概率论与数理统计作业8（§3.1～§3.3）一、填空题 1. Y X ,独立同分布323110//PX ，则()().XY E ,Y X P 94951==≤+2. 设X 的密度函数为2(1)01()0x x f x -<<⎧=⎨⎩其它，则()E X 31/,2()E X =61/．3. 随机变量X 的分布率为303040202...P X-，则()E X = -0.2 ，2(35)E X += 13.4 。

4. 已知随机变量X 的分布列为P （X m =）＝101， m ＝2,4,…,18,20,，则 ()E X = 115. 对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为1p ，第二台仪器发生故障的概率为2p ．令X 表示测试中发生故障的仪器数，则()=X E 21p p + 二、计算题1. 连续型随机变量X 的概率密度为01(,0)()0akx x k a f x ⎧<<>=⎨⎩其它又知()0.75E X =，求k 和a 的值。

解：由(),dx kx dx x f a 11==⎰⎰+∞∞-得,a k11=+ 又 ()0.75E X =，则有(),.dx kx x dx x xf a 75010=⋅=⎰⎰+∞∞-得,.a k7502=+ 故由上两式解得k =3,a =2.2. 对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。

如果发现次品，则立即停止检查而认为这批产品不合格；如果连续检查5个产品，都是合格品，则也停止检查而认为这批产品合格。

设每批产品的次品率为p ，求每批产品抽查样品的平均数。

解：设随机变量X 表示每批产品抽查的样品数，则:∴X 的概率分布表如下：3．设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它，0142122y x y x y x f1）求()X E ，()Y E 及()XY E ； 2）求X 与Y 的边缘密度函数； 解：1）()();dx x x dy y x x dx dxdy y ,x xf EX x0821421117312112=-=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰--+∞∞-+∞∞-()();dx x x dy y x y dx dxdy y ,x yf EY x9747421118212112=-=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰--+∞∞-+∞∞-()()();dx x x dy y x xy dx dxdy y ,x xyf XY E x047421119312112=-=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰--+∞∞-+∞∞-2）当时，1≤x ()()();x x ydy x dy y ,x f x f x X 62218214212-===⎰⎰+∞∞- 当时，1≥x ().x f X 0=当时，10≤≤y ()();y ydx x dx y ,x f y f yy Y 25227421===⎰⎰-∞+∞- 当时，或01<>y y ().y f Y 0=X )m X (P =4q 521ppq432pq 3pq ；),,,m (pq )m X (P m 43211===-)q p (1=+4545q q pq )X (P =+==4324325101055432p p p p q pq pq pq p EX +-+-=++++=∴()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=∴.x ,;x ,x x x f X 10182162概率论与数理统计作业9（§3.4～§3.7）一、填空题1. 设随机变量1X ，2X ，3X 相互独立，其中1X 在[0，6]上服从均匀分布，2X 服从1()2e ，3X 服从参数为λ=3的泊松分布，记12323Y X X X =-+，则()D Y = 462. 随机变量Y X ,相互独立，又()⎪⎭⎫ ⎝⎛41,8~,2~B Y P X 则()=-Y X E 2 --2 ，()=-Y X D 2 8 ．3. 随机变量~(10,0.6),~(0.6),X B Y P 相关系数1(,)4R X Y =,(,)Cov X Y =__0.3__ . 4、若X ~(,)B n p ，且()12E X =，()8D X =，则n = 36 ，p =31. 二、选择题1. 设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则()()()D X Y D X D Y +=+是X 和Y 的 BA ）不相关的充分条件，但不是必要条件；B ）独立的必要条件，但不是充分条件；C ）不相关的必要条件，但不是充分条件；D ）独立的充分必要条件 2. 设)(~λP X ，且()(1)21E X X --=⎡⎤⎣⎦，则λ= A A ）1， B ）2， C ）3， D ）0 3. 设123,,X X X 相互独立同服从参数3λ=的泊松分布，令1231()3Y X X X =++，则 2()E Y = CA ）1.B ）9.C ）10.D ）6. 4. 将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，则X 与Y 的相关系数等于（ A ）。

A ）1-B ）0C ）1/2D ）15．设随机变量()2D X =，()2D Y =，而且X 与Y 不相关，令Y aX U +=，bY X V +=，且U 与V 也不相关，则有（ C ）A ）0==b a ；B ）0≠=b a ；C ）0=+b a ；D ）0=ab ．6．若Y X ,ρ表示二维随机变量()Y X ,的相关系数，则“1,=Y X ρ”是“存在常数a 、b（0b ≠）使得{}1=+=bX a Y P ”的（ C ） A ）必要条件，但非充分条件； B ）充分条件，但非必要条件； C ）充分必要条件； D ）既非充分条件，也非必要条件． 三、计算题1、一批零件中有9个合格品与3个废品，安装机器时从这批零件中任取1个，如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的方差.解： 设X 表示取得合格品以前已取出的废品数，则X =0，1，2，3;112193)(+==k k P P P k X P .概率分布表如下()..EX EX DX ,EX ,.EX 319011002230222≈=-=== 2、设随机变量X 的概率密度为 ||1()0 ||1x f x x <=≥⎩，求()D X1）;dx xx EX 011112=-⋅=⎰-π,dx xx dx xx EX ⎰⎰-⋅=-⋅=-1221122211211ππ().dt t cos dt t sin EX DX tdt cos dx ,t sin x 2122122202022=-=====⎰⎰ππππ令3. 二维随机变量（X ,Y ）在区域R ：x y x ≤≤≤≤0,10上服从均匀分布，求：（1）数学期望EX 及EY ；（2）方差DX 及DY ；（3）协方差),cov(Y X 及相关系数),(Y X R 。

