高数A1试题
一、填空题：
1．2sin 0lim(13)x x x →+= 。

2．设()y y x =由方程2
xy x y =+确定，则=dy 。

3．已知
2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰ 。

4．()0x d xf t dt dx ⎰= 。

5．已知向量(3,1,2),(1,2,1)a b =--=-，单位向量e 同时垂直于a 与b ，则
e = 。

二、选择题：
1．当0x +→时，与x 等价的无穷小量是（ ）
)A
2)(1)B x x + )C )D 2．设()f x 是可导函数，则33000()()lim h f x h f x h
→+-等于（ ） )A 0 )B 03()f x )C '03()f x )D 2003()()f x f x '
3．设常数0>k ，函数k e x x x f +-
=ln )(在），∞+0(内零点的个数为（ ） )2A )3B )0C )1D
4．若()F x 是)(x f 的一个原函数，则()xf x dx '=⎰
（ ） )A ()()xf x F x C -+ )B ()()xf x F x C ++
)C ()()xf x f x C -+ )D ()()f x F x C -+
5．向量(4,3,4)a =-在向量(2,2,1)b =上的投影为（ ）
)A 2 )B )C 6 )D 23
三、计算题：
1． 011lim()ln(1)sin x x x
→-+。

（6分）
2． 函数0()0x
e x
f x a bx
x ⎧<=⎨+≥⎩在0x =处可导，求,a b 的值。

（7分） 3． 求参数方程 2
31x t y t t ⎧=-⎨=-⎩所确定的函数()y y x =的二阶导数。

（7分）
4．
求不定积分
()2ln 1x dx x ⎡⎤++⎥⎥⎦
⎰ 。

（7分） 5．
求不定积分e ⎰。

（7分）
6． 已知1,0
1()1,01x
x e f x x x ⎧<⎪⎪+=⎨⎪≥⎪+⎩
，求定积分()201f x dx -⎰ 。

（8分） 7． 求曲线(
1y x =-的柺点及凹、凸区间。

（8分）
四、应用题：
过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成的平面图形为D ，
（1） 求切线方程；
（2） 求D 的面积；
（3） 求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积。

五、证明题：
1、当0x >时，证明：()()22
1ln 1x x x ++<。

（5分） 2、已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0,f =求证：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()()f f ξξξ'=-
成立。

（5分）。