一、选择题
1．已知等差数列 的前 项和是 ,若
,
,则 最大值是
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】由等差数列的前 n 项和的公式可得：
故
则
,故在数列 中,当
时,
,当
,所
以 时, 达到最大值.
2．若等差数列 的前 项和
,则
的最小值为
A．
B.8
C.6
D.7
【答案】D
3.已知正项等比数列 的前 项和为 ,且
,则
为 A. 10 B. 15 【答案】C
C. 20
D. 25
【解析】由题意可得：
,由
可得
由等比数列的性质可得： 可得：
成等比数列,则
的最小值
, ,综上
,
当且仅当
时等号成立.综上可得,则
的最小值为 20.
4.已知数列 的通项公式为
最大值为 A．4 【答案】C
B．5
C．6
【解析】
,记数列 的前 项和为,则使 D．8
成立的 的 ,
,
,…,所以使
成立的 的最大值为 ,故选 C.
5．设数列 为等差数列, 为其前 项和,若
,
,
,则 的最大值
为
A. 3 B. 4 C.
D.
【答案】B
【
解
析
】
∵S4≥10,S5≤15,∴a1+a2+a3+a4≥10,a1+a2+a3+a4+a5≤15,∴a5≤5,a3≤3,a1+4d≤5,a1+2d≤3,
两式相加得：2（a1+3d）≤8,∴a4≤4,故选 B.
6. 等比数列 的前 项和
（ 为常数）,若
恒成立,则实数
的最大值是 A. 3 B. 4 【答案】C
C. 5
D. 6
7. 正项等比数列｛an｝中,存在两项 am,a（n m,n
的最小值为 A. 5 B. 6 【答案】B
C. 7
D. 8
）使得 aman=16a12,且 a7=a6+2a5,则 +
【解析】∵
,∴
∴
,又
,∴
,
,∴
,即
,
,当且仅当
,即
时等号成立,∴
的最小值为 6,故选 B．
8. 等差数列 的公差为 ,关于 的不等式
的解集为 ,则使数列
的前 项和 最大的正整数 的值是 A． B． C． D． 【答案】B
9. 已知等差数列 的公差
,且 , , 成等比数列,若
, 为数列 的
前 项和,则
的最小值为
A． 4
B．3
【答案】A
【解析】由已知有
公
式
C． ,所以有
D．2
,数列 通项
,
所
以
,当且仅当
,即
时等号成立.故选
A.
10. 已知三个数 ,
,
成等比数列,其倒数重新排列后为递增的等比数列 的
前三项,则能使不等式
成立的自然数 的最大值为
A．9 【答案】C
B．8
【解析】因为三个数
C．7
D．5
等比数列,所以
,倒数重
新排列后恰好为递增的等比数列 的前三项,为
,公比为 ,数列
是以 为首
项, 为公比的等比数列,则不等式
等价为
,整理,得
,故选 C．
11. 设等差数列 满足:
,公差
, 若当且仅当
是
A．
B．
【答案】A
时, 的前 项和 取得最大值,则首项 的取值范围
C．
D.
12. 设 数 列
首项 ,当 取最大值时,
,为
的前 项和,若
A． 4 【答案】D
B．2C． 6
D． 3
【解析】由题意得
,所以
当且仅当
时取等号,
故选 D. 二、填空题 13.将 10 个数 1,2,3,…,9,10 按任意顺序排列在一个圆圈上,设其中连续相邻的 3 数之和为 , 则 的最大值不小于__________． 【答案】18
14.已知 是等比数列,且
,
【答案】
【
解
析
,则 的最大值为__________． 】
,即 的最大值为 .
15．设等差数列 满足 __________． 【答案】-12 【解析】因为数列
,
,且
是等差数列,且
有最小值,则这个最小值为
,所以
,
是一元二次方程
,
或
,
的二根,由 ,当
,当
得 时,
时,
取得最小值,由
解得
,
时,
取得最小
值,此时 ,
,当 ,当
时,
时,
取得
最小值,由
解得
,
时,
取得最小值,此时
, 故答案为 .
16．设等差数列 的前 项和为 ,且
又
,数列 的前 项和为 ,若
最大值是__________. 【答案】2
（ 是常数,
）,
,
对
恒成立,则正整数 的
17.数列{an}是等差数列,数列{bn}满足 bn=anan+1an+2（n∈N*）,设 Sn 为{bn}的前 n 项和．若
,则当 Sn 取得最大值时 n 的值等于_____．
【答案】
【解析】设 的公差为 ,由
得
,
,即
,所以
,从而可知
时,
,
,
,
,因为
,所以
中 最大,故答案为 16.
,
时,
,
,
,所以
,从而 ,故
,所以 ,故
18.已知等比数列 的首项为 ,公比为 ,前 项和为 ,则
的最大值与最小值
之和为__________． 【答案】
【解析】由等比数列前 n 项和公式可得
,令
,当 为奇数时,
单调递减,
,当 为偶数时,
单调递增,
,则
,即
,
令
,函数单调递减,则：
,最大值与最小值之和为
. 19.等差数列 满足
,则
的取值范围是________.
【答案】
.
三、解答题
20．已知数列 的各项为正数,其前 项和为 满足
,设
. （1）求证：数列 是等差数列,并求 的通项公式； （2）设数列 的前 项和为 ,求 的最大值.
（3）设数列 的通项公式为
,问: 是否存在正整数 t,使得
成等差数列？若存在,求出 t 和 m 的值；若不存在,请说明理由.
21．已知数列 是首项等于 且公比不为 1 的等比数列, 是它的前 项和,满足
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设
且
,求数列 的前 项和 的最值．
【解析】（1）
,
,
.
整理得
,解得
或
（舍去）.
.
（2）
.
1）当 时,有
增的等差数列.
由
,得 .所以
数列
是以
为公差的等差数列,此数列是首项为负的递 . 的没有最大值.
2）当
时,有
递减的等差数列.
,得 ,
,数列 是以
为公差的等差数列,此数列是首项为正的
. 的没有最小值.
。