专题十六最值问题【考点聚焦】考点1向量的概念、向量的加法和减法、向量的坐标运算、平面向量的数量积考点2:解斜三角形.考点3:线段的定比分点、平移.考点4:向量在平面解析几何、三角、复数中的运用考点5:向量在物理学中的运用.【自我检测】1求函数最值的方法：配方法，单调性法，均值不等式法，导数法，判别式法，三角函数有界性，图象法，2、求几类重要函数的最值方法；(1)二次函数：配方法和函数图像相结合；a(2) f (x) =x (a = 0, a • R):均值不等式法和单调性加以选择；x(3)多元函数：数形结合成或转化为一元函数•3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法(线性规划，曲函数的最值)【重点•难点•热点】问题1:函数的最值问题函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题•求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等•例1: (02 年全国理1)设a 为实数，f (x) =x2+ x —a +1(x^ R)，(1)讨论f (x)的奇偶性；(2)求f (x)的最小值.思路分析：(1)考察f(x)与f (-x)是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证.(2)二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，当对称轴与所给区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论.(1)解法一：(利用定义)f (一x) =x2+ x + a +1, - f (x) = -x2- x -a T.若f(x)为奇函数，贝V f(-x) = -f(x),即2x2+ x + a +|x-a +2 = 0.此等式对R都不成立，故f(x)不是奇函数；若f (x)为偶函数，则f (―x) = f (x)，即x2+ x + a +1 = x2+|x —a +1,此等式对x・R恒成立，只能是a = 0 .a式0故a=0时，f(x)为偶数；时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数.解法二：(从特殊考虑)f (0) =|a +1,又X E R，故f(x)不可能是奇函数.若a = 0 ,则f (x)二f (_x) = x2 - x 1，f (x)为偶函数；a式0 a式0 若，则f (a)二a21, f(-a)二a22a 1，知f (-a) = f (a)，故f (x)在时，既不是奇函数又不是偶函数.2 1 2 3(2)当x玄a时，f (x) = x2- x • a • 1 = (x ) a ，由二次函数图象及其性41质知：若a乞㊁，函数f (x)在(-：：，a］上单调递减，从而函数 f (x)在(-：：，a］上的最小值1 1 3为f (a)二a2• 1 ；若a ,函数f (x)在(-：：,a］上的最小值为f () ,且1f(2)-f (a)-2 1 2 3当x 亠a时，函数f (x) = x2• x-a • 1 = (x ) -a -2 41 13 1若a ，函数f (x)在［a, •：：)上的最小值为f( ) a，且f ( ) _ f (a)；1若a空『2 ,函数f (x)在［a,=)上单调递增，从而函数函数f (x)在［a「：)上的最小值为f (a)二a21.1 3 11综上所述，当a 时，函数f (x)的最小值是 a ;当 a 时，函数f (x)2 4 2 21 3的最小值为a2 1 ；当a 时，函数f (x)的最小值是a -.2 4点评：1.研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及 f (x)与f(-x)是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证.2 •二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像•当对称轴与所给定义域区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论.3 •本题根据绝对值的定义去绝对值后，变形为分段函数，分段函数的最值，有些同学概念不清，把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值，从而出现了一个函数有几个最小值的错误结论.