解：由题设得 ()⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它，00102xy ,x ,y x f ，则();dy x dx dxdy y ,x xf EX x322010===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞- ();dy y dx dxdy y ,x yf EY x31201===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞- ();dy x dx dxdy y ,x f x EX x21202122===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞- ();dy y dx dxdy y ,x f y EY x61202122===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞- ()().EY EY DY ;EX EX DX 1811812222=-==-= ()().dy xy dx dxdy y ,x xyf XY E x41201===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞- ()()()().DYDX Y ,X cov Y ,X R ;EY EX XY E Y ,X cov 21361=⋅==⋅-=4. 设(,)X Y 的联合概率分布如下表所示, 计算X 与Y 的相关系数, 并判断X 与Y 是否独立?解：,()()()不独立。

Y ,X ,p p ,p Y X ∴=--≠=--6411811Θ.DY ,DX ,EY ,EX ,EY ,EX 43434383834383830022===+==+=== ().XY E 081818181=+--=()().DYDX Y ,X cov Y ,X R 0=⋅=5. (X ，Y ) 只取下列数组中的值：1(0,0), (1,1), (1,), (2,0)3--且相应的概率依次为16，13，112，512，求X 与Y 的相关系数, 并判断X 与Y 是否独立? 解：由题设得,.DY ,DX ,EY ,EX ,EY ,EX 1296275144275108371225361312522======(),XY E 361336131-=--=()()..DYDX Y ,X cov Y ,X R 804027522136275123536131253613-=-=⨯⋅⨯--=⋅=()()()不独立。

Y ,X ,p p ,p Y X ∴=-≠=-1443501001Θ 6. 两个随机变量(X ，Y ), 已知()25D X =，()36D Y =，(,)0.4R X Y =，计算()D X Y +与()D X Y -.解： ()()();.DYDX Y ,X R DY DX Y ,X cov DY DX Y X D 8565402362522=⨯⨯⨯++=⨯⨯++=++=+概率统计作业10（§3.8～§4.2）1. 随机变量X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式估计()()2P X E X -≥ 解：().EX X P 21422=≤≥- 2. 利用切比雪夫不等式估计随机变量与数学期望的差的绝对值大于三倍标准差的概率. 解：()..DX EX X P 1111091932≈=≤≥-σσ 3. 为了确定事件A 的概率，进行10000次重复独立试验，利用切比雪夫不等式估计：用事件A 在10000次实验中发生的频率作为事件A 的概率的近似值时，误差小于0.01的概率. 解：设事件A 在每次试验中发生的概率为 p ，在这10000次试验中发生了X 次, 则EX=np=10000p =10000p, DX=10000p (1-p ), 因此，所求事件的概率为⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-01010000.p X P ()p p --=1121p p +-=22143⎪⎭⎫⎝⎛-+=p ..750≥21001DX-≥()100<-=EXX P ()10010000<-=p X P4、 填空题1）设()24,3~N X ，则()=2X E 25 ．2）随机变量()22,20~N X ，若()21=≤a X P ，则=a 20 ．3）Y X ,服从相同分布()2,σμN ，则()()[]=-+bY aX bY aX E ()()2222μσ+-ba ．4）设随机变量),(N ~X 22σ，且(24)0.3P X <<=，则(0)P X <= 0.2 ． 5）已知连续随机变量X的概率密度函数为221()xx f x -+-=，则X 的数学期望为1 ，X 的方差为0.5.5. 设随机变量X 服从正态分布N （1，22），查表求:（1）();.X p 22< （2）();.X .p 8561<≤- （3）();5.3≤X p （4）().56.4≥X p 解：()()()；0.72570.621-2.2221=Φ=⎪⎭⎫⎝⎛Φ=<.X p ()()()()()()；0.89501.31-2.4 1.3--2.421-1.6--21-5.85.81.6-2=Φ+Φ=ΦΦ=⎪⎭⎫⎝⎛Φ⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=<≤X p()()()()()()；0.88222.251-1.25 2.25--1.2521-3.5--21-3.53.53=Φ+Φ=ΦΦ=⎪⎭⎫⎝⎛Φ⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=<X p ()()()()()[]()()0.0402.2.78-1.78-2 2.78--1.78-121-4.56--21-4.56-14.56-14.564=ΦΦ=ΦΦ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=≤=≥X p Xp 6. 设测量两地的距离时带有随机误差X ，其概率密度为()2203200()x f x --=，∞<<∞-x ．求1）测量误差的绝对值不超过30的概率；2）连续独立测量3次，至少有一次误差的绝对值不超过30的概率．解：1）由题设()24020,N ~X()()()()()；0.49311.251-0.25 1.25--0.254020-30--4020-3003=Φ+Φ=ΦΦ=⎪⎭⎫⎝⎛Φ⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=<X p 2）设Y 表示连续独立测量3次，“误差的绝对值不超过30”所发生的次数， 则Y ～B （3，0.4931），所求为()()[]....Y p Y p 86980506901493101101133=-=--==-=≥ ()⎪⎩⎪⎨⎧<>≤≤=∴.y y ,;y ,y y f Y 010102725或。