高中数学学案:矩阵的简单应用基础诊断1. 设数列{a n },{b n }满足a n ＋1＝3a n ＋2b n ,b n ＋1＝2b n ,且满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋2b n ＋2＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a nb n ,则二阶矩阵M ＝________．2. 设某校午餐有A,B 两种便当选择,经统计数据显示,今天订A 便当的人,第二天再订A 便当的概率是35；今天订B 便当的人,第二天再订B 便当的概率为45,已知星期一有40%的同学订了A 便当,60%的同学订了B 便当,则星期四时订A 便当同学的概率是多少？范例导航考向例1 自然界生物群的成长受到多种条件因素的影响,比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等．因此,它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系．但是,如果没有任何限制,种群也会泛滥成灾．现假设两个互相影响的种群X,Y 随时间段变化的数量分别为{a n },{b n },有关系式⎩⎨⎧a n ＋1＝a n ＋2b n ，b n ＋1＝3a n ＋2b n ，其中a 1＝6,b 1＝4,试分析20个时段后,这两个种群的数量变化趋势．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102,β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31. (1) 求出矩阵M 的特征值和特征向量； (2) 计算M 4β,M 10β,M 100β；(3) 从第(2)小题的计算中,你发现了什么？考向例2 某同学做了一个数字信号模拟传送器,经过10个环节,把由数字0,1构成的数字信号由发生端传到接收端．已知每一个环节会把1错转为0的概率为0.3,把0错转为1的概率为0.2,若发出的数字信号中共有10 000个1,5 000个0.问:(1) 从第1个环节转出的信号中0,1各有多少个？(2) 最终接收端收到的信号中0,1个数各是多少？(精确到十位)(3) 该同学为了完善自己的仪器,决定在接收端前加一个修正器,把得到的1和0分别以一定的概率转换为0和1,则概率分别等于多少时,才能在理论上保证最终接收到的0和1的个数与发出的信号相同．学校餐厅每天供应1 000名学生用餐,每星期一有A,B 两种菜可供选择,调查资料表明,凡是在本周星期一选A 菜的,下周星期一会有20%改选B 菜,而选B 菜的,下周星期一会有30%改选A 菜,若用A n ,B n 分别表示在第n 个星期一选A,B 菜的人数．(1) 若⎣⎢⎡⎦⎥⎤A n ＋1B n ＋1＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤A nB n ,请写出二阶矩阵M ； (2) 若第一周有300人选择A 菜,700人选择B 菜,试判断其变换趋势．自测反馈1. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221,β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17,计算M 6β.2. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－14,向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤53,计算A 5α.1. 对于二阶矩阵A ,它的特征值分别为λ1,λ2,其对应的特征向量分别为α1,α2,若当非零向量β＝m α1＋n α1,则A k β＝______________．2. 求A n β的一般步骤为:第一步:求矩阵A 的特征值λ和相应的特征向量α；第二步:把向量β用特征向量α线性表示,即________________；第三步:由公式A nβ＝____________________计算．3. 你还有哪些体悟,写下来:第13课 矩阵的简单应用基础诊断1. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤91004 解析:由题设得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3202⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n b n ,设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3202,则M ＝A 2,所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3202⎣⎢⎡⎦⎥⎤3202＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤91004. 2. 解析:设M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤35152545,则M 3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2535＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤47125391257812586125⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2535＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤211625414625,故星期四时订A 便当同学的概率是211625.范例导航例1 解析:令β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤64,M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1232,则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n ＋1b n ＋1＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a nb n , 由此可求得矩阵M 的特征值λ1＝4,λ2＝－1,分别对应的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23,α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.假设β＝m α1＋n α2(m ,n ∈R ),解得m ＝n ＝2. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 21b 21＝M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 20b 20＝M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 19b 19＝…＝M 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1. M 20⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 1＝M 20β＝M 20(2α1＋2α2)＝2M 20α1＋2M 20α2,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 21b 21＝2×420⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋2×(－1)20⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤242＋23×241－2. 因此,20个时段后,种群X ,Y 的数量分别约为242＋2和3×241－2.解析:(1) 矩阵M 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－10λ－2＝(λ－1)(λ－2),令f (λ)＝0,解得λ1＝1,λ2＝2.