S a

外表面
F dS
2
0


0
(kR2 )R2 2 sin d d 4 kR23

外表面
F d S
2
0


0
(kR1 )R12 sin d d 4 kR13
可以很方便地将直角坐标系中的 ▽看做矢量微分算子：
ˆx a ˆy a ˆz a x y z
但在其他坐标系中不能这样定义。
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圆柱坐标系
f f f ˆr ˆ ˆz f a a a r r z
球坐标系
f f f ˆR ˆ ˆ f a a a R R R sin
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例 解
及 ' 计算 R R 1 1
z
ˆx ˆy e ˆz e e y z x
ˆx ˆy ˆz ' e e e x' y ' z '
散度运算规则
( A B) A B (C A) C A ( A) A A
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C为常数
Example 2-17(P33)
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3. 散度定理
前面的章节中将矢量场的散度定义为每单位体积流出的净通量。直观地 认为矢量场的散度的体积积分等于该矢量穿过包围该体积封闭面流出的 总通量，即 ，
Q

y

x
x
f ( x, y, z ) f ( x, y y, z ) f ( x, y, z ) lim y 0 y y
P
标量场f ( x, y, z )延l 方向的方向导数表示f沿该方向的变化率 f f ( x x, y y ) f ( x, y ) lim l x 2 y 2，二维 l l 0 l
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the net outward flow
2)坐标系中散度A的表示方法
1 (h2 h3 Au1 ) (h1h3 Au 2 ) (h1h2 Au 3 ) divA A h1h2 h3 u1 u2 u3
直角坐标系
Ax Ay Az divA A= x y z
根据矢量通过某一闭合面的通量性质可以判断闭合曲面中源的 正负特性，以及存在与否。 5C -2C 3C 4C
5C
通量仅能表示闭合曲面中源的总量，它不能显示源的分布特性， 如何显示源的特性呢？？？
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1) 散度
矢量场A中某点的散度定义为包围该点的体积趋于零时，单位体积内 流出的A的净通量，缩写为div A:
V V V ˆu1 ˆu2 ˆu3 V a a a l1 l2 l3 V V V ˆu1 ˆu2 ˆu3 V a a a h1u1 h2u2 h3u3
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在直角坐标系中
V V V ˆx ˆy ˆz V a a a x y z ˆx a ˆy a ˆ z )V ( a x y z
表明 V 在 al 方向上的空间增长率等于 V 的 梯度在 al方向上的投影（分量）。也可以 写作
l
ˆ n

P
dn cos dl
dV
(V ) dl
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3) 在坐标系中V的梯度的表示
dV
(V ) dl
V V V dV dl1 dl2 dl3 l1 l2 l3 ˆu1 dl1 a ˆu2 dl2 a ˆu3 dl3 a ˆu1 (h1du1 ) a ˆu2 (h2 du2 ) a ˆu3 (h3du3 ) dl a V V V ˆu1 ˆu 2 ˆu3 ) (a ˆu1 dl1 a ˆu2 dl2 a ˆu3 dl3 ) dV ( a a a l1 l2 l3 V V V ˆ ˆ ˆu3 ) dl ( au1 au2 a l1 l2 l3