演变1 : ( 05年上海)已知函数f(x)=kx+b 的图象与x、y轴分别相交于点A、22B, AB =2i 2j (i 、j 分别是与x 、y 轴正半轴同方向的单位向量),函数g(x)=x — x — 6.g(x) +1(1)求k 、b 的值;(2)当x 满足f(x)> g(x)时,求函数的最小值.f (x)点拨与提示：由f(x)> g(x)得x 的范围，-g(x)_1 = x x 5 = x+2+—1 — 5,用不 f(x) x + 2 x + 2 等式的知识求其最小值.演变2： (05年北京卷)已知函数 f(x)= — x 3 + 3X 2+ 9X + a .(I) 求f(x)的单调递减区间；(II) 若f(x)在区间［—2, 2］上的最大值为20,求它在该区间上的最小值. 点拨与提示：本题用导数的知识求解.问题2:三角函数、数列、解析几何中的最值问题将问题转化为函数问题，禾U 用求函数最值的方法求解.焦点，点P 在椭圆上，且位于 x 轴上方，PA_ PF .(1) 求点P 的坐标；(2) 设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于| MB |，求椭圆上的点 到点M 的距离d 的最小值.思路分析：将d 用点M 的坐标表示出来，d 2 =(x -2)2 y 2 =x -4x 2 4 20-5x 2=4(X 「9)2 15，然后求其最小值.9 9 2解：(1)由已知可得点 A( — 6,0),F(0,4)TT设点 P(x , y ),则 AP ={ x +6, y }, FP ={ x — 4, y },由已知可得'2 2y_=1 36 20(x 6)(x-4) y 2 =035J33 5P ''3由于y >0,只能x =,于是y =- ••••点P 的坐标是(二，二^)222 2(2)直线AP 的方程是x —J y +6=0 .m + 6设点M( m ,0),则M 到直线AP 的距离是x 2例2: (05年上海)点A 、B 分别是椭圆 一-36 2y 20=1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右则 2X 2+9 x — 18=0,解得x =3或 x =—6.2m +6--------- =m + 6 ,又—6 <m w 6解得 m =2.2由于一6w m w 6, •••当x = 9时,d 取得最小值.152演变3: (05年辽宁)如图，在直径为1的圆 0中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中y .x . 0.(I )将十字形的面积表示为 二的函数；(n )二为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？点拨与提示：将十字型面积S 用变量二表示出来，转化为三 角函数的极值问题，利用三角函数知识求出S 的最大值.问题3：最值的实际应用在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、 成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值.例3: (06年江苏卷)请您设计一个帐篷•它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥(如 右图所示)•试问当帐篷的顶点 O 到底面中心o 1的距离为多少 时，帐篷的体积最大？思路分析：将帐蓬的体积用 x 表示(即建立目标函数)，然后 求其最大值.解：设 OO i 为 x m ，则 1 ：：： x ：：： 4 32 -(x -1)2 = 8 2x-x 2 ,(单位：m )■； 32 23 ： ； 3 2 26( 8 2^ - x ) =(8 2^ - x ),(单位：m )4 23*3 2 1V 3 33V (x ) (8 2x-x 2)[—(x-1)1](16 12x-x 3)(单位：m 3) 2 32寸3 2 求导得 V (x ) 3(12—3x 2).2令V (x ) 0，解得x =…2 (不合题意，舍去)，x = 2 ,当 1：：：x”：2 时，V'(x ) • 0 , V (x )为增函数； 当 2 x 4时，V'(x ) ：：： 0, V (x )为减函数.•••当x = 2时，V (x )最大.答：当OO 1为2 m 时，帐篷的体积最大，最大体积为16,3 m 3 .点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识， 以及运用数学知识解决实际问题 的能力5n^9 2- 4 -5+由题设可得正六棱锥底面边长为: 故底面正六边形的面积为: 帐篷的体积为：x T-------- yO演变4. ( 05年湖南)对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：1)为0.8,要求洗完后的清洁度是 0.99 .