椭圆定义及性质的应用一、椭圆的定义椭圆第一定义第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.★过点1F 作12PF F ∆的P ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 的轨迹方程为222x y a +=.推导过程：延长1F Q 交2F P 于M ，连接OQ ，由已知有PQ 为1MF 的中垂线，则1PF PM =，Q 为1F M 中点，212OQ F M ==()1212PF PF +=a ，所以Q 的轨迹方程为 222x y a +=.（椭圆的方程与离心率学案第5题）椭圆第二定义第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆.2PF e d =（d 为点P 到右准线的距离），右准线对应右焦点，其中2PF 称作焦半径，左、右准线公式2a x c=±..椭圆的焦半径公式为：1020,PF a ex PF a ex =+=-.推导过程：2200aPF ed e x a exc⎛⎫==-=-⎪⎝⎭；同理得10PF a ex=+.简记为：左加右减a在前.由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数. （离心率、焦点弦问题）例1：（2010全国卷Ⅱ理数12题）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=＞＞的离心率为3，过右焦点F且斜率为(0)k k>的直线与C相交于,A B两点．若3AF FB=u u u r u u u r，则k=（）A.1 D.2B【解析】解法一：1122(,),(,)A x yB x y，∵3AF FB=u u u r u u u r，∴123y y=-，∵2e=，设2,a t c==，b t=，∴222440x y b+-=，直线AB方程为x my=.代入消去x，∴222(4)0m y b++-=，∴2121222,44by y y ym m+=-=-++，则2222222,344by ym m-=--=-++，解得212m=，则k= 0k>.解法二：设直线l为椭圆的右准线，e为离心率，过,A B别作11,AA BB垂直于l，11,A B为垂足，过B作BH垂直于1AA与H，设BF m=，由第二定义得，11,AF BFAA BBe e==，由3AF FB=u u u r u u u r，得13mAAe=,2mAHe=，4AB m=，则21cos42mAH eBAHAB m e∠====，则sin BAH∠=tan BAH∠=，则k=0k>.故选B.（离心率、焦点弦问题）例2：倾斜角为6π的直线过椭圆)0(12222>>=+babyax的左焦点F，交椭圆于,A B 两点，且有3AF BF=，求椭圆的离心率.33【解析】解法一：,AF BF 为左焦点上的焦半径，所以过,A B 两点分别作垂直于准线的直线且和准线交于11,A B 两点，从B 点作1BH AA ⊥.因为3AF BF =，设BF m =，则3AF m =，4AB m =，又因为11AF BF e AA BB ==，则1BF m BB e e ==,13m AA e =，所以2m AH e=，在ABH ∆中，6BAH π∠=，所以32AH AB =，解得33e =. 解法二：如图，设,3BF m AF m ==，则122,23BF a m AF a m =-=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得222394(23)cos 62232m c a m m cπ+--==⨯⨯，化简得23326cm b am =-+①，222534(2)cos 6222m c a m m cπ+--=-=⨯⨯，化简得2322cm b am -=-+②，①＋②×3化简得，223b m a =，代入①解得3e =. 椭圆第三定义第三定义：在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中，,A B 两点关于原点对称，P 是椭圆上异于,A B 两点的任意一点，若PB PA k k ,存在，则1222-=-=⋅e a b k k PBPA .（反之亦成立）.（★焦点在Y 轴上时，椭圆满足22ba k k PB PA -=⋅） 推导过程：设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y --．所以12222=+b y a x ①，1221221=+by a x ②；由①－②得22122212b y y a x x --=-，所以22212212a b x x y y -=--，所以222111222111PA PB y y y y y y b k k x x x x x x a -+-⋅=⋅==--+-为定值． 例1:已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴长为4，若点P 是椭圆上任意一点，过原点的直线l 与椭圆相交与N M ,两点，记直线PN PM ,的斜率分别为21,k k .若4121-=⋅k k ，则椭圆的方程为 . 1422=+y x .