所以它们分别对应的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10,α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(2) 令β＝m α1＋n α2, 则有m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤31,解得m ＝2,n ＝1,即β＝2α1＋α2, 所以M 4β＝M 4(2α1＋α2)＝2M 4α1＋M4α2＝2λ41α1＋λ42α2＝2×14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋24×⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1816. 同理可得,M 10β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210＋2210,M 100β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2100＋22100.(3) 当n 很大时,可近似的认为M n β＝M n (2α1＋α2)≈M n α2＝2n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n2n .例2 解析:(1) 从第1个环节转出的信号中,0的个数为10 000×0.3＋5 000×0.8＝7 000, 1的个数为10 000×0.7＋5 000×0.2＝8 000.(2) 数字错转的转移矩阵为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0.70.20.30.8,1和0的个数对应列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0005 000,于是最终接收端收到的信号中1,0个数对应矩阵A 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0005 000,矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－0.7－0.2－0.3λ－0.8＝λ2－1.5λ＋0.5＝(λ－1)(λ－0.5)． 令f (λ)＝0,得到矩阵A 的特征值为1或0.5, 将1代入方程组⎩⎨⎧（λ－0.7）x －0.2y ＝0，－0.3x ＋（λ－0.8）y ＝0，解得3x －2y ＝0,不妨设x ＝2,于是得到矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23.同理,把λ＝0.5代入上述方程组得x ＋y ＝0,不妨设x ＝1,可得矩阵A 的属于特征值0.5的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.设⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0005 000＝m ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1, 所以⎩⎨⎧10 000＝2m ＋n ，5 000＝3m －n ，解得⎩⎨⎧m ＝3 000，n ＝4 000，所以A 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0005 000＝3 000×110⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＋4 000×0.510⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 000＋4 000×0.5109 000－4 000×0.510≈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 0009 000,所以最终接收端收到的信号中0约有9 000个,1约有6 000个．(3) 设修正器的转移矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－s t s 1－t (0<s <1,0<t <1),则由题意有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－st s 1－t ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 0009 000＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 0005 000,于是,得到6s －9t ＋4＝0. 因为0<s <1,0<t <1,所以可取s ＝12,t ＝79,也就是说1转为0的概率为12,0转为1的概率为79. 注:第(3)问答案不唯一,只要满足方程6s －9t ＋4＝0(0<s <1,0<t <1)的s ,t 均可．解析:(1) 由A n ＋1＝45A n ＋310B n ,B n ＋1＝15A n ＋710B n ,得M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4531015710. (2) 由f (λ)＝λ2－32λ＋12＝0,得λ1＝1,λ2＝12,属于λ1,λ2的一个特征向量分别为 α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32,α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1,又⎣⎢⎡⎦⎥⎤A 1B 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤300700＝200α1－300α2,所以M n⎣⎢⎡⎦⎥⎤A 1B 1＝200⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－300×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤600－300×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 400＋300×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .由此说明,若干周后,选择A ,B 两菜的人数分别稳定在600人和400人左右．自测反馈1. 解析:矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3. 令f (λ)＝0,解得λ1＝3,λ2＝－1,分别对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11,α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.令β＝m α1＋n α2,得m ＝4,n ＝－3.所以M 6β＝M 6(4α1－3α2)＝4(M 6α1)－3(M 6α2)＝4×36⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×(－1)6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 9132 919. 2. 解析:矩阵A 的特征多项式为 f (λ)＝|λ－1－21λ－4|＝(λ－1)(λ－4)＋2＝λ2－5λ＋6＝(λ－2)(λ－3),令f (λ)＝0,解得λ1＝2,λ2＝3,当λ1＝2时,对应的一个特征向量为e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21,当λ2＝3时,对应的一个特征向量为e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11,令α＝m e 1＋n e 2,解得m ＝2,n ＝1,即α＝2e 1＋e 2,所以A 5α＝A 5×2e 1＋A 5e 2＝25×2⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤27＋3526＋35＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤371307.。