A． B． C． D．
3．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．某家庭去年收入的各种用途占比统计如下面的折线图，今年收入的各种用途占比统计如下面的条形图.已知今年的“旅行”费用比去年增加了3500元，则该家庭今年“衣食住”费用比去年增加了（ ）
A．2000元B．2500元C．3000元D．3500元
5．若实数 ， 满足不等式组 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，在梯形 中， ， ，点 是 的中点，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已如 是双曲线 的右焦点，过点 作垂直于 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点 ，若 ，记该双曲线的离心率为 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
附： ， .
20．已知椭圆 的焦距为 ，点 在椭圆 上.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 交椭圆于两点 、 ，且 是线段 的中点，直线 是线段 的中垂线，证明直线 过定点，并求出该定点坐标.
21．已知函数 .
（I）讨论函数 的单调性；
（II）若 存在两个极值点 ，求证： .
22．已知直线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
【详解】
作出不等式组满足的平面区域如图阴影部分所示，其中 ， ， ，作直线 ，平移直线 ，当其经过点 时， 取得最大值，即 ，
故选:D
【点睛】
本题考查简单线性规划，数学结合思想，准确作图是关键，是基础题
6．A
【分析】
利用平面向量基本定理和向量加减法化简即可
【详解】
， ， .
故选A
【点睛】
本题考查平面向量基本定理，三角形图得，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成，（如图所示）
故其体积 （立方寸）， （升），
故选B
A． B． C． D．
10．执行如图所示的程序框图，则输出的 的值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数 与 轴交于点 ，距离 轴最近的最大值点 ，若 ，且 ，恒有 ，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．B
【分析】
根据折线图与条形图可得 ，即 ，从而得到“衣食住”费用的变化情况.
【详解】
设该家庭去年的收入为 元，今年的收入为 元，
由题意得， ，解得 ，
今年“衣食住”费用比去年多 元，
故选B.
【点睛】
本题考查对条形图和折线图的认识和应用，考查分析问题解决问题的能力．
5．D
【解析】
【分析】
画出可行域，再利用目标函数的几何意义，数形结合求解即可
7．A
【解析】
【分析】
由题先求得M的纵坐标 ，再列a,b,c的关系式求解即可
【详解】
由题意得， ，该双曲线的一条渐近线为 ，将 代入 得 ， ，即 ， ， ，解得 ，
故选A
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，渐近线方程，离心率求解，准确计算是关键，是基础题
8．B
【解析】
【分析】
将三视图还原，再求体积即可
2．B
【解析】
【分析】
由复数除法运算求得z,即可确定虚部的值
【详解】
由题意得， ， ， 复数 的虚部为 ，
故选B
【点睛】
本题考查复数的概念及代数形式的除法运算，准确计算是关键，是基础题
3．D
【解析】
【分析】
由诱导公式及二倍角公式，将所求化简为 的表达式，代入求解即可
【详解】
.
故选D
【点睛】
本题考查三角恒等变换，同角三角函数基本关系，熟记公式，准确计算是关键，是基础题
安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知 是虚数单位，复数 在复平面内对应的坐标为 ，则复数 的虚部为（ ）
8．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若 取 ， 立方寸= 升，则商鞅铜方升的容积约为
A． 升B． 升
C． 升D． 升
9．已知一条抛物线恰好经过等腰梯形 的四个顶点，其中 ， ，则该抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）
二、填空题
13．已知函数 是定义在 上的奇函数，则 ______.
14． 展开式中含 项的系数为___________.
15．已知在锐角 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ， 是 的面积，若 ， ， ，则 ____.
16．已知正方体 的棱长为 ，且所有棱均与球 相切， 是线段 的中点，直线 经过点 且与直线 平行，则直线 被球 截得的线段长为________.
三、解答题
17．已知公差不为 的等差数列 的前 项和为 ， 成等比数列，且 .
（I）求数列 的通项公式；
（II）设 ，求数列 的前 项和 .
18．如图所示，在几何体 中， 是等边三角形， 平面 ， ，且 .
（I）试在线段 上确定点 的位置，使 平面 ，并证明；
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
19．随着我国经济的飞速发展，人民生活水平得到很大提高，汽车已经进入千千万万的家庭.大部分的车主在购买汽车时，会在轿车或者 中作出选择，为了研究某地区哪种车型更受欢迎以及汽车一年内的行驶里程，某汽车销售经理作出如下统计：
购买了轿车（辆）
购买了 （辆）
岁以下车主
岁以下车主
表
图
（I）根据表 ，是否有 的把握认为年龄与购买的汽车车型有关？
（II）图 给出的是 名车主上一年汽车的行驶里程，求这 名车主上一年汽车的平均行驶里程（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（III）用表 中的频率估计概率，随机调查 名 岁以下车主，设其中购买了轿车的人数为 ，求 的分布列与数学期望.
（1）求直线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程；
（2）设直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的值.
23．已知函数 ， ， .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若不等式 恒成立，求 的取值范围.
参考答案
1．C
【解析】
【分析】
先求集合A,再求交集即可
【详解】
由题意得， ， ， ，
故选:C
【点睛】
本题考查集合的运算，描述法，二次函数值域，准确计算是关键，是基础题