有两种物体质量(含污物)方案可供选择•方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗•该物体初次清洗后受残留水等因 素影响，其质量变为a(1乞a 乞3).设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是—°E(x a -1).用y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是-^-ac ,其中x 1y ac(0.8 ：： c ：： 0.99)是该物体初次清洗后的清洁度.(1) 分别求出方案甲以及 c =0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方法用水量较小.(2) 若采用方案乙，当a 为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量 最少？并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响. 点拨与提示：设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y , X = 土4 , y = a(99 -100c)5(1-c)5c _41一于是x y+a(99-100c)100a(1 - c) - a-1，利用均值不等式求最值.5(1-c) 5(1-c)问题4:恒成立问题不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题. f(x) > m 恒成立，即f (x)min > m; f (x)< m恒成立，即f(X )max <m .x 2 + 2x + a例 4、已知函数 f (x),X • ［1, •：：)• x1(1) 当a = 2时，求函数f (x)的最小值；(2) 若对任意［1, •：：), f (x) 0恒成立，试求实数 a 的取值范围.思路分析：f(x) > 0恒成立，即f(X)min > 0.x -1 ,. f /(x) 0 .• f (x)在区间［1,咼)上为增函数.•f (x)在区间［1,邑)上的最小值为f(1)=f .1(也可用定义证明f(x) = x 2在［1, •：：)上是减函数)2x1 f W f'(x)zxx + 2x + a(2) ； f(x)0在区间［1, •：：)上恒成立;x2. x +2x+a>0在区间［1,+处)上恒成立； . x 2 +2x > -a 在区间［1,邑)上恒成立；函数y = x 2 2x 在区间［1厂：：)上的最小值为3 一 a c 3 即a a -3 1 点评：1. (1)中，f (x) -x2,这类函数，若x 0，则优先考虑用均值不等式2x求最小值，但要注意等号是否成立，即用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、 三相等，缺一不可.2•求函数的最小值的三种通法：禾吐匀值不等式，函数单调性，二次函数的配方法在本 题中都得到了体现.a演变5:已知函数f x = 2xx ，其中0<a<4.(i)将y=f x 的图像向右平移两个单位，得到函数y = g x ，求函数y = g x 的解析式；(n)函数y 二h x 与函数y 二g x 的图像关于直线 y = 1对称，求函数y 二h x 的 解析式；(川)设Fx=」fx h x ，已知Fx 的最小值是m ，且m 2 门，求实数 a a 的取值范围.点拨与提示：(川)的实质就是F(x )min 2 、7恒成立，利用均值不等式或转化为二次函数知识求它的最小值. 问题五：参数的取值范围问题参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问 题的能力.在历年高考中占有较稳定的比重. 解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思 想、数形结合等.2 2xy例5.设直线|过点P (0, 3)且和椭圆 1顺次交于 94范围.APx AP x思路分析：=A .要求的取值范围，一是构造所求变量 A 关于某个参数PBx BPB x B(自然的想到“直线 AB 的斜率k ”的函数关系式(或方程)，通过求函数的值域来达到目APA 、B 两点，求-的取值解法2:设直线I 的方程为：y 二kx • 3，代入椭圆方程，消去 y 得9k 4 x 54kx 45 =0(*)-54k— 29k 4459k 24.的•二是构造关于所求量的一个不等关系，由判别式非负可以很快确定k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与 k 联系起来•韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直APXl接应用韦达定理，原因在于-不是关于X 「X 2的对称式.