高二上半期考试数学试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．一、选择题：本题共有10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．直线l 的倾斜角是斜率为33的直线的倾斜角的2倍，则l 的斜率为( ) A ．1 B ． 3 C ．233D ．－3 2．以圆0222=++y x x 的圆心为圆心，半径为2的圆的方程( )A ．()2122=++y xB ． ()2214++=x yC ．()2122=+-y xD ．()4122=+-y x 3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βC ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥βD ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α4．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A (12，12，12)，B (12，12，0)，C (13，13，13)，则( ) A ．OA ⊥AB B ．AB ⊥AC C ．AC ⊥BC D ．OB ⊥OC6．若点P (1,1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝07．将正方形ABCD 沿对角线AC 折成直二面角，则异面直线AB 与CD 夹角的余弦值是（ ）A ．12-B ．12C ．33D ．63 8．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2D ．129．已知点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤0，2x ＋3y －5≤0，4x ＋3y －1≥0，点Q (x ，y )在圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的最大值与最小值为( )A ．6,3B ．6,2C ．5,3D ．5,210．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1CB ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 第Ⅱ卷注意事项：必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。

作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。

答在试题卷上无效。

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）把答案填在答题卷中的横线上.11．直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________________；若l 1∥l 2，则b ＝________________．12．过点M (－2,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，且直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是____________________．13．以直线2x ＋y －4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为____________________．14．已知变量,x y 满足约束条件1,31x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，若z kx y =+的最大值为5，则实数k = ．15．已知m 、n 为直线，α、β为平面，下列命题：① ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥βn ⊥β⇒m ∥n ；③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ⊥β⇒α∥β；④ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αn ⊂βα∥β⇒m ∥n ． 其中正确的命题是 （写出所有正确命题）三、解答题：（本大题共6小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）三角形的三个顶点是(4,0)A ,(2,4)B ,(0,3)C .(1) 求AB 边的中线所在直线1l 的方程；(2) 求BC 边的高所在直线2l 的方程；(3) 求直线1l 与直线2l 的交点坐标.17．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P －ABC 中，D 、E 、F 分别为棱PC 、AC 、AB 的中点，已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.(1) 证明：直线P A ∥面DEF ；(2) 证明：平面BDE ⊥平面ABC .18．（本小题满分12分）已知一个圆C 与y 轴相切，圆心C 在直线l 1：x －3y ＝0上，且在直线l 2：x －y ＝0上截得的弦长为27，求圆C 的方程．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，P A＝PC＝2a，(1) 证明：PD⊥平面ABCD；(2) 求异面直线PB与CD所成的角的余弦值；(3) 求二面角P－BC－D的正切值．20．（本小题满分13分）已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，斜率为1的直线l与圆C交于A、B两点．(1) 化圆的方程为标准形式，并指出圆心和半径；(2) 是否存在直线l，使以线段AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4(1) 若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；(2) 设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．数学参考答案评分标准一、选择题BDDCC 、DBCBA二、填空题11. 2，－98 12. 125 13．x 2＋(y －4)2＝20或(x －2)2＋y 2＝20 14．1-或1215. ②③ 三、解答题16．解：（1）390+-=x y （4分）（2）280+-=x y （8分）（3）(3,2) （12分）17．证明：(1)在△P AC 中，D 、E 分别为PC 、AC 中点，则P A ∥DE ，P A ⊄面DEF ，DE ⊂面DEF ，因此P A ∥面DEF （6分）(2)△DEF 中，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4，DF ＝5， ∴DF 2＝DE 2＋EF 2，∴DE ⊥EF ，又P A ⊥AC ，∴DE ⊥AC .∴DE ⊥面ABC ，∴面BDE ⊥面ABC . （12分）18.分析：设出圆心坐标，利用几何性质列方程求出圆心坐标，再求出半径即可． 解：∵圆心C 在直线l 1：x －3y ＝0上，∴可设圆心为C (3t ，t )． （2分）又∵圆C 与y 轴相切，∴圆的半径为r ＝|3t |. （4分）再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形可得(|3t －t |2)2＋(7)2＝|3t |2. 解得t ＝±1. （8分） ∴圆心为(3,1)或(－3，－1)，半径为3. （10分）故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. （12分）19.证明：(1)∵PD ＝a ，DC ＝a ，PC ＝2a ，∴PC 2＝PD 2＋DC 2.∴PD ⊥DC . （3分）同理可证PD ⊥AD ，又AD ∩DC ＝D ，∴PD ⊥平面ABCD . （6分）(2)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD,即∠PBA 是异面直线PB 与CD 所成的角，由(1)知PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥AB . 由DA ⊥AB .∴AB ⊥面P AD . 即AB ⊥P A, （8分）在Rt △P AB 中, P A ＝2a ，AB ＝a ，∴COS ∠PBA=3（9分） (3)由(1)知PD ⊥BC ，又BC ⊥DC ，∴BC ⊥平面PDC .∴BC ⊥PC . ∴∠PCD 为二面角P －BC －D 的平面角． （11分） 在Rt △PDC 中，PD ＝DC ＝a ，∴∠PCD ＝45°.∴二面角P －BC －D 的正切值是1． （12分）20．解：(1)(x －1)2＋(y ＋2)2＝9.圆心C (1，－2)，r ＝3. （6分）(2)假设存在直线l ，设方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因此直线AB 的圆过原点O ，所以OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. （7分）⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0 消去y 得2x 2＋2(m ＋1)x ＋m 2＋4m －4＝0.Δ＞0得－32－3＜m ＜32－3. （9分） 由根与系数关系得：x 1＋x 2＝－(m ＋1)，x 1x 2＝m 2＋4m －42， y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.∴x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0. 解得m ＝1或－4. （12分） 直线l 方程为y ＝x ＋1或y ＝x －4. （13分）21．解：(1)由于直线x ＝4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，圆C 1的圆心C 1(－3,1)到直线l 的距离为d ＝|1－k (－3－4)|1＋k 2， 2分因为直线l 被圆C 1截得的弦长为23，∴4＝(3)2＋d 2，∴k (24k ＋7)＝0，即k ＝0或k ＝－724， 4分 所以直线l 的方程为y ＝0或7x ＋24y －28＝0 6分(2)设点P (a ，b )满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a )，k ≠0，则直线l 2的方程为y －b ＝－1k(x －a )，因为C 1和C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，所以圆C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等， 即|1－k (－3－a )－b |1＋k 2＝⎪⎪⎪⎪5＋1k (4－a )－b 1＋1k 2 8分整理得：|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |，∴1＋3k ＋ak －b ＝5k ＋4－a －bk或1＋3k ＋ak －b ＝－5k －4＋a ＋bk ，即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5. 10分 因为k 的取值有无穷多个，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b －2＝0b －a ＋3＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋8＝0a ＋b －5＝0， 解得⎩⎨⎧ a ＝52b ＝－12或⎩⎨⎧ a ＝－32b ＝132这样点P 只可能是点P 1⎝⎛⎭⎫52，－12或点P 2⎝⎛⎭⎫－32，132. 经检验点P 1和P 2满足题目条件 14分。