知识框架一、带余除法的定义及性质1. 定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b工0若有a4）=q••…r，也就是a= b X q+ r,0奇v b ;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：（1）当r 0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商（2）当r 0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型：如图屈这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

2. 余数的性质⑴ 被除数除数商余数；除数（被除数余数）商；商（被除数余数）除数；⑵余数小于除数.二、余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23, 16除以5的余数分别是3和1 ,所以23+16 = 39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23, 19除以5的余数分别是3和4，所以23+19 = 42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为22.余数的加法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。

例如：23, 16除以5的余数分别是3和1，所以23 —16= 7除以5的余数等于2,两个余数差3- 1当余数的差不够减时时，补上除数再减。

例如：23, 14除以5的余数分别是3和4 , 23- 14= 9除以5的余数等于4,两个余数差为3 + 5-4 =43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23, 16除以5的余数分别是3和1,所以23X 16除以5的余数等于3X1= 3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23, 19除以5的余数分别是3和4,所以23X 19除以5的余数等于3X4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么a n与b n除以m的余数也相同.一、同余定理1、定义整数a和b,除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b 在模m下同余，即a=b (modm )2、同余的重要性质及举例。

〈1 > a=a(modm ) (a为任意自然)；〈2> 若a=b (modm)，贝U b=a (modm )〈3> 若a=b (modm), b=c (modm )贝9 a=cC modm );〈4> 若a=b (modm),贝U ac= bc(modm )〈5> 若a=b (modm), c=d (modm),贝U ac=bd (modm );〈6> 若a=b (modm )贝9 an三bm( modm )其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性",性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性, "性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc (modm )且(c, m) =1则a=b(modm )3、整数分类：〈1>用2来将整数分类,分为两类：1, 3, 5, 7, 9,……(奇数);0, 2, 4, 6, 8,……(偶数)〈2>用3 来将整数分类，分为三类：0, 3, 6, 9, 12,……(被3除余数是0)1, 4, 7, 10, 13,……(被3除余数是1)2，5，8，11 ，14 ，……(被3 除余数是2)3>在模6 的情况下，可将整数分成六类，分别是：一个自然数被9除的余数和这个自然数所有数字之和被 9除的余数相同。

同余在解答竞赛题中有着广泛的应用•在这一讲中，我们将深入理解同余的概念和性质，悟出它的一些运用技巧和方法.【例1】 一个两位奇数除1477，余数是49,那么，这个两位奇数是多少这个两位奇数能被1477-49= 142S 整除，且必须丸于49t 142S=2x2x3x7xl71所以这岸的两位奇数只有5L【巩固】2024除以一个两位数，余数是 22 •求出符合条件的所有的两位数.| 2024 - 22 - 2002 ? 2002 - 2 x 7 x I J x 13 ,那么符合条件的所有的两位救有 I1.]3,14,22,26,77,91 ?因划涂毀小于除型所以舍去11J344.22,26 ,答案只有77^1【例2】 两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于 415,则被除数是因为祓除數减去S 后是除数的4您川以；艮据和倍问题_可知，除數为Ul5-4-«-N)^t4+l)=79 ,所以、被除數为79 x 4 “ X =眈4 °【巩固】用一个自然数去除另一个自然数，商为 40,余数是16•被除数、除数、商、余数的和是 933，求这2个自然数各是多少本题为带余除法定义式的基本题型。

