2021’新课标·名师导学·高考第一轮总复习综合试题(三)数学时间：60分钟 总分：100分[对应学生用书p 327]一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．其中多项选择题全部选对得5分，部分选对得3分，有选错或不选得0分．)1．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试(满分100分)中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是( )A .C ．甲得分的方差比乙小 D ．甲得分的中位数和乙相等 [答案] B2．已知命题p ：“关于x 的方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”，若綈p 为真命题的充分不必要条件为a>3m ＋1，则实数m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1][解析] 由命题p 为真，得Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4.所以綈p 为真命题时，a>4.因为a>3m ＋1是綈p 为真命题的充分不必要条件， 所以3m ＋1>4，故m>1，则m 的取值范围为(1，＋∞)．[答案] A3．(多选)已知f(x)是定义在R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3－3x ，则( ) A ．f (x )在(－∞，－1)上单调递增 B ．f (x )的最小值为－2C ．不等式f (x )<0的解集为[－3，3]D ．方程f (x )＋1＝0有4个不同的实数解[解析] 当x ≥0时，f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0得x ＝1，所以f (x )在(0，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，又f (x )为偶函数，所以f (x )在(－∞，－1)上单调递减，A 错；易知f (x )min ＝f (1)＝－2，B 正确；由函数的草图易知，C 错，D 正确．故选BD.[答案] BD4．已知函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，A ⎝⎛⎭⎫13，0为f(x)图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝1，则下列区间中存在极值点的是( )A .⎝⎛⎭⎫－π6，0B .⎝⎛⎭⎫0，12C .⎝⎛⎭⎫1，π3D .⎝⎛⎭⎫π3，π2 [解析] 由|x 1－x 2|＝1得T 2＝1，ω＝π，∵A ⎝⎛⎭⎫13，0为f(x)的对称中心，∴13×π＋φ＝k π(k ∈Z )，φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π3，∴f (x )的极值点为πx －π3＝π2＋k π，x ＝56＋k ，k ∈Z ，当k ＝－1时，x ＝－16∈⎝⎛⎭⎫－π6，0. [答案] A5．一个正三角形的三个顶点都在双曲线x 2＋ny 2＝1的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数n 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3)[解析] 法一：记曲线的右顶点为A ，由条件得过点A 且倾斜角为30°的直线与双曲线右支有交点，数形结合知，第一象限渐近线的斜率k ＝－1n <tan 30°＝33，a<－3，则选D . 法二：设正三角形边长为2m ，由题意得三角形的另一顶点P(1＋3m ，m)在双曲线上，代入x 2＋ny 2＝1后可解得m ＝－23n ＋3，由m>0知a<－3. [答案] D6．已知函数f(x)＝(e x －a)⎝⎛⎭⎫ax ＋1e ，若f(x)≥0(x ∈R )恒成立，则满足条件的a 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[解析] 对任意x ∈R ，(e x －a )⎝⎛⎭⎫ax ＋1e ≥0恒成立， ①易知a ＝0时满足题意；②a <0时，e x －a >0，但不一定对任意x ∈R ，ax ＋1e≥0成立，舍去．③a >0时，由题意知f (x )＝0的两根x 1＝x 2，即ln a ＝－1a e .令φ(x )＝ln x ＋1e x ，φ′(x )＝e x －1e x 2＝0，x ＝1e ，∴φ(x )≥φ⎝⎛⎭⎫1e ＝0，故ln a ＝－1e a 恰有一根a ＝1e.综上，满足条件的a 的个数为2.[答案] C 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)7．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋2≥0，5x －y －6≤0，则z ＝2x －y 的最大值是________．[解析] 画出不等式组表示的可行域如图所示，易知z ＝2x －y 在点A(1，－1)处取得最大值z max ＝2×1－(－1)＝3.[答案] 3 8．已知实数a ≠0，对任意x ∈R ，有(1－ax )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，且4a 1＋a 2＝0，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝________．[解析] 由二项式展开式的通项公式得a 1＝C 15(－a )，a 2＝C 25a 2，由4a 1＋a 2＝0，a ≠0，解得a ＝2.令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝(1－2)5＝－1.[答案] －19．过抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A ，B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若|MN|＝33|AB|，则l 的斜率为__________．[解析] 分别过A ，B ，N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A′，B′，N′，由抛物线的定义知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NN′|＝12(|AA′|＋|BB′|)＝12|AB|，因为|MN|＝33|AB|，所以|NN′|＝32|MN|，所以∠MNN′＝30°，即直线MN 的倾斜角为150°，又直线MN 与直线l 垂直且直线l 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为60°，k AB ＝ 3.