问题找到后，解决的方PB x 2法自然也就有了，即我们可以构造关于解法1:AP1 当直线1垂直于x 轴时，可求得 AP1 ; PB5圆方程，消去y 得9k 2 4 x 2 54kx • 45 =0 解之得X1,2-27k 6、9k 2 -59k 2 4由椭圆关于y 轴对称，且点 P 在y 轴上，所以只需考虑 k 0的情形. 当k 0时,-27k +6*：9k 2 -5X12 ' ， X2-27k - 6.9k 2 - 5所以AP x - 所以PBX 2■: =(-54k)2 29k 429k 4忌2 9宀5=1-9k 2-9k 2-518k 9k 2“ 9k 2 -511 809k 24 _0,解得.25k-9，18 = <-!，即9 2 955PB 518k 2k 2X<| +x 2 *X 1X 2 二 X 1 ■，则,X 22324k 245k 220X i , X 2的对称式：.由此出发，可得到下面X 2 X i的两种解当I 与X 轴不垂直时，设 A X 1, y i , B(X 2, y 2)，直线l 的方程为：y = kx ■ 3，代入椭2361结合0 < - < 1得 1 .5 AP 1综上，-1岂PB 5点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.4x 2 —7r 1演变6:已知函数f X, X ，01丨(I)求f X 的单调区间和值域;2 —X(n)设 a _1，函数 g x i ； = x 2 -3a 2x-2a , x ：=〔0,1 丨，若对于任意01 1,使得g x 0 = f x 1成立，求a 的取值范围点拨与提示：利用导数知识求解. 专题小结 1. 函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题•求函数最值的方法有： 配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等.2. 三角函数、数列、解析几何中的最值问题，往往将问题转化为函数问题，利用求函数最 值的方法或基本不等式法求解.3•在数学应用性问题中有关用料最省、成本最低、 利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值.4.不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题. f(x) > m 恒成立，即f (x) min > m ； f(x)< m恒成立，即f (x) max <m .5•参数范围问题内容涉及代数和几何的多个方面，钥解题的关键不等关系的建立，其途径 多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等. 【临阵磨枪】一.选择题在(* )中，由判别式.：_0,可得k 2，从而有, 324k4— 45k 20，5所以1 364辽岂亏，解得变量的有界x ^ 101 1，总存在236 1.抛物线、二-x2上的点到直线4x • 3y - 8 = 0距离的最小值是( )2. （ 05福建卷）设 2a,b 二 R , a 2b =6,则a b 的最小值是（ A -2、2 5.33 _2 3. （ 06年江西）P 是双曲线 — 9（x — 5） 2+ y 2 = 1 上的点， A 6 B 7 x 2 4. （ 06年福建）已知双曲线 —a — 2 x — » =1的右支上一点，M 16 则|PM| — |PN|的最大值为（ C 8 D y 2 2 =1（a 0,b 0）的右焦点为F,若过点 b 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A （1,2] N 分别是圆B (1,2)C [2,二) 2 2 (x + 5) + y = 4 和F 且倾斜角为60o () (2, n5•当时， 函数f (x)- 21 cos2x 8sin xsin 2x 的最小值为（ 2. 3 D 4.3 6.（ 05天津卷）若函数 3 f(x) = log a (x - ax) (a ・0,a=1)在区间 则a 的取值范围是1 A H,1） 41 、 (,0)内单调递增,2 () 9 D (1,；)47. （ 06年江西）若不等式 x 2+ ax + 1二0 对于一切 9 C （;,：：） 41 x ：二（0,）成立，则a 的取值范围是（）2 C -5 2D -3 8.（05年重庆）若x , y 是正数，则 —）2的最小值是（ 2x 二•填充题 9.已知定点 A 、B 且|AB|=4，动点P 满足|PA|— |PB|=3，则|PA|的最小值是 10.