报携题意设两个自然数分别为可以得到(mod6): 0, 6, 12, 18, 24,……(mod6): 1, 7, 13, 19, 25,……(mod6): 2, 8, 14, 20, 26,……(mod6): 3, 9, 15, 21, 27,……(mod6): 4, 10, 16, 22, 29,……(mod6): 5, 11, 17,23, 29,……重难点；工 即5个自磁分别是皿21.0 1 2 3 4 5 例题精讲x —40^ + 16 x + y + 40 + 16 —【例3】一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的整数倍，每人的岁数都从任意三人岁数之和是3的倍数，100除以争余】，就知四个岁数都是拆+】型的數，又是质数.只有7, 13,19, 31, 37, 43,就容易看出：父43岁，母37岁，兄口岁，妹7岁*【巩固】有三所学校，高中A校比B校多10人，B校比C校多10人.三校共有高中生2196人.有一所学校初中人数是高中人数的2倍；有一所学校初中人数是高中人数的倍；还有一所学校高中、初中人数相等.三所学校总人数是5480人，那么A校总人数是 __________ 人.】三所学校的高中生分别是：沖根742人，5^732人，匸校722人如果沖校或C校初中人数是高中人数的L5倍，该枚总人数是奇数，而按腮巻出条件得出其他两孩总人数款是偶数，与三校总人数54⑷是偶敗矛盾*因此只能是占校的初申人貌是高申人就的1.5倍+三校初中的蹙人数是54SO-2196 = 32M4 s被3余余2； 7垃被3整除，722 < 3除舍2/742被3除余L从余數来看【例4】C 2X2 + J-5 s ^2^2=4,就睁定初申人数是离中人数的2倍，只能是匚札所叭冲校总人数 >1,742 +742 = M84 （人）.求437 309 1993被7除的余数.1方法一：先将轩了H 30$ #1卿3算■出以后，即437 X 309 x 19V3 - 269120769 .再求得此数被了除的余数为L方法二:因为47釦余以了灼氽数为3, 309际叹7的余数为L由**同余的可来性”知：<437x309）除o 以7的余數为门“）*又固为1993 以7的余数为5,所以C437x309 U<I93 ）13>以7的余戟箏于<3x 1x5）即J5除以7的余救*算岀437 x 3O9x 1993^.7除的余数为L方这三：利闍全数判别淫⑹，算出朋了工刖山乂沖药="U山灯阳O ■谒■鍬节的般乏和乌禺麒节的數乏族的捷即£龙+环+ 9〕+1 了十44■如一门+2 +」）±］了+22-占三” ,36除叹7的余数为1,即437x3O9x 1^93^ 7 1^的余数为 L【巩固】一个数被7除，余数是3,该数的3倍被7除，余数是_。