【解析】解法一：(,)P x y ，11(,)M x y ，则11(,)N x y --，因为12222=+b y a x ，则)1(2222ax b y -=，)1(221221a x b y -=，则222212222211112222221111(1)(1)14x x b b y y y y y y b a a k k x x x x x x x x a ----+-⋅=⋅===-=--+--.且42=a ，则椭圆方程为1422=+y x .解法二：由第三定义知4122-=-a b ，且42=a ，则则椭圆方程为1422=+y x .例2:已知椭圆)0(13422>>=+b a y x 的左右顶点分别为21,A A ，点P 在椭圆上，且直线2PA 的斜率的取值范围是]1,2[--，那么直线1PA 的斜率的取值范围是 .]43,83[.【解析】设1PA ，2PA 的斜率分别为21,k k ，则432221-=-=⋅a b k k ，又]1,2[2--∈k ，所以]43,83[1∈k . 二、椭圆的性质焦点三角形椭圆焦点三角形的边角关系：122F F c =， 122PF PF a +=，周长为22a c +.设12F PF θ∠=. （1）当点P 处于短轴的顶点处时，顶角θ最大；（2）221221cos b PF PF a θ⋅=≤+，当且仅当12PF PF =时取等号；（3）122tan2PF F S b θ∆=；（4）12112122PF F B F F S S c b bc ∆∆≤=⨯⨯=，当且仅当12PF PF =时取等号. 推导过程：（1）()()()2222222212002222222120004444cos 12222PF PF c a ex a ex c a c PF PF a e x a e x θ+-++---===-⋅-+， 当00x =时，cos θ有最小值2222a c a-，即12F PF θ∠=最大； （2）22212124cos 2PF PF c PF PF θ+-=⋅，()221212122cos 24PF PF PF PF PF PF c θ⋅=+-⋅-则有，21221cos b PF PF θ⋅=+，2221220max 2221cos 1cos 12cos 12b b b PF PF θθθ⋅=≤=+++-，（当点P 为短轴顶点时θ取得最大值0θ，此时0cos 2b a θ=），代入化简得221221cos b PF PF a θ⋅=≤+. （3）由（2）得12222212sin 2sin cos tan21cos 2222cos 2PF F b b S b θθθθθθ∆=⨯⋅=⋅=+. （离心率问题）例1.已知12,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点，椭圆C 上存在一点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.【解析】解法一：在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B 位于短轴的交点处，由题意得145F BO ∠≥︒， 所以1FO OB ≥,即c b ≥,解得e ∈. 解法二：设(,)P x y ，由题意得椭圆C 上存在一点P ，使得12F P F P ⊥u u u r u u u u r，即(,)(,)0x c y x c y +-=，化简，得222x y c +=，与12222=+b y a x 联立，消去y 得2222222a c ab x a b -=-，由椭圆范围知220x a ≤<，即22222220a c a b a a b -≤<-，化简得222b c a ≤<，解得[2e ∈. 变式1：已知12,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点，椭圆C 上存在一点P ，使得12F PF ∠为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.【解析】在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B 位于短轴的交点处，12F PF ∠为钝角，所以145F BO ∠>︒，所以1FO OB >,即c b >,解得,1)2e ∈. 变式2：已知12,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点，椭圆C 上存在一点P ，使得1260F PF ∠=︒（变式3：12120F PF ∠=︒），则椭圆C 的离心率的取值范围是__________.1[,1)2【解析】在椭圆中，焦点三角形顶角最大时点B 位于短轴的交点处，由题意得130F BO ∠≥︒，所以11sin sin 302c F BO a ∠=≥︒=，则1[,1)2e ∈.变式3：e ∈.（离心率问题）例2.已知12,F F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左右焦点，若在直线2a x c=上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.e ∈【解析】22PF c =，22PF F H ≥，即22a c c c ≥-解得：e ∈. （焦点三角形面积问题）例3.