（05上海）若x, y 满足条件丿x + y 兰3，则z=3x+4y 的最大值是• y 兰 2x 11. （06年江西卷）如图，在直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1中，底面为直角三 角形，/ACB = 90 , AC = 6, BC = CC 1= 2 , P 是 BC 1 上一动点，则 CP + PA 1的最小值是 ____________ B12.对于满足0岂p 乞4的一切实数，不等式 x px . 4x 3恒成立，则x 的取值范围是 _______________ .三.计算题R 十C13.( 06年全国卷I ) UABC 的三个内角为 A 、B 、C ，求当A 为何值时，cos A 2cos -2取得最大值，并求出这个最大值.14. (05年重庆卷)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为C 、3,0).⑴求双曲线C 的方程；(2)若直线l : y =kx 「.2与双曲线C 恒有两个不同的交点 A 和B ，且OA OB - 2(其 中O 为原点)，求k 的取值范围.15 (05天津)已知R ，设P :人和X2是方程x 2 -ax -2 =0的两个实根，不等式2m —5m —3 3x (—X 2对任意实数a^[—1,1]恒成立;324Q :函数f(x)二x mx (m )x 6在(—〜•：：)上有极值.3求使P 正确且Q 正确的m 的取值范围.x 2 y 216. (06年江西)如图，椭圆Q ：飞+ 2 = 1 (a b 0) a b的右焦点F ( c , 0),过点F 的一动直线 m 绕点F 转动， 并且交椭圆于 A 、B 两点，P 是线段AB 的中点 (1) 求点P 的轨迹H 的方程) 在 Q 的方程中，令 a 2= 1+ cosr + sinv, b 2= sinv31(0瑟一),确定盲的值，使原点距椭圆的右2准线I 最远，此时，设I 与x 轴交点为D ，当直 线m 绕点F 转动到什么位置时，三角形 ABD 的面积最大？参考答案2.C 提示：a=、6 sin ： ,b= 3cos ：，则 a+b=3sin (寫侶’),其中二 arctan —, a b 的2最小值为—3.3. B 提示：设双曲线的两个焦点分别是 F i (— 5, 0 )与F 2 ( 5, 0),则这两点正好是两圆 的圆心，当且仅当点 P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求的值最大，此 时|PM| — |PN|=( |PF 1|— 2) — ( |PF 2|— 1 )= 10— 1 = 9.— b222c 4.C 提示：依题意 3 ，结合b 2二c 2-a 2，得e2 .1. A提示：设抛物线上动点为2P(x,-x )，所以 d J —3X 2 4X-8I54 - 3-6. B 提示：记g x =x 3 —ax ，则g' x =3x 2 —a ，当a 1时，要使得f x 是增数，则3矛盾，排除C 、D ；当0 ：：： a ：：： 1时，要使得f x4aa 17. C 提示：设f (x )= x 2 + ax + 1,则对称轴为 x =——.若一即a< — 1时，贝Uf22 21 15 a(x )在〔0,丨上是减函数，应有 f ( ) _0 : — — 1 ；若一一 _0即a_0时，则f22 2 21a 1(x )在〔0,〕上是增函数，应有f ( 0) = 10恒成立，故a_0 ;若0< —即—1田乞0,22 2222aaa a则应有f (― — )= ---------- + 1 = 1—0恒成立，故—化a_0.2 4 2 45综上，有— a 故选C2(x 2~)2 (y 2")2 >2(x+ 2- )(y+ &82y 2x 2y 2x10.11提示：求z =3x ，4y 的最大值，即求y 轴上的截距最大值，由图可知, 时有最大值为11.B115.2 提示：连 A 1B ，沿BC 1将厶CBC 1展开与△ A 1BC 1 在同一个平面内，如图所示，连A 1C ，则A 1C 的长度就是所求的最小值.通过计算可1+cos2x+8sin 2 x 2cos 2 x 8sin 2 xcosx 4sin x5. C 提示:f(x) — ——+sin 2x 2sin xcosxsin x cosxcosx 4sin x cos x 4sin x 1-2.,—— — -4，当且仅当 ，即 tan x -时，取c”— ,\ sin x cosxsin xcosx2••• 0 ： x -,2 1•••存在x 使tanxY ，这时 f ( X )max需有g'x _0恒成立，所以a,」2I 2丿 是增数，则需有 g' x < 0恒成立，所以a—333，排除A •本题答案选B4x 丄 2y 1 x =2y1 y = 2x丄2x，得 x=y= 2时等号成立 选(C)29. 3.5 提示：点P 在以A,B 为焦点,2a=3的双曲线的右支上，「.