I余数是3M3-S-7的余飯，为2【例5】若2836, 4582 , 5164, 6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_____________________ .I设除数为九因为2836, 4582, 5164, 6522除以A的余数相同，所以他们两两之差淤能被八整徐.5L因为余数是两位数，所以A至少建两位数* 4582-2836=1746 > 5164 - 582 , 6522-5164 = 135« t因为（5ftl b 1358）= 194 ,斯以A是194的大于10的约数.194的尢于H）的釣数只有97和194+如果A - J94 , 2和竹+ 194 - 14-- 120，余数不是两位数』与题意不符.如杲N =97 t 经检验，余数都是23；除数4余數=97十23= 121） T【巩固】一个大于1的数去除290, 235, 200时，得余数分别为 a , a 2 , a 5，则这个自然数是多少根据题意可知，这个自然数去除290 s 233, 195时，得到相同的余数（隸为“既然余歎相同，我们可以和用余数定理，可知其中任糞两数的雀除叹这个数肯定余0・那么这个 自然数^290- 233 = 57的約数，又是233-195 = 3S 的场數：因地就是57和38的公约数"因为57 和闘的公约數只有19和I,而这个數大于I,所以这个自然数是1*【例6】 有这样一类2009位数，它们不含有数字 0,任何相邻两位（按照原来的顺序）组成的两位数都 有一个约数和20相差1,这样的2009位数共有 ___________________________ 个.I 第一个数确定，就能确定第二个数，以此类菲，蹩*歎栽定下嶷了.所以一共就？个数.■ ・【巩固】在两位数10, 11,…，98, 99中，将每个被7除余2的数的个位与十位之间添加一个小数点，其余的数不变•问：经过这样改变之后，所有数的和是多少共12个数”这些数按題中娶痕淋加小数点玖后’祁变为原数的，因此这一手缕使总和减少了所以.墟过改变之后，所有敬的和是49）5-5K8.6-43164除乙数所得余数是 A 除丙数所得余数的 2倍•求A 等于多少根据題意，逮三个敦除以A 郴有余鞭，则可以用带余除法的形式将它们表示出来；603十心丄禺 .. f j , 929十旳=心 ... 电,393»4 =心 ...... 电由于心=免珂、理二企、要消去余数’… 抵■我们只能先把余数处理成相同的、再两鞍相减.这样我扪是把第二个式子乘以1. 使得披除数和余批都扩女2倍，同理，第三个丸子熏以4.于是我们可以痔到下面的式子:603 4- A = K 「…I 号（今対乂2） +旳=2K 2 2r 3卩1H x 4）+ A = Z© “…"4匚ii 沖f 余数就处:理辰相同的*最后两两相减消去余救，意味着能被冲整除.93^< 2- 603- 127^, 393 x 4- 603-969 > （1275,969）=51 =3x17,予1的约数有1、3. 17. 51,其中1、3显然不满足*检验门和51可知 17满足，所以川寻于17. 原来 的 io + 11 + ・•・ + gg 放7除余2射两位数是7x2 *2190516 , 7x3 + 2 - 23 ,…，7x13 + 2 = 93 , (16 + 23 + + 93)x(! 58S.610【例7】 甲、乙、丙三数分别为 603, 939, 393 •某数A 除甲数所得余数是A 除乙数所得余数的 2倍，A<16 + 93)x12【巩固】已知60,154, 200被某自然数除所得的余数分别是 a 1 , a2, a3 1，求该自然数的值.根据题養可知*自然数61, 154, 201裁该数除所得余数分别是「a2,由亍f m s所叹自然数613= 3721与1勺4同氽；由于/ =血x ,所以厲斗=射¥4与201 同余’所以除數是372J - 154 = 3567乘9394-201 =9193的公约數，运用辗转相除法可得到 (3567,9193)- 2Q ,该除数为29.经检豔成立*【例8】【答案】29已知n是正整数，规定n! 1 2 L n ,令m 1! 1 2! 2 3! 3 L 2007! 2007，则整数m除以2008的余数为多少I WT - I M + 2b< 2 + 3 +--- + 2«07!> 2007=1 tx(；2 - I) + - 1) + 3?«t4 -1) + -- +2007 !x(24mB - 1)=21-11+Jk 2k 41-3U-……4-20081-20071=200S I- 1200£能够整除霑3!,所以i的余数是2(XH.【巩固】已知n是正整数，规定n! 1 2 L n ,令Q 3! 3 4! 4 5! 5 L 2012! 2012，则整数Q除以2013的余数为多少c = 3lx3 + 4[x4 + 5Jx5 .. +20121x2012=+2!^<3-I>-F3J«<4-1>十............... +2012^(2013-1) -11-21x2=2!- 11+ 3!-21^45-3!+ ..... + 2013!-2012E-11-2h 2-20131- 62013能够整冷201刖，所以2013!- 6的余数是2007.【例9】设n为正整数，k 2004n, k被7除余数为2, k被11除余数为3，求n的最小值.21XJ4 k 7除余就为2,粧II除余數也为2>所以2”被7除余数为2,被1】除余數为3.由于21= 2被7除余2, ft ■&被7除命1 ,所以n险以3的余数为1;由于:■ 256被11除余3, -1024械11除余1, Ma n除以1(｝的余数対& 吁见，H+2是孑和1U的公倍數，儘4、曲[戈叫=刿，所以“的最小僅为2乩【巩固】试求不大于100，且使3n 7n 4能被11整除的所有自然数n的和.通过逐次计鼻，可以求岀r被1】除的余叙依次为：V为3,"为少F为影外为4,住为1,…，因而3”秋11除的余数5个构戒一个周期：為9、5, 4. 1, 3, 9、5, 4, I, _________________ ;类椒地*可以求出7"被II除的余歎H)个构成一个周期：7,5> 2, 31 10, 4 6, 9,去I, .. ；于是3*+7*+4被】1除的急数也是10个构麗一个周期：3, 7> 0 0, 4, 0,嘉7} 5t£ ........ ;这就表明，每一个周期中，只有第3、4. 6个这三个数满足题意，即>1 ^3,4,6,13.1446. 93,94.96时3ft+ 7ft + 4能祓11螯除，所久所有滴足条伴的自然数忆的和为:心3十4十&*13十14彳16 +…+ F3十94 ★刖6 = 13^i■吗3十…十2K3 = 148O ,【例10】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数击除9Q+ IM = 254后所得的余数，所以254 ?fp 220除以这个自然数后所得的命敦相同個此这个自然数是254-220-34的約数，又大于H),这人自然數只能是17或者是S4・如覺这个數是弭，那么它去除90、164、22()后所得的余数分别是22* 28. 16,不符合题目条件；如果这个数是17,那么它去除9<k 164. 220后所得的余數分别是灵1J. 16,捋合题目条件，所以这个自然数是1Z 【巩固】两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a b，求ab ba .ab —ba能械,7 整除，即(1 Oct 4-i) —{10fr 4- «) = 9x( a —b}7 整除* 所以只館有a —h = 7，那么ab可能为92和HI,脸算可得当= 92时：几二29满足题目要求，=<)2x 29 = 2668课堂检测【随练1】已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个扎题为一道命敎与约数个數计算公式的小综含性题可*由题意所求的自然數一定是20()8-10即1纱苦的釣数，阿时还要滴足丸于10这令荼件。