2021’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷
数学(一)
(集合、常用逻辑用语)
时间：60分钟总分：100分[对应学生用书p289]
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．其中多项选择题全部选对得5分，部分选对得3分，有选错或不选得0分．)
1．已知集合A＝{x|x2＋x－2≤0，x∈R}，B＝{x|x＝2k，k∈Z}，则A∩B等于() A．{0，1} B．{－2，0}
C．{－1，0} D．{－4，－2}
[解析] 集合A＝{x|x2＋x－2≤0，x∈R}＝{x|－2≤x≤1}，
所以A∩B＝{－2，0}．
[答案] B
2．命题p：“若a<b，则a3<b3”的逆命题为q，则p与q的真假性为()
A．p真q真B．p真q假
C．p假q真D．p假q假
[解析] 若a<b，则a3<b3，∴p真，若a3<b3，则a<b，∴q真，故选A.
[答案] A
3．设集合A＝{1，2，3}，集合B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，则图中阴影部分所表示的集合为()
A．{3，5，7} B．{3}
C．{1，2，5，7} D．{1，2，3，5，7}
[解析] 由A＝{1，2，3}知，B＝{3，5，7}，
∴A∩B＝{3}，A∪B＝{1，2，3，5，7}．
所以图中阴影部分所表示的集合为∁A∪B(A∩B)＝{1，2，5，7}，故选C.
[答案] C
4．设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x||x|≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是() A．－1＜x≤1 B．x≤1
C．x＞－1 D．－1＜x＜1
[解析] 由题意可知，x∈A⇔x＞－1，x∉B⇔－1＜x＜1，所以“x∈A且x∉B”成立的充要条件是－1＜x＜1.故选D.
[答案] D
5．已知集合A＝{x|y＝4－x2}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围是()
A．(－∞，－3]∪[2，＋∞) B．[－1，2]
C．[－2，1] D．[2，＋∞)
[解析] 函数y＝4－x2有意义，则4－x2≥0，
据此可得：A＝{x|－2≤x≤2}，
A∪B＝A，则集合B是集合A的子集，
据此有：⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－2，
a ＋1≤2，
求解不等式组可得实数a 的取值范围是[－2，1]．
[答案] C
6．(多选)下列结论正确的是( )
A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题是“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”
B ．命题“若m>0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题
C ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件
D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”
[解析] 逆否命题，条件、结论均否定，并交换，所以命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”，故A 正确；命题“若m>0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m>0”，由Δ＝1＋4m ≥0，解
得m ≥－14
，推不出m>0，是假命题，故B 错误；x ＝4时，x 2－3x －4＝0，是充分条件，故C 正确；命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”，故D 正确．
[答案] ACD
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)
7．若命题p ：∀x ∈R ，cos x ≤1.则綈p 为________．
[解析] 全称命题的否定为特称命题，
故綈p 为∃x 0∈R ，cos x 0>1.
[答案] ∃x 0∈R ，cos x 0>1
8．已知“命题p ：(x －m)2＞3(x －m)”是“命题q ：x 2＋3x －4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________________．
[解析] 命题p ：x ＞m ＋3或x ＜m ，
命题q ：－4＜x ＜1.
因为p 是q 成立的必要不充分条件，
所以m ＋3≤－4或m ≥1，
故m ≤－7或m ≥1.
[答案] (－∞，－7]∪[1，＋∞)
9．已知集合A ＝{x|a －1＜x ＜a ＋1}，B ＝{x|x 2－5x ＋4≥0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．
[解析] 因为A ＝{x|a －1＜x ＜a ＋1}，
B ＝(－∞，1]∪[4，＋∞)，
由已知A ∩B ＝∅，所以⎩
⎪⎨⎪⎧a －1≥1，
a ＋1≤4，所以2≤a ≤3. [答案] [2，3]
10．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋m ≤0，命题q ：幂函数f (x )＝x 1m －3
＋1在(0，＋∞)是减函数，若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值范围是________．
[解析] 对命题p ，因为∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋m ≤0，
所以4－4m ≥0，解得m ≤1；
命题q ，因为幂函数f (x )＝x 1m －3
＋1在(0，＋∞)是减函数， 所以1m －3
＋1<0，解得2<m <3； 因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，
所以p 、q 一真一假，
若p 真q 假，可得m ≤1，且m ≥3或m ≤2，解得m ≤1；
若p 假q 真，可得m ＞1，且2＜m ＜3，解得2＜m ＜3；
实数m 的取值范围是(－∞，1]∪(2，3)．
[答案] (－∞，1]∪(2，3)
三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
11．(16分)已知集合A ＝{x|3≤3x ≤27}，B ＝{x|log 2x>1}．
(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；
(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．
[解析] (1)∵3≤3x ≤27，即31≤3x ≤33，∴1≤x ≤3，
∴A ＝{x |1≤x ≤3}．
∵log 2x >1，即log 2x >log 22，∴x >2，∴B ＝{x |x >2}．
∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3}．
∴∁R B ＝{x |x ≤2}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤3}．
(2)由(1)知A ＝{x |1≤x ≤3}，C ⊆A .
当C 为空集时，满足C ⊆A ，a ≤1；
当C 为非空集合时，可得1<a ≤3.
综上所述，a ≤3.实数a 的取值范围是(－∞，3]．
12．(16分)若命题p ：关于x 的方程x 2－2x ＋a ＝0有实根；命题q ：函数f(x)＝x 3＋ax 2＋x 在R 上是增函数．
(1)若命题p ∧q 是真命题，求实数a 的取值范围．
(2)若命题p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，求实数a 的取值范围．
[解析] (1)p 真：Δ＝4－4a ≥0，解得a ≤1；
q 真：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1≥0在R 上恒成立，
∴4a 2－4×3≤0，解得－3≤a ≤ 3.
∵p ∧q 为真，∴－3≤a ≤1.
(2)∵“p ∨q ”是真命题，“p ∧q ”是假命题，
∴p 真q 假或p 假q 真，
∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a ＞3或a ＜－3或⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－3≤a ≤ 3.
解得a ＜－3或1＜a ≤ 3.
13．(18分)已知集合A 是函数y ＝lg (20＋8x －x 2)的定义域，集合B 是不等式x 2－2x ＋1－a 2≥0(a>0)的解集，p ：x ∈A ，q ：x ∈B.
(1)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围；
(2)若綈p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
[解析] (1)由题意得A ＝{x|－2＜x ＜10}，
B ＝{x|x ≥1＋a 或x ≤1－a}．
若A ∩B ＝∅，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≥10，1－a ≤－2，a ＞0，
解得a ≥9.
∴实数a 的取值范围是[9，＋∞)．
(2)易得綈p ：x ≥10或x ≤－2.
∵綈p 是q 的充分不必要条件，
∴{x|x ≥10或x ≤－2}是B ＝{x|x ≥1＋a 或x ≤1－a}的真子集，则⎩⎪⎨⎪⎧10≥1＋a ，－2≤1－a ，a ＞0，
解得0＜a ≤3，
∴实数a 的取值范围是(0，3].。