|PA|的最小值为 1.5+2=3.5 .过点(1, 2) C 1x 21yy21x =4当且仅当A1得 Z Ai C i C = 90 又.BC i C = 45 ,..A 1C 1C = 135由余弦定理可求得 A i C = 5.212.x .3或x ::： -1 提示：将 p 视为主元，设 f p 二 p x-1『：；']X 2-4x • 3，则当0乞p 乞4时，f p >0恒成立.2口" x - 4x 3 0 “口 亠•即 2 ,解得 x - 3或 x ：：： -1 .x -1 013.B +Cn - AA2 AAcos A 2coscos A 2 coscos A 2sin1「2s in2sin2 2 2 2 2 记 t = si nA2f t - -2 !t等价于：f 0.0 [f (4)*0（0 ：：: A ：：：二）则原问题等价于求f ⑴=-2t 2 2t 1在（0,1］上的最大值1当t 时,431即A 时,3f （t ）取得最大值-.2 14.解：（I ） 设双曲线方程为 (a 0,b 0).由已知得a = •• 3, c = 2,再由 a 2b 222,得 b 2 =1.故双曲线 2C 的方程为—-y 2 =1.3(n)将2y = kx 、2代入—-y 23=1得(1 _3k 2)x 2 _6、. 2kx _9 = 0.由直线I 与双曲线交于不同的两点得> ■21-3k -0,■: =(6、2k)2 36(1 -3k 2) =36(1 -k 2)0.21 2即 k 且k <1.① 设 A(X A ,y A ),B(X B ,y B )，则 3672k-9 占 T TX A x 厂右，畑厂碍，由OAOB 2得X A X B2,而 X A X B Y A Y B =X A X B (kx A 、2)(咲 2) =(k 2 1)X A X B2k(X AX B )2★ 1二 &k%2 冲1—3k 21 -3k2 3k-12 2于是3k^2 2,即竺19 0,解此不等式得-：：:k2 :：: 3. ②3k -1 3k -1 3由①、②得1下：：：「故k的取值范围为(-1, 3)( 3,1).3 3 3215解(I )由题设x i和X2是方程x「ax「2 =0的两个实根，得x i + X2 = a且x i X2 = - 2,所以，1%「x21= (x1x2)2「4^X2 二、a28当a [-1,1]时，a28的最大值为9，即1x^X21乞3・2由题意，不等式|m -5m-3|_|刘-血|对任意实数a・[1,1]恒成立的m的解集等于不等式|m2 -5m -3|_3的解集+由此不等式得m2 -5m -3二-3①，或m2 -5m-3_3②不等式①的解为0^m^5，不等式②的解为m乞1或m_6+因为，对m乞1或O^m乞5或m_6时，P是正确的..」 3 2 4 2 4(n)对函数f(x)=x mx (m —)x 6求导f'(x) =3x 2mx m —3 32 4令f '(x) =0，即3x - 2mx m 0 •此一兀二次不等式的判别式32 4 2=4m -12(m ) = 4m —12m—16”3因为，°不是函数的极值+若厶>0,则f '(x) =0有两个不相等的实根x-i和x2( x1< x2)，且f' (x)的符号如下:因此，函数f( x)在x = X1处取得极大值，在x = X2处取得极小值• 综上所述，当且仅当>0时，函数f( x)在(-：：,+ ：：)上有极值+2由：：=4m「12 m「16 0 得m ：： 1 或m 4 ,因为，当m ”： 1或m时，Q是正确得+综上，使P 正确且 Q 正确时,实数 m 的取值范围为(-：：,1) (4,5] 一 [6,16. 解: 如图, (1)设椭圆 2= 1 (a b 0) b 2 P 点坐标为P (x , y ),则 2 x . Q : p + a y 2),又设 -(1) 上的点A .2 2丄 b X t + 1 .. b 2x ；+ a 2y ； — a 2b 2................................................................ ( 2) 1 当AB 不垂直x 轴时，X 1=X 2, 由(1) — ( 2)得 b 2(X 1— X 2) 2x + a 2 (y 1 — y ?) 2y = 0 2 y 一 匕 b x y ■ _____ __ _ ___ ■ p ~2 x 1 — x 2 a y x — c2 2 2 2 2 .b x + ay — b cx 一 0 ................ ( 3)当AB 垂直于x 轴时，点P 即为点 故所求点P 的轨迹方程为：b 2x 2 + a 2y 2 — b 2cx 一 0 2 |方程是x 一 —，原点距I 的距离为 c (X 1 , 2 2 a y 1 = yj 、B (X 2 ,2 J a b ........... = .......... 