专题 最值问题【考点聚焦】考点1：向量的概念、向量的加法和减法、向量的坐标运算、平面向量的数量积. 考点2：解斜三角形.考点3：线段的定比分点、平移.考点4：向量在平面解析几何、三角、复数中的运用.考点5：向量在物理学中的运用.【自我检测】1、求函数最值的方法：配方法，单调性法，均值不等式法，导数法，判别式法，三角函数有界性，图象法，2、求几类重要函数的最值方法；（1）二次函数：配方法和函数图像相结合；（2）),0()(R a a xa x x f ∈≠+=:均值不等式法和单调性加以选择； （3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数.3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法(线性规划，曲函数的最值)【重点•难点•热点】问题1：函数的最值问题函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题.求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等.例1：(02年全国理1) 设a 为实数，)(1)(2R x a x x x f ∈+-+=，（1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）求)(x f 的最小值．思路分析：(1)考察)(x f 与)(x f -是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证．(2)二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，当对称轴与所给区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论．(1)解法一：(利用定义)2)(x x f =-＋1++a x ，2)(x x f -=-.1---a x若22),()()(x x f x f x f 即为奇函数，则-=-R x a x a x ∈=+-++此等式对＋.02 都不成立，故)(x f 不是奇函数；若)(x f 为偶函数，则)()(x f x f =-，即2x ＋21x a x =++,1+-+a x 此等式对R x ∈恒成立，只能是0=a ．故0=a 时，)(x f 为偶数；0≠a 时，)(x f 既不是奇函数也不是偶函数．解法二：(从特殊考虑),1)0(+=a f 又R x ∈，故)(x f 不可能是奇函数．若0=a ，则=)(x f 1)(2++=-x x x f ，)(x f 为偶函数；若0≠a ，则12)(,1)(22++=-+=a a a f a a f ，知)()(a f a f ≠-，故)(x f 在0≠a 时，既不是奇函数又不是偶函数．（2）当a x ≤时，43)21(1)(22++-=++-=a x a x x x f ，由二次函数图象及其性质知：若21≤a ，函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2+=a a f ；若21>a ，函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为43)21(=f ，且)()21(a f f ≤． 当a x ≥时，函数43)21(1)(22+-+=+-+=a x a x x x f ． 若21-≤a ，函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21(a f f ≤-； 若21->a ，函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为1)(2+=a a f ． 综上所述，当21-≤a 时，函数)(x f 的最小值是a -43；当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12+a ；当21>a 时，函数)(x f 的最小值是43+a ．点评：1．研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及)(x f 与)(x f -是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证．2．二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像．当对称轴与所给定义域区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论．3．本题根据绝对值的定义去绝对值后，变形为分段函数，分段函数的最值，有些同学概念不清，把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值，从而出现了一个函数有几个最小值的错误结论．演变1：（05年上海）已知函数f(x)=kx+b 的图象与x 、y 轴分别相交于点A 、B,22+=( 、分别是与x 、y 轴正半轴同方向的单位向量), 函数g(x)=x 2－x －6．(1)求k 、b 的值;(2)当x 满足f(x)> g(x)时,求函数)(1)(x f x g +的最小值． 点拨与提示：由f(x)> g(x)得x 的范围，)(1)(x f x g +＝252+--x x x ＝x+2+21+x －5，用不等式的知识求其最小值．演变2：（05年北京卷）已知函数f (x )=－x 3＋3x 2＋9x ＋a ．（I ）求f (x )的单调递减区间；（II ）若f (x )在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．点拨与提示：本题用导数的知识求解．问题2：三角函数、数列、解析几何中的最值问题将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法求解．例2：（05年上海）点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥．（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．思路分析：将d 用点M 的坐标表示出来，222222549(2)4420()15992d x y x x x x =-+=-++-=-+，然后求其最小值． 解：（1）由已知可得点A(－6,0),F(0,4)设点P(x ,y ),则AP ={x +6, y },FP ={x －4, y },由已知可得22213620(6)(4)0x y x x y ⎧+=⎪⎨⎪+-+=⎩，则22x +9x －18=0, 解得 x =23或x =－6． 由于y >0,只能x =23,于是y =235． ∴点P 的坐标是(23,235) (2) 直线AP 的方程是x －3y +6=0．