已知椭圆21221925F F y x 、，=+为焦点，点P 为椭圆上一点，123F PF π∠=，求21PF F S ∆.33【解析】解法一：设12,,PF m PF n ==则有10m n +=，在21F PF ∆中由余弦定理得mn n m c -+==222644，则mn mn n m 31003)(642-=-+=，则12=mn ，则333sin 2121==∆πmn S PF F .解法二：122tan9tan26PF F S b θπ∆==⨯=（焦点三角形面积问题）例4.过椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 中心的直线与椭圆交于,A B 两点，右焦点为2(c,0)F ，则 2ABF ∆的最大面积为_________.bc 【解析】由题意得,A B 关于原点对称，则有212ABF AF F S S ∆∆=，故当A 位于短轴的顶点处时，面积最大，为bc . （焦点三角形边角问题）例5.已知椭圆22194x y +=的两个焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，（1）在椭圆上满足12PF PF ⊥的点P 的个数是？（2）12PF PF ⋅的最大值是？（3）12F PF ∠为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是？【解析】（1）画图知，所求点的个数即为圆222x y c +=与椭圆的交点个数，由于52c b =>=，故有4个点.（2）解法一：设12,,PF m PF n ==则有6m n +=，212()92m n PF PF mn +⋅=≤=，当且仅当m n =时取等号.解法二：由性质得2221220min 2221cos 1(cos )12cos 12b b b PF PF θθθ⋅=≤=+++-，（当点P 为短轴顶点时取得最大值，此时0cos 2b a θ=），代入化简得221221cos b PF PF a θ⋅=≤+. （3）如图所示，222x y c +=与椭圆有4个交点，假设在第一象限的交点为00(,)P x y ，此时122F PF π∠=，设12,,PF m PF n ==则有6m n +=，222420m n c +==，解得4,2m n ==（或2,4m n ==），由等面积法得0222y c mn ⨯=，则05y =，则由勾股定理得22200()c x y n -+=，解得05x =，则由对称性可知，点P 的横坐标的取值范围是3535(,)-. (焦点三角形中与距离最值有关的问题):注意在三角函数与解析几何中最值问题的一个很重要的用法：（1）三角形两边之和大于第三边，当三点在一条线上时取得最小值； （2）两边之差小于第三边.焦点三角形中的最值问题一般是距离之和的最值，且存在定点，故可以用三角形中的不等式来求； ★若点A 为椭圆内一定点，点P 在椭圆上，则有：111AF PA PF AF -≤-≤.（三角形三边关系）★若点A 为椭圆内一定点，点P 在椭圆上，则有：12122a AF PA PF a AF -≤+≤+.推导过程：连接11,,AP AF PF ，()21122AP PF AP a PF a AP PF +=+-=+-由三角形三边关系得111AF PA PF AF -≤-≤，则有12122a AF PA PF a AF -≤+≤+（椭圆定义的应用，三角形三边关系）.焦点弦经过椭圆焦点的弦是焦点弦.（1）焦点弦长可用弦长公式求22212121212211()41()4AB k x x x x y y y y k=++-=++-； *（2）设焦点弦所在的直线的倾斜角为θ，则有22222||=cos ab AB a c θ-. *（3）2211ba BF AF =+（F 为某一焦点）. （4）2ABF ∆的周长为4a .（离心率、焦点弦问题）（同第二定义例1）例1：（2010全国卷Ⅱ理数12题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 相交于,A B 两点．若3AF FB =u u u r u u u r ，则k =（ ）A.1B.2C.3D.2B 【解析】解答题解法：1122(,),(,)A x y B x y ，∵ 3AF FB =u u u r u u u r，∴ 123y y =-， ∵ 3e =，设2,3a t c t ==，b t =，∴ 222440x y b +-=，直线AB 方程为3x my b =+.代入消去x ，∴ 222(4)230m y mby b ++-=，∴ 21212223,4mb b y y y y m +=-=-+，则22222232,34mb b y y m -=--=-+，解得212m =，则2k =，0k >.中点弦AB 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的任意一弦，P 是AB 中点，则1222-=-=⋅e ab k k OPAB .证明：令()()1122,,,A x y B x y ，()00,P x y则()1202x x x+=，()1202y y y +=，()()()()22112212121212222222221..01x y x x x x y y y y a b a b x y a b ⎫+=⎪+-+-⎪⇒+=⎬⎪+=⎪⎭， ()()()()2121221212y y b x x x x a y y -+⇒=--+，由于()()1212AB y y k x x -=-，00OPy k x =，则 22AB OP b k k a⋅=-. 