一 a b F ,满足方程(3)■ 2 (2)因为，椭圆 Q 右准线 2 —,由于 c 2= a 2— b 2 , a 2 c =1 + cos 卄 sin y, b 2= sin y 1 + COST + sin v .1 + cosn(0 ),2 e 2sin ( +2 当7一一时，上式达到最大值•此时 2a 2= 2 ,b 2= 1,c = 1 , D (2 , 0), |DF|= 1 设椭圆Q : S = 1|y 1|+ 2 —+ y 2=1上的点A 21 12“21 — 2|y 1—y2〔(x i , %)、B (X 2, y 2),三角形 ABD 的面积 2设直线m 的方程为x 一 ky + 1,代入 —+ y 2=1中，得(2+ k 2) y 2+ 2ky — 1 一 02 2k 由韦达定理得y1+y2=- k, 1 y 1y 2 一一 2， 2+ k 22 8 (k +1) 452-( y 1 — y 2)2=( y 1 + y 2)2—4 - 8 2，当t 一 1, k = 0时取等号. 4令 t = k 2+ 1 _1，得 4S 2 — 一 一8—(t +1) t +1 +2 t F 转到垂直x 轴位置时, 因此，当直线m 绕点 【挑战自我】 三角形 ABD 的面积最大. 已知f x = -x 32ax b(a, b R).(1)若函数y =f(x)图象上任意两个不同点的连线斜率小于1,求证：:::a -3 ；(2)若x • 0,1，函数y 二f (x)上任一点切线斜率为 k ，当k <1 时，1 <^<'3【答案及点拨】演变题要有点拨，原创题有详解，一般题给答案b演变1: (1)由已知得A( ,O),B(O,b),则ABk⑵由 f(x)> g(x)，得 x+2>x 2 — x -6,即(x+2)(x — 4)<O,得—2<x<4,2g(x) 1 x-x - 5 1 =f (x) x 2x 2由于x+2>0,则■g C 1 >— 3,其中等号当且仅当x+2=1,即x= — 1时成立f(x)•.9(0 1的最小值是—3.f (x)点评：(1)要熟悉在其函数的定义域内，常见模型函数求最值的常规方法•如^x 丄(X=O)型.(2)利用均值不等式求最值时，要注意：一正、二定、三相等，缺一x不可.< 1时，求a 的取值范围.解：(1)、设任意不同两点为 P^x 11y 1 )P 2(x 21 y 2 )，且x^x 2，则3 2 3 2y t _y 2 1 -x 1 +e^ +x 2 -ex 2〔x 1「x 22 2-x 1 亠 i 「e - x 2 捲-x 2 ex 2 -2 2X 1 三 R.1 :: 0,即一3x 2 2ex 2 e.：2=(2e)2—[4 (—3) (e 2—4)]：：：0 4 2e -4 ：： 0二—J 3 c a £ J 3(2 )、当 x € 0,1 时,kf (1) =一3 +2a -4 ：： 0恒成立,=f x = _3x 2 - 2ax 由题意:—1 乞-3x 2 2ax E1,x 0,11,_1则<a3 、'(1)= _3 + 2a'a f(3)=2a 13或S<0.3=-3 + 2a 兰 1解得：当={ b ,b},于是 b =2,b=2 • ••• k = 1,b = 2•k k演变 2: (I ) f 'x) = - 3x 2 + 6x + 9.令 f X)<0，解得 x<— 1 或 x>3,所以函数f(x)的单调递减区间为(一a,— 1), (3 ,+s).(II )因为 f(— 2)= 8 + 12— 18 + a=2 + a , f(2) = — 8+ 12+ 18+ a = 22 + a , 所以f(2)>f( — 2).因为在(一1, 3)上 f ‘x)>0,所以f(x)在［—1, 2］上单调递增，又由 于f(x)在［ — 2, — 1］上单调递减，因此f(2)和f( — 1)分别是f(x)在区间［—2, 2］上的最大值和最小值，于是有 22 + a = 20,解得a =— 2.故 f(x)= — x 3 + 3x 2 + 9x — 2，因此 f(— 1) = 1 + 3 — 9 — 2=— 7 即函数f(x)在区间［—2,2］上的最小值为一7.演变3: ( I)解：设S 为十字形的面积，则22応兀 S = 2xy -x 2 si nr COST - COS ().42(n)解法一：S =2sin vcosv -COS 211(5 1 2=sin2' -cos2sin(2)- J (其中 =arccos^^.)222 25当 sin(2r -「)=1,即2一「= 2 时,S 最大. 