在 ( 2a ，0) 上单调递减． ………………………………………………………6 分 3
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2021届四川省绵阳市2018级高三上学期一诊考试文科数学试卷
（2）由（1）可知，
函数 f (x) 的两个极值为 f (0) = 4a 和 f (2a ) = − 4 a3 + 4a ， 3 27
∴ an = a2 + (n − 2) 2 = 2n+1 ． ………………………………………………6 分
（2）由题意得 bn = 2an + an = 22n+1 + (2n +1) = 2 4n + (2n +1) ， ……………8 分
Tn = 2(41 + 42 +
+ 4n ) + n(3 + 2n +1) 2
2
6
2
可得 kπ − π ≤ x ≤ kπ + π (k∈Z)，
3
6
即当 x∈ [kπ − π ，kπ + π ] (k∈Z)时，函数 f (x) 单调递增，
3
6
同理可得当 x∈ [kπ + π ，kπ + 2π ] (k∈Z)时，函数 f (x x [0，π]， 2
∴ 函数 f (x) 在 [0，π] 上单调递增， f (x) 在 [π， π] 上单调递减． ……………8 分
∴ C = π ． ……………………………………………………………………6 分 3
（2）由题意得 sin B = 1− cos2 B = 4 3 ． 7
在△ABC 中， 由正弦定理得 AC = AB sin B = 8 ． …………………………8 分 sin C
sin A = sin(B + π) = 1 sin B + 3 cos B = 3 3 ，
= 3 sin 2x + 3 1+ cos 2x − 3
2
2
2
= 3 sin(2x + π) ． ………………………………………………4 分 6
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2021届四川省绵阳市2018级高三上学期一诊考试文科数学试卷
由 2kπ − π ≤ 2x + π ≤ 2kπ + π (k∈Z)，
绵阳市高中 2018 级第一次诊断性考试 文科数学参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分． DCDAA ADBBC CD
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．-1
14．6
15． 9 16
16． (− 3，0] 4
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．
显然 g(m) 在区间 [1，+ ) 上单调递减，
∴ g(m)max = g(1) = 2 ． ∴ 2a≥2，即 a≥1． …………………………………………………………12 分
21．解：（1） f (x) = 3x2 − 2ax = 3x(x − 2a ) ． 3
当 a = 0 时， f (x) = 3x2≥0 ，函数 f (x) 在 (−，+ ) 上单调递增．
−x
x
综上，所述
f
(
x)
=
x2 + 0，x
1
−
1，x x
=
0， 0，
…………………………………………5
分
x2
+1
+
1，x
0．
x
（2）不等式 f(x2)+2af(x)≥-1 恒成立，
等价于
x2
+
1 x2
−1+
2a(x
+
1 x
−1)≥−1 ，
整理得 (x + 1)2 − 2 + 2a(x + 1 −1)≥0 ，
6
62
（2）由题意得 g(x) = 3 sin[2(x − π) + π] = 3 sin(2x − π) ．
46
3
∵ 0 ≤ x ≤ π ，∴ − π ≤ 2x − π ≤ 2π ，
2
3
33
∴ 3 sin(2x − π) [− 3 ，1] ，
3
2
∴ g(x)[− 3， 3] ． …………………………………………………………12 分 2
= 8(4n −1) + n2 + 2n ． ………………………………………………………12 分 3
18．解：（1） f (x) = 2 3 cos x sin(x + π) − 3 62
= 2 3 cos x( 3 sin x + 1 cos x) − 3
2
2
2
= 3sin x cos x + 3 cos2 x − 3 2
19．解：（1）在△ABC 中，由正弦定理得 sin C sin A = sin Acos(C − π) ， 6
∵ 0 A π ∴ sin A 0 ，
∴
sin C
=
cos(C
−
π )
=
3 cosC + 1 sin C ，
62
2
即 sin C = 3 cosC ，得 tan C = 3 ．
∵0Cπ，
17．解：（1）设等差数列 {an} 的公差为 d．
∵ S3 = a1 + a2 + a3 = 3a2 = 15 ，得 a2 = 5 ．
又 a1 a2 = a7 ，得 (a2 − d) a2 = a2 + 5d ， ………………………………………3 分
即 5(5 − d) = 5 + 5d ，
解得 d=2．
x
x
令 t= x + 1 ， x
即 t2 − 2 + 2a(t −1)≥0 恒成立， …………………………………………………8 分
∵ x>0，于是 t≥2，∴ t-1≥0，
于是 2a≥ 2 − t2 = −(t −1) + 1 − 2 ，
t −1
t −1
令 m=t-1≥1， g(m) = −m + 1 + 2 ， …………………………………………10 分 m
32
2
14
∴ AB 边上的高 h = AC sin A = 12 3 ． ………………………………………12 分 7
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2021届四川省绵阳市2018级高三上学期一诊考试文科数学试卷
20．解：（1）当 x=0 时，f(x)=0；
当 x>0 时，f(x)=-f(-x)= −[(−x)2 +1 +1] = x2 +1 −1；
…………2 分
当 a 0 时，由 f (x) 0 ，得 x 0 或 x 2a ． 3
由 f (x) 0 ，得 0 x 2a ． 3
∴函数 f (x) 在 (−，0) 和 ( 2a ，+ ) 上单调递增，在 (0，2a ) 上单调递减．
3
3
当 a 0 时，同理可得函数 f (x) 在 (−，2a ) 和 (0，+ ) 上单调递增， 3