矩阵重点(仅供参考)
第一章
线性空间的证明
例8.1
1｝在三维空间用 中求下列各线性变换f在指定的基下的矩阵:已知f&「巧23)=(2眄一忑2卫2+乌，巧)’
求f在基Q=(1,0,0)„62=(0,1,0),£3=(0,0,1)下的距阵;
2)已知线桂变换f在基0-(一1」，1),血-(1,(),-1),773-((J,1,1)下的輕阵10 1'
入2_入0 0 0
化为Smith标准形*
［解］对矩阵人（州进行初等变换，得到
其中心(入)二1地(A)二心(A)二入(A-1) d (A) - A" (A-1)".
定理3.2重点讲的
定理
A-矩阵A（A）的Smith标准形是唯一的.
rd,(A)
价*
并且它们有相同的秩和相同的各阶行列式因子，所以4（入）的秩就是标准 形主肘角线上非零元素的个数r; A （A）的k阶行列式因子就是
■
■
J
2 1 0
［解］由前例有…4与Jordan标准形J= 0 2 1相似.
令P二（Pl、P2,pd则有Aj9i-2卫丄厂切2-P1+ 功2「切3-P2+ 2旳. 即：
■-G2 10'
'O'
■-62W
-6 2 10'
一4 1 7
Pi=
C
1
-4 1 7
P2 = Pi ,
-4 1 7
一3 1 5
0
-3 1 5
A（入）=山（A）心（入）…心（入）伙=12…“）
所以rfi （A）二6（A）//o（入）二器%…，rf,（入）二趙令知 即 心（入）a=12…，r）由丄（入）的行列式因子唯一确定，函以…4（入）的Smith标准形是唯一的・□
厂例3.3
-0
1
0…
0 -
0
0
1…
0
求矩阵貝(入)—
* r ♦
■ VI
i PVr#*
Di(入)=f)2(A)= ■■-=Dn-i(A)=1,
因此」(A)的不变因子为小(A)=丛(入)=…=f/„_i(A)=1,心(人)=(入一“)33(入)的初等因子为(入一“厂*
定理3.5重点讲的
例4.1考试题型
「例4,1
在复数域上求矩阵丄=
■3 0 8 '
3-16—20 —5
■■
的Jordan标准形J.
-3 15
”3 =P2
第四章
定理2.2考了很多次了（老师说的）
定理2.2
任意给崔非零列向量J GRH3 > !）及单位列向量Z匸则存住Househoider飪阵比使得Hjr =胡M
证：当乂=1=］Z时"取单位列向量也满足"0=0,则
Eh=（/—丁）=雷一2u（la丁頂）=邀=|^|*：
J —
JT
住一
即(A) -/(A),將5(入)的第一列.第n行去扌轧余下的71-1阶子式 为
所以，Di(A)二6(入)二…二几―1(入)=1,
di (A)=向2(Q=…=fAi-i(人)=1-d"(入)=/(人)，
rl1
因此1A(A)的Smith标准形为:
2—1为非零常数.
［解］因为A(X)为n阶方阵，所以n, (A)=(A-q)\去掉第了乙行与第1列后，余下的"一1阶子式为C1C2…所以(入)=1,所以
J
-1
当X/|j|时I取?!=
（此绘应用 了等式|j?—|t|才=2（T—\t\）
证明；2（工一|工|JT）=（眄工）（J-,丈）二（4工）一臥近）+ I打=
|卫|益工一I工卜）=I工一I远I屮
例2.1
试求矩阵月=（04—21的QR分解.
［解］我们分别应用Homdioldcr变换，Givens变换和Schmidt正交化方法 求矩阵A的QR分解，
1 1 0,求f在基
-12 1
耳己知/(//I)二(-5,0,3)J(也)二(0,-1,6)二(-5,-1,9),其中切-
(—13),2)=(0,1,1) ,%=(3,-1,0)是一个基，求/在£1=(1,0,G),£2=(0,1,0),^3- (0,0,1)下的矩阵以及在基W二(一12,2),"二(0丄1),脚二(3,-1,0)下的矩阵.
A—3tJ—8
■1-
-3 A+1 -6
T
入41
2 0入+5
■ ■
.(入+1匚
［解］因为\I-A =
因此『初等因子为入+1,入+1冗 所a,A的Jordan标准形"「例48
■-4
2
10'
在复数域上求矩阵A=
-4
3
7
的Jordan标准形J,并求出可逆矩阵P,
—3
1
了
使得P-L4P=J.
的特征矩阵的不变因子，并将
0
0
G…
1
_ —伦徒
—5-1
—5-2…
一创.
其化为Smith标准形.
J
经初等变换得到
-0
-1
(.)
…0-
()
A
-1
…0
■ ■■
0
■ I■
0
I I■
0
■■ ■ III
-1
L/(A)
On—1
2
…A + rtj _
其中：/ (入)—入"+口1入"丄+…+A+(7n,并且，
血t」(A)=detD(A)=(-眾+」；(A) (-1)(入),
［解］1)因为/(叼卫2十』=(2工1一孔，^2 +衍卫J所以/(^1) = /(1.0,0)=(2,0,1),/(eJ = /(OJ4)=(—1J2),/(叼)=/(0小1) = (0丄0).
由于三维向莹在标准正楚基61,£2,^3下的坐标就是其分量，
又（巾「乃Jb）=（6^20」
■ ■
-110
■ ■
1 01
'"11-1'
"-11-2'
10 1
1 1 0
01-1
2 2 0
1-11
■ ■
一121
■ IS
1 0 1
3 0 2
H- ■
由此可得/（…勿如二
（G
因此f在基“T“疋3下的矩阵为
线性变换的矩阵表示是重点
第二章
例2.2
例2.2
在欧氏空间用 中对于基曲=（1」.1）・02=念=（1.0,0）行正交化
（方法一）应用Householder变换求QR分解.
因为fii=（0,0⑵'，取6=Ik^lL=2,作单位向量
方法”求出/?"的一个标准正交基.
73=他一常帶bl一錚Ibii=；所以｛九他斶是Q的一
个正交基；
2）再令C1=閔=（；^，為.雳）'厲2=盘|=（為，吉•-搓）；。3=希=（为，-爲4）;
则｛创：血‘伽｝却为欧氏空间R"的一个标准正交基.
第三章(最重要的是第三章 重中之重就是Jordan)
引理2.1重点讲的
如農入一矩阵月(入)中的元素创1(入)黑a并且A a)中至少有一个元素不能 被其整除,则必存在一个与卫(泊等价的入一矩阵5(入)，并且B(X)中的元素6n (A)丰0.同时多项式fell (A)的次数小于ax(A)的次数.
［例2.2
将A-矩阵A［入）二
■0 0 0丹
() 0入2—A0
0(入-1)200