青岛二中2018-2019学年第二学期期初考试高三数学（理科）试题满分：150分 时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集为R ，集合{}{}2|21,|320xA xB x x x =≥=-+< ,则R AC B =（ ）A ．{}|01x x ≤≤B ．{}|012x x x ≤≤≥或 C. {}|12x x << D. {}|012x x x ≤<>或 2．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．5z = B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 3. 命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题是( ) A ．若220x y +=，则,x y 中至少有一个不为0 B ．若220x y +≠，则,x y 中至少有一个不为0 C ．若220x y +=，则,x y 都不为0 D ．若220x y +≠，则,x y 都不为04．已知αβ，的终边关于直线y x =对称，且=3πβ-，则sin α等于( )A．2-B ．32C ．12-D ．125.若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值为( )A ．1-B ．2-C ．2D ．1 6．已知函数()sin f x x x =-，则不等式()()21330f x f x -++>的解集是（ ）A ．()(),41,-∞-+∞ B ．()(),14,-∞-+∞C ．()1,4- D. ()4,1- 7．如图四边形ABCD 为平行四边形，11,22AE AB DF FC ==，若AF AC DE λμ=+ ，则λμ-的值为（ ）A ．1B ．23 C.12 D ．138．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．73 B ．83π- C ．83 D ．8+3π9.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为（ ） A ．49169 B ．30169 C ．49289 D ．6028910．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ==，而对角线1A B 上存在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ）A ．2B ．3C ．1+3D 711.已知双曲线 ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为l ，圆C :()228x a y -+=与l 交于,A B 两点，若ABC ∆是等腰直角三角形，且5OB OA =（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A .3 B . 135 C 13D . 1312．已知1x 是函数()()1ln 2f x x x =+-+的零点，2x 是函数()2244g x x ax a =-++的零点，且满足121x x -≤，则实数a 的最小值是（ ）A ．1-B ．1-C ．2-D ． 2 二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）13.已知向量()()1,2,,1a b m ==-，若//a a b +，则a b ⋅= __________． 14.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，最后输出的结果为________．15.我们把有相同数字相邻的数叫“兄弟数”，现从由一个1，一个2，两个3，两个4这六个数字组成的所有不同的六位数中随机抽取一个，则抽到“兄弟数”的概率为________.16. 在ABC ∆中，D 为BC 的中点，23,7,1AC AD CD ===，点P 与点B在直线AC 的异侧，且PB BC =，则四边形ADCP 的面积的最大值为_______.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，1n n a a +>， 11038160,37a a a a ⋅=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项， ，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{}n b ，求数列{}n b 的前n 项和n S18. （本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，//,1,60,EF AC EF ABC =∠=CE 3,2ABCD CE CD ⊥==平面， ，G 是DE 的中点（1） 求证：平面//ACG 平面BEF ；（2） 求直线AD 与平面ABF 所成的角的正弦值.19. （本小题满分12分）“一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与.某市旅游局顺潮流、乘东风，闻讯而动，决定利用旅游资源优势，撸起袖子大干一场.为了了解游客的情况，以便制定相应的策略，在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数，画出茎叶图如下：若景点甲中的数据的中位数是125，景点乙中的数据的平均数是124. （1）求,x y 的值；（2）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据.今从这段时期内任取4天，记其中游客数超过120人的天数为ξ，求概率()2P ξ≤；（3）现从上图的共20天的数据中任取2天的数据（甲、乙两景点中各取1天），记其中游客数不低于115且不高于125人的天数为η，求η的分布列和期望.20. （本小题满分12分）对称轴为坐标轴的椭圆C 的焦点为123(3,0),3,0),F F M 在C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设不过原点O 的直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与椭圆C 交于P Q 、两点，且直线OP PQ 、、OQ 的斜率依次成等比数列，则当OPQ ∆7时，求直线PQ 的方程.21. （本小题满分12分）已知函数()ln 1()af x x x a a R x=+-+-∈ ． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若存在1x >，使1()xf x x x-+<成立，求整数a 的最小值．