基础知识巩固
一、平方根、算数平方根和立方根
1、平方根
1平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a,那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如
果a x =2,那么x 叫做a 的平方根．
2开平方的定义：求一个数的平方根的运算,叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义;
3平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9,9的平方根是±3 4一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果；
一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算 5符号：正数a 的正的平方根可用a 表示,a 也是a 的算术平方根；
正数a 的负的平方根可用-a 表示．
6a x =2 <—> a x ±=
a 是x 的平方 x 的平方是a x 是a 的平方根 a 的平方根是x
2、算术平方根
1算术平方根的定义： 一般地,如果一个正数x 的平方等于a,即a x =2,那么这个正数x
叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ,读作“根号a”,a 叫做被开方数．
规定：0的算术平方根是0.
也就是,在等式a x =2 x≥0中,规定a x =
;
2a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时,a 是一个有限数；
当a 不是一个完全平方数时,a 是一个无限不循环小数;
3当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大；
当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小;
一般来说,被开放数扩大或缩小a 倍,算术平方根扩大或缩小a 倍,例如
=5,
=50;
4夹值法及估计一个无理数的大小
5a x =2
x≥0 <—> a x =
a 是x 的平方 x 的平方是a
x 是a 的算术平方根 a 的算术平方根是x 6正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零; a a ≥0
0≥a
==a a 2 ；注意a 的双重非负性：
-a a <0 a ≥0
7平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：
区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个；
联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数; 3、立方根
1立方根的定义：如果一个数x 的立方等于a ,这个数叫做a 的立方根也叫做三次方根,
即如果3x a =,那么x 叫做a 的立方根
2一个数a 的立方根,记作3a ,读作：“三次根号a ”,
其中a 叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方; 3 一个正数有一个正的立方根；
0有一个立方根,是它本身； 一个负数有一个负的立方根； 任何数都有唯一的立方根;
4利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,
求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即
()3
30a a a -=->;
5a x =3 <—> 3a x =
a 是x 的立方 x 的立方是a x 是a 的立方根 a 的立方根是x
633a a -=-,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面;
典型例题分析
知识点一：有关概念的识别 1、下列说法中正确的是 A 、
的平方根是±3 B 、1的立方根是±1 C 、
=±1 D 、
是5的
平方根的相反数
2、下列语句中,正确的是
A ．一个实数的平方根有两个,它们互为相反数
B ．负数没有立方根
C ．一个实数的立方根不是正数就是负数
D ．立方根是这个数本身的数共有三个
3、下列说法中：①3±都是27的立方根,②
y y =3
3,③64的立方根是
2,④()4832
±=±;其中正确的有
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 4、()2
0.7-的平方根是
A ．0.7-
B ．0.7±
C ．0.7
D ．0.49 5、下列各组数中,互为相反数的组是
A 、－2与2
)2(- B 、－2和38- C 、－
2
1
与2 D 、︱－2︱和2
知识点二：计算类题型
1、25的算术平方根是_______；平方根是_____. -27立方根是_______.
___________, ___________,___________.
2、=-2)4( ； =-33)6( ； 2)196(= . 3
8-= .
3、① 2+32—52 ② 77
1-7
③ |23- | + |23-|- |12- | ④ 4
1)2(823--+
4、1327-＋2
)3(-－31- 233364
631125.041027-++-
--
3
知识点三：利用平方根和立方根解方程
1、12x-12
-169=0； 212142
=x 3125)2(3
=+x
知识点四：关于有意义的题
a ,有非负性,a 0a a ≥0;
要使
1
a
有意义,必须满足a ≠0. 1、若a 的算术平方根有意义,则a 的取值范围是 A 、一切数 B 、正数 C 、非负数 D 、非零数 2、要使62-x 有意义,x 应满足的条件是
3、当________x 时,式子21
--x x 有意义;
知识点五：有关平方根的解答题
1、一个正数a 的平方根是3x ―4与2―x,则a 是多少
2、若5a ＋1和a －19是数m 的平方根,求m 的值;
3、已知x 、y 都是实数,且334y x x =--,求x y 的平方根;
知识点六：非负性的应用
1、已知实数x,y 满足 2x -+y+12=0,则x-y 等于
解答：根据题意得,x-2=0,y+1=0,
解得x=2,y=-1, 所以,x-y=2--1=2+1=3．
2、已知a 、b 满足0382=-++b a ,解关于x 的方程()122-=++a b x a ;
3、若0)13(12=-++-y x x ,求25y x +的值;
4、若a 、b 、c 满足01)5(32
=-+++-c b a ,求代数式a
c
b -的值;
5、已知a 31-和︱8b －3︱互为相反数,求ab －
2－27 的值;
重点知识巩固
考点、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义
1如果一个正数x 的平方等于a,即
,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根;
2如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a 的平方根或二次方跟;如果,那么x 叫
做a 的平方根;
3如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a 的立方根或a 的三次方根;如果
,那么
x叫做a的立方根;
2、运算名称
1求一个正数a的平方根的运算,叫做开平方;平方与开平方互为逆运算;
2求一个数的立方根的运算,叫做开立方;开立方和立方互为逆运算;
3、运算符号
1正数a的算术平方根,记作“a”;
2aa≥0的平方根的符号表达为;
3一个数a的立方根,用表示,其中a是被开方数,3是根指数;
4、运算公式
4、开方规律小结
,a的算术平方根a；正数的平方根有两个,它们互为相反1若a≥0,则a的平方根是a
数,其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根;
实数都有立方根,一个数的立方根有且只有一个,并且它的符号与被开方数的符号相同;正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0;
2若a<0,则a没有平方根和算术平方根；若a为任意实数,则a的立方根是;
3正数的两个平方根互为相反数,两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数;。