例1：过点(2,1)M 作一条直线l 交椭圆221169x y +=于点AB ，若点M 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程.【解析】解答题步骤：解法一（点差法）：由题意得直线l 有斜率，设其斜率为k ，1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)M x y ，代入椭圆方程，有222211221,1169169x y x y +=+=，两式作差得()()()()12121212..0169x x x x y y y y +-+-+=，()()120120916y y y x x x -⨯=--，即19216k ⨯=-，则98k =-.则直线l 的方程为91(2)8y x -=-⨯-，即98260x y +-=. 解法二（代入法）：由题意得直线l 有斜率，设其直线方程为1(2)y k x -=-，得12y kx k =+-，代入221169x y +=得222(916)32(12)16(12)1440k x k k x k ++-+--=，则120232(12)24916k k x x x k -+=-==+，解得98k =-，则直线l 的方程为98260x y +-=.这两种方法都体现了设而不求的思想，这是圆锥曲线解题的常用思想.切线及切点弦切线方程：（1）设),(00y x P 为圆222r y x =+上一点，则过该点的切线方程为：200r y y x x =+；（2）设),(00y x P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，则过该点的切线方程为：12020=+b y y a x x .切点弦方程：（1）设),(00y x P 是圆222r y x =+外的一点，过点P 作曲线的两条切线,切点N M 、,则切点弦MN 所在直线方程为200r y y x x =+；（2）设),(00y x P 是椭圆外的一点，过点P 作曲线的两条切线,切点N M 、,则切点弦MN 所在直线方程为1220=+byyaxx.例1：以422=+yx上的点)3,1(P为切点的切线方程为_________.【解析】解法一：由题意得切线有斜率，设切线方程为)1(3-=-xky，则03=-+-kykx，则有2132=+-kk，解得33-=k，则切线方程为043=-+yx.解法二：点)3,1(P为切点，由公式得，切线方程为431=⨯+⨯yx，即043=-+yx.例2：以13422=+yx上的点)23,1(P为切点的切线方程为_________.【解析】解法一：由题意得切线有斜率，设切线方程为)1(23-=-xky，代入13422=+yx，化简得3124)23(4)43(222=--+-++kkxkkxk，则有0)3124)(43(4)23(162222=--+--=∆kkkkk，解得21-=k，则切线方程为042=-+yx.解法二：点)23,1(P为切点，由公式得，切线方程为132341=⨯+⨯yx，即042=-+yx.★过椭圆准线上任一点作椭圆和切线，切点弦AB过该准线对应的焦点.推导过程：设2,aM yc⎛⎫⎪⎝⎭，则AB的方程为2221ax y yca b+=，即021y yxc b+=必过点(),0c.★过椭圆焦点弦的两端点作椭圆的切线，切线交点在准线上.光学性质★椭圆的光学性质：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点.★椭圆上一个点P 的两条焦半径12,PF PF 的夹角12F PF ∠被椭圆在点P 处的法线平分.（入射光线、反射光线、镜面、法线）已知：如图，椭圆C的方程为22221x y a b +=，12,F F 分别是其左、右焦点，l 是过椭圆上一点00(,)P x y 的切线，'l 为垂直于l 且过点P 的椭圆的法线，交x 轴于D ，设21,F PD F PD αβ∠=∠=， 求证：αβ=.证明：在2222:1x y C a b+=上，00(,)P x y C ∈， 则过点P 的切线方程为：00221x x y y a b+=，'l 是通过点 P 且与切线l 垂直的法线，则0000222211':()()()y x l x x y b a b a-=-， ∴法线'l 与x 轴交于20((),0)c D x a， ∴22102022||,||c c F D x c F D c x a a=+=-，∴201220||||a cx F D F D a cx +=-，又由焦半径公式得：1020||,||PF a ex PF a ex =+=-，∴1122||||||||F D PF F D PF =，∴PD 是12F PF ∠的平分线， ∴αβ=，∵90ααββ''+=︒=+，故可得αβαβ''=⇔=.例1. 已知椭圆方程为1162522=+y x ，若有光束自焦点(3,0)A 射出，经二次反射回到A 点，设二次反射点为,B C ，如图所示，则ABC D 的周长为 .20【解析】：∵椭圆方程为1162522=+y x 中，225169c =-=， ∴(3,0)A 为该椭圆的一个焦点，∴自(3,0)A 射出的光线AB 反射后，反射光线BC 定过另一个焦点(3,0)A ¢-，故ABC D 的周长为：''44520AB BA A C CA a +++==⨯=.。