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请涂题号. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为2sin()306πρθ+-=，曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）． （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A B 、两点，求PA PB +．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知不等式x m x -<的解集为()1+∞，. （1）求实数m 的值；（2）若不等式51211a m ax x x x-+<+--<对()0,x∈+∞恒成立，求实数a的取值范围.青岛二中2018-2019学年第二学期期初考试高三数学（理科）试题满分：150分 时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集为R ，集合{}{}2|21,|320xA xB x x x =≥=-+< ,则R AC B =（ ）A ．{}|0x x ≤B ．{}|012x x x ≤≤≥或 C. {}|12x x << D. {}|012x x x ≤<>或 【答案】B【解析】由题意可得： ， ，则 或 ， 或 . 本题选择B 选项. 2．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．5z = B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 【答案】D【解析】分析：利用复数的四则运算，求得，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．详解：由题意，则， 的共轭复数为，复数 的实部与虚部之和为 ， 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ． 3. 命题“若220x y +=，则0x y ==”的否命题是( ) A ．若220x y +=，则,x y 中至少有一个不为0 B ．若220x y +≠，则,x y 中至少有一个不为0 C ．若220x y +=，则,x y 都不为0D ．若220x y +≠，则,x y 都不为0 【答案】B 【解析】否命题既否定条件又否定结论．∴命题若“x 2+y 2=0，则x=y=0”的否命题是：若x 2+y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0． 故选：B ．4．已知αβ，的终边关于直线y x =对称，且=-3πβ，则sin α等于( )A．-2 B ．32 C ．1-2D ．12【答案】D 【解析】因为α和β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2kπ＋ (k ∈Z)．又β＝－，所以α＝2kπ＋(k ∈Z)，即得sin α＝.5.若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值为( )A ．-1B ．-2C ．2D ．1 【答案】B由题意，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 又由目标函数 ，可化为，结合图形，可得直线经过点A 时，在 轴上的截距最大， 此时目标函数取得最小值，又由 ，所以目标函数的最小值为，故选B.6．已知函数()sin f x x x =-，则不等式()()21330f x f x -++>的解集是（ ）A ．()()-,41,∞-+∞ B ．()()-,14,∞-+∞C ．()-1,4 D. ()-4,1 【答案】C 【解析】由题意，函数 ，则 ，所以函数 是定义域上的单调递增函数， 又由 ，即函数 定义域上的奇函数， 又由不等式 可转化为 即 ，即 ，解得 ， 即不等式的解集为 ，故选C.7．如图四边形ABCD 为平行四边形，11,22AE AB DF FC ==，若AF AC DE λμ=+，则 -λμ的值为（ ）A ．1B ．23 C.12 D ．13【答案】A 【解析】 【分析】12选取 为基底将向量 进行分解，然后与条件对照后得到 的值． 【详解】选取 为基底，则， 又， 将以上两式比较系数可得 ． 故选A8．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．73 B ．8-3π C ．83 D ．8+3π【答案】B 【详解】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥挖掉半个圆锥所得，故其体积为.故选B.9.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（图1），图2是由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼接而成.现随机的向图2中大正方形的内部去投掷一枚飞镖，若直角三角形的直角边长分别为5和12，则飞镖投中小正方形（阴影）区域的概率为（ ） A ．49169 B ．30169 C ．49289 D ．60289【答案】C 【解析】 【详解】直角三角形的直角边长分别为5和12，则小正方形的边长为 ，最大正方形的边长为 ，小正方形面积49，大正方形面积289，由几何概型公式得：，故选C. 10．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1AB AD AA ===，而对角线上存在一点P ，使得1AP D P +取得最小值，则此最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．1+3 D 7 【答案】D 【解析】把对角面A 1C 绕A 1B 旋转至 ， 使其与△AA 1B 在同一平面上，连接AD 1，在 中 ， ，则 的最小值为：，． 故选：D ．11.已知双曲线 ：22221(0,0)x y a b a b-=>> 的一条渐近线为l ，圆C:()228x a y -+=与l 交于A,B 两点，若ABC ∆是等腰直角三角形，且5OB OA =（其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ） AB . 213C 13D . 1312．已知1x 是函数()()1ln 2f x x x =+-+的零点，2x 是函数()2244g x x ax a =-++的零点，且满足121x x -≤，则实数a 的最小值是（ ）A ．1-B ．122-C ．