所以当1arccos^-^ 时,S 最大. S 的最大值为 一1 .4 2 52解法二：因为 S =2sin vcosv -cos 2v,所以 S = 2cos 2 0 -2sin 2 日 +2 sin 日 cos 日=2cos2日 + sin 因.11令 S =0, 即 卩 2cos2v si n2v - 0,可解得arcta n(_2)22*1所以，当arctan(_2)时，S 最大, 2 2x +0 8 演变4：方案甲与方案乙的用水量分别为x 与乙由题设有x 0. 8 = 0. 99，解得x = 19.x + 1v + 0 95a由C = 0.95得方案乙初次用水量为 3,第二次用水量y 满足方程：0.99，解得y + ay=4a ，故z=4a+3 .即两种方案的用水量分另为 19与4 a +3 . 因为当 1 < a < 3 时，x — z = 4 (4— a ) >0 ,即卩 x>z . 故方案乙的用水量较少.(II )设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ，类似(I )得5C -4S 的最大值为..5 - 1 2x , y =a(99 -100C) (*)5(1 -c)5C—4 1于是x y +a(99—100c) 100a(1 - c) 一a—1 5(1—c) 5(1—c)当a 为定值时，宀訓时沁―――1 100a(1-c)时等号成立，此时 c =1 ------ (不合题意，舍去)或5(1 -c)10.5ac =1—1 (0.8,0.99).10,5a1 , _____________________将 c =r ----------- 代入(* )得 X =2.,5a -1 ■ a -1, y=2、5a-a .10.5a1故c =1 ----------- 时用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为10 ； 5a y =2、.5a - a ，最少总用水量为 T(a^ -a 4,5a -1.判断)，这说明随着a 的值的增加，最少总用水量增加. 演变5:(I) g x =f x-2 才一 2a 「4；(n)设点p x,h x ]]是函数y = h x 上任一点，点 P x,h x 门关于y = 1的对称点是P' x,2 -h x ,由于函数y =h x 与函数y 二g x 的图像关于直线y =1对称，所以, 点P'在函数y= g x 的图像上，也即：2-h x = g x .所以，h x =2-g x ^-24 乎；4 2 1f 1 1 ) 1 (川)F x f x h x2x 4a-1 x 2al a 4 丿2的正负入手.1 1门0 1(1 )当a 4 ，即0 ：；a 时，F x 是R 上的增函数，此时 F x 无最小值, 44a-仁 0当且仅当x = 2 5a -1 与当1< a < 3时,T /(a)2,5a-1 0，故T (a )是增函数(也可用二次函数的单调性来 解法一.注意到F x 的表达式形同mt n，所以，可以考虑从m,n 即X 和仕1与题设矛盾;11 1⑵当—--■ 0，即a ■■ 4 时,■a 444匚G 1 xF(x^2&a22(4a-1y4 - a 4a -1 2等号当且仅当a-i2^4^12^，即24a4「1时成立.4-a4—a 4a「_ 1由m・2 •及a < 4，可得:4 1a :: 44"，解之得：-:::a：：：2 •2解法二•由F x 2 J可得: --7•(1 1\令2一，则命题可转化为：当5时，蔦丿〕t24a-1 - 0 恒成立.考虑关于t的二次函数t = 1 -1 t2 - ■■一7t • 4a -1 •la 4丿1 1因为0,函数a 4 ———『—J7 + (4a — 1)的对称轴<a 4丿.770,所以,1 12( )a 4需且只需，解之得: 总=7—4 -4a-1 ：：04 — a 4 — a 此时，红工0,4a -1 0,故F(xH- a t4a 4a(4a -1)取得最4a小直心上亍他一"满足条件・2 ]演变6:解：对函数f x求导，得f，x =也16口(2-x$ 2x-1 2x-72(2—x)1 7令f，x =0解得x1或x2，当x变化时，f，x、f x的变化情况如下表:所以，当x・01时，f x的值域为［-4,- 31(n)对函数g x求导，得g，x i；= 3 x2- a2因此a _1，当01 时，g，x Y3 1—a2< 0因此当x^10,1时，g x为减函数，从而当x(0,1 :时有g x^~ g 1 , g 0 ：|又g 1]=1-2a-3a2，g 0 - -2a，即当x「0,11 时有g x 卢1 -2a -3a2, -2a任给x r 1.0,11, f x! ■1-4—31,存在x^ 1.01 1 使得g xg f %，则1 _2 a3 a2V4 1()彳―2a—3a2,—2a〕=【—4,— 3】，即< - 解(1 式得aZ1 或- - [-2^-3 2 )5 3 3a 解⑵式得a 又a 一1，故a的取值范围为1 < a < -3 2 2。