[答案] 310．如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1的中点，P 是侧面正方形BCC 1B 1内一点(含边界)，若FP ∥平面AEC ，则线段A 1P 长度的取值范围是______________________．[解析] 取B 1C 1中点G ，连FG ，GB ，可证平面FGB ∥平面AEC ，故P 在线段BG 上运动．在等腰三角形A 1BG 中，A 1G ＝BG ＝5，A 1B ＝22，作A 1H ⊥BG 于H ，由等面积法可求得A 1H ＝2305，则A 1H ≤A 1P ≤A 1B ，∴A 1P 的取值范围是⎣⎡⎦⎤2305，22. [答案] ⎣⎡⎦⎤2305，22 三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 11．(16分) 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 22＝8a 1＋1，公差d>0，S 1、S 4、S 16成等比数列，数列{b n }满足log 2b n ＝(a n －1)log 2x.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)已知c n ＝1a n a n ＋1，求数列{c n ＋b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由题意知S 1＝a 1，S 4＝4a 1＋6d ，S 16＝16a 1＋120d ， 由S 24＝S 1·S 16得(4a 1＋6d)2＝a 1(16a 1＋120d)， 解得d ＝2a 1>0.又a 22＝(a 1＋d)2＝8a 1＋1，得9a 21＝8a 1＋1，解得a 1＝1或a 1＝－19(舍)．∴d＝2，a n＝2n－1.又log2b n＝(2n－2)log2x＝log2x n－1(x>0)，∴b n＝x n－1.(2)c n＝1a n a n＋1＝1（2n－1）（2n＋1）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1，①当x＝1时，T n＝(c1＋c2＋…＋c n)＋(b1＋…＋b n)＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n＋1＋n.②当x≠1时，T n＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n＋1＋1－x n1－x.12．(16分) 已知三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BB1＝2，D是BC的中点，∠B1BA＝60°，B1D⊥AB.(1)求证：AB⊥AC；(2)若侧面ACC1A1为正方形，求直线B1D与平面C1AD所成角的正弦值．[解析] (1)如图，作B1O⊥AB于O，连接OD.∵AB＝BB1＝2，∠B1BA＝60°，∴BO＝1，O为AB中点，又D为BC中点，∴OD∥AC.由B1D⊥AB，B1O⊥AB，B1D∩B1O＝B1，∴AB⊥平面B1OD，AB⊥OD，∴AB⊥AC.(2)由侧面ACC1A1为正方形，得AC⊥AA1，结合(1)得AC⊥平面ABB1A.在平面ABB1A 内作AE⊥AB，故以A为坐标原点，射线AB，AC，AE分别为x，y，z 轴正半轴建立空间直角坐标系，如图所示．则A(0，0，0)，D(1，1，0)，C1(－1，2，3)，B1(1，0，3)，则AD →＝(1，1，0)，AC 1→＝(－1，2，3)，B 1D →＝(0，1，－3)， 设平面C 1AD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0，n ·AC 1→＝0，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋2y ＋3z ＝0，故可取n ＝(1，－1，3)，则cos 〈n ，B 1D →〉＝n ·B 1D →||n ·||B 1D→＝－25，∴直线B 1D 与平面C 1AD 所成角的正弦值为255.13.(18分) 已知函数f(x)＝ln (x ＋1)＋a2x 2.(1)当a ＝－1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，f′(x)为f(x)的导函数，设m ＝f(x 2)＋x 1＋28·f′(x 1＋1)，求m 的取值范围，并求m 取到最小值时所对应的a 的值．[解析] (1)由条件得x>－1，f(x)＝ln (x ＋1)－x 22，∴f′(x)＝1x ＋1－x ＝－x 2－x ＋1x ＋1.令f′(x)＝0得x ＝5－12， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，5－12时，f′(x)>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，＋∞时，f′(x)<0，则f(x)的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，5－12，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，＋∞.(2)由条件得x>－1，f′(x)＝1x ＋1＋ax ＝ax 2＋ax ＋1x ＋1.由条件得φ(x)＝ax 2＋ax ＋1＝0有两根x 1，x 2，满足－1<x 1<x 2. ∴Δ>0，∴a<0或a>4；∵函数φ(x)的对称轴为x ＝－12，－1<x 1<x 2，x 1＋x 2＝－1，∴x 2∈⎝⎛⎭⎫－12，0. ∵ax 22＋ax 2＋1＝0，∴a ＝－1x 2（x 2＋1）， ∴f(x 2)＝ln (x 2＋1)＋a 2x 22＝ln (x 2＋1)－x 22（x 2＋1）. ∵x 1＋x 2＝－1，∴x 1＝－x 2－1，∴x 1＋28·f′(x 1＋1)＝1－x 28f′(－x 2)＝ax 22－ax 2＋18＝14（x 2＋1），∴m ＝ln (x 2＋1)－x 22（x 2＋1）＋14（x 2＋1）＝ln (x 2＋1)－2x 2－14（x 2＋1）.令h(x)＝ln x －2x －34x，x ＝x 2＋1∈⎝⎛⎭⎫12，1， 则h′(x)＝1x －34x 2＝4x －34x 2，令h′(x)＝0得x ＝34，∴h(x)在⎝⎛⎭⎫12，34上单调递减，在⎝⎛⎭⎫34，1上单调递增． ∵h ⎝⎛⎭⎫12＝1－ln 2，h(1)＝14，h ⎝⎛⎭⎫34＝12＋ln 34，h ⎝⎛⎭⎫12>h(1)，∴h(x)∈⎣⎡⎭⎫12＋ln 34，1－ln 2. 即m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12＋ln 34，1－ln 2. 当x ＝34，即x 2＋1＝34时，m 取到最小值，解得x 2＝－14，a ＝－1x 2（x 2＋1）＝163，16∴当m取到最小值时所对应的a的值为3.。