222-D ． 22 【答案】A【解析】分析：利用导数研究函数的单调性可证明函数 存在唯一零点，即 ，可得 在 有零点，由可得结果. 详解：，当 时， 单调递减， 当 时， 单调递增， ， 即函数 存在唯一零点，即 ，，即 在 有零点，①若 ，即 ， 此时 的零点为 ，显然 符合题意；②（i ）若 ，即 或 ， 若 在 只有一个零点，则 ； （ii ）若 在 只有两个零点，则，解得 ， 即 的最小值为 ，故选A.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上）13.已知向量()()1,2,,1a b m ==-，若//a a b + ，则a b ⋅= __________．答案：14.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，最后输出的结果为________． 【答案】【解析】分析：模拟程序框图运行过程，总结规律， 的取值周期为3，由于 ，可得当 时满足条件 ＞ ，退出循环，输出的值为． 详解：模拟程序的运行，可得 ， ， 执行循环体， ，， 不满足条件 ＞ ，执行循环体， ，不满足条件 ＞ ，执行循环体， ， 不满足条件 ＞ ，执行循环体， ，…观察规律可得 的取值周期为3，由于 ，可得： 不满足条件 ＞ ，执行循环体， ， 不满足条件 ＞ ，执行循环体， ， 不满足条件 ＞ ，执行循环体， ，满足条件 ＞ ，退出循环，输出 的值为3．15.我们把有相同数字相邻的数叫“兄弟数”，现从由一个1，一个2，两个3，两个4这六个数字组成的所有不同的六位数中随机抽取一个，则抽到“兄弟数”的概率为________.【分析】：组成的不同六位数为662222180A A A =个，采用捆绑法和间接法可得组成的数为兄弟数的有54542221202496A A A ⨯-=-=个，所求概率为96818015P ==16. 在ABC ∆中，D 为BC 的中点，23,7,1AC AD CD ===，点P 与点B 在直线AC 的异侧，且PB BC =，则四边形ADCP 的面积的最大值为_______.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．） （一）必考题：共60分．17．已知数列{}n a 是等差数列，1n n a a +>， 11038160,37a a a a ⋅=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项， ，第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{}n b ，求数列{}n b 的前n 项和n S【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）等差数列 中， ， 解得， .（2）由（1）知， ， ，… ，.18.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，//,1,60,EF AC EF ABC =∠=CE 3,2ABCD CE CD ⊥==平面， ，G 是DE 的中点（3） 求证：//ACG BEF 平面平面（4） 求直线AD 与平面ABF 所成的角的正弦值.19. “一带一路”经济带的发展规划已经得到了越来越多相关国家的重视和参与.某市旅游局顺潮流、乘东风，闻讯而动，决定利用旅游资源优势，撸起袖子大干一场.为了了解游客的情况，以便制定相应的策略.在某月中随机抽取甲、乙两个景点各10天的游客数，画出茎叶图如下：若景点甲中的数据的中位数是125，景点乙中的数据的平均数是124.（1）求,x y 的值；（2）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据.今从这段时期内任取4天，记其中游客数超过120人的天数为ξ，求概率()2P ξ≤；（3）现从上图的共20天的数据中任取2天的数据（甲、乙两景点中各取1天），记其中游客数不低于115且不高于125人的天数为η，求η的分布列和期望. 【答案】(1) 3， 4；（2）328625 ；（3）12. 【解析】（1）由题意知3,4X y ==；（2）由题意知，因为景点甲的每一天的游客数超过120人的概率为63105=， 任取4天，即是进行了4次独立重复试验，其中有ξ次发生， 故随机变量ξ服从二项分布，则()0432201244433323232821555555625P C C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤=-++= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）从图中看出：景点甲的数据中符合条件的只有1天，景点乙的数据中符合条件的有4天，所以在景点甲中被选出的概率为110，在景点乙中被选出的概率为410. 由题意知： η的所有可能的取值为0，1，2. 则()96270101050P η==⨯= ()16942111010101050P η==⨯+⨯= ()1422101050P η==⨯=所得分布列为：()2721110125050252E η=⨯+⨯+⨯=. 20. 对称轴为坐标轴的椭圆C 的焦点为123(3,0),3,0),F F M 在C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）设不过原点O 的直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与椭圆C 交于P Q 、两点，且直线OP PQ OQ 、、的斜率依次成等比数列，则当OPQ ∆7时，求直线PQ 的方程. 【答案】（1）（2）直线 的方程为：或【解析】（1）设椭圆 的方程为，由题意可得 ，又由 ，得 ，故 ， 椭圆 的方程为； （2）设 ， .由题意直线 的方程为： ， 联立得 ，，化简，得 ①②，③直线 ， ， 的斜率依次成等比数列，，，化简，得， ，又 ，，且由①知.原点 到直线 的距离.，解得（负舍）或（负舍）. 直线 的方程为：或. 21.已知函数()ln 1()af x x x a a R x=+-+-∈ ． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若存在1x >，使1()xf x x x-+<成立，求整数a 的最小值． 21.【解析】（1）由题意可知，定义域为，，·······1分方程对应的，1˚当，即时，当时，，∴在上单调递减；·······2分2˚当，即时，①当时，方程的两根为，且，此时，在上，函数单调递增，在，上，函数单调递减；·····4分②当时，，，此时当，，单调递增，当时，，单调递减；综上：当时，，的单调增区间为，单调减区间为；当时，的单调增区间为，单调减区间为，；当时，的单调减区间为。