设点M(m ,0),则M 到直线AP 的距离是26+m ．于是26+m =6+m ,又－6≤m ≤6,解得m =2．椭圆上的点(x ,y )到点M 的距离d 有222222549(2)4420()15992d x y x x x x =-+=-++-=-+, 由于－6≤m ≤6, ∴当x =29时,d 取得最小值15 演变3：（05年辽宁）如图，在直径为１的圆O 中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中0>>x y ．(Ⅰ) 将十字形的面积表示为θ的函数；(Ⅱ) θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？点拨与提示：将十字型面积S 用变量θ表示出来，转化为三角函数的极值问题，利用三角函数知识求出S 的最大值．问题3：最值的实际应用 在数学应用性问题中经常遇到有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值．例3：（06年江苏卷）请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心o的距离为多少时，帐篷的体积最大？1思路分析：将帐蓬的体积用x 表示（即建立目标函数），然后求其最大值．解：设OO 1为x m ，则41<<x 由题设可得正六棱锥底面边长为：22228)1(3x x x -+=--，（单位：m ） 故底面正六边形的面积为：(436⋅⋅22)28x x -+=)28(2332x x -+⋅，（单位：2m ） 帐篷的体积为： )28(233V 2x x x -+=）（]1)1(31[+-x )1216(233x x -+=（单位：3m ） 求导得)312(23V '2x x -=）（． 令0V'=）（x ，解得2-=x （不合题意，舍去），2=x ， 当21<<x 时，0V'>）（x ，）（x V 为增函数； 当42<<x 时，0V'<）（x ，）（x V 为减函数． ∴当2=x 时，）（x V 最大．答：当OO 1为2m 时，帐篷的体积最大，最大体积为3163m ． 点评：本题主要考查利用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力演变4．（05年湖南）对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：-1物体质量（含污物）污物质量）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99．有两种方案可供选择．方案甲：一次清洗；方案乙：分两次清洗．该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为)31(≤≤a a ．设用x 单位质量的水初次清洗后的清洁度是)1(18.0->++a x x x ．用y 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是a y ac y ++，其中)99.08.0(<<c c 是该物体初次清洗后的清洁度．（1）分别求出方案甲以及95.0=c 时方案乙的用水量，并比较哪一种方法用水量较小．（2）若采用方案乙，当a 为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a 取不同数值时对最少总用水量多少的影响．点拨与提示：设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ，545(1)c x c -=-，(99100)y a c =-于是545(1)c x y c -+=-+(99100)a c -1100(1)15(1)a c a c =+----，利用均值不等式求最值． 问题4：恒成立问题不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题．f(x)＞m 恒成立，即min )(x f ＞m ；f(x)<m 恒成立，即max )(x f <m ．例4、已知函数xa x x x f ++=2)(2).,1[,+∞∈x （1）当21=a 时，求函数)(x f 的最小值； （2）若对任意0)(),,1[〉+∞∈x f x 恒成立，试求实数a 的取值范围．思路分析：f(x)＞0恒成立，即min )(x f ＞0．解：（1）当21=a 时，211)(',221)(zxx f x x x f -=++=． 1≥x ， ∴0)(/>x f ．∴ )(x f 在区间),1[+∞上为增函数．∴ )(x f 在区间),1[+∞上的最小值为27)1(=f ． （也可用定义证明221)(++=xx x f 在),1[+∞上是减函数） （2） 02)(2>++=xa x x x f 在区间),1[+∞上恒成立； ∴ 022>++a x x 在区间),1[+∞上恒成立；∴ a x x ->+22在区间),1[+∞上恒成立；函数x x y 22+=在区间),1[+∞上的最小值为3∴ 3<-a 即 3->a点评：1．（1）中，,221)(++=xx x f 这类函数，若0>x ，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，即用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可．2．求函数的最小值的三种通法：利均值不等式，函数单调性，二次函数的配方法在本题中都得到了体现．演变5：已知函数()22x xa f x =-，其中0<a <4． （Ⅰ）将()y f x =的图像向右平移两个单位，得到函数()y g x =，求函数()y g x =的解析式；（Ⅱ）函数()y h x =与函数()y g x =的图像关于直线1y =对称，求函数()y h x =的解析式；（Ⅲ）设()()()1F x f x h x a=+，已知()F x 的最小值是m ，且2m >+数a 的取值范围．点拨与提示：（Ⅲ）的实质就是72)(min +>x F 恒成立，利用均值不等式或转化为二次函数知识求它的最小值．问题五：参数的取值范围问题参数范围的问题，内容涉及代数和几何的多个方面，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力．在历年高考中占有较稳定的比重．解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等． 例5．设直线l 过点P （0，3）且和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，求AP PB的取值范围．思路分析：AP PB =B A x x -．要求AP PB 的取值范围，一是构造所求变量BA x x -关于某个参数（自然的想到“直线AB 的斜率k ”）的函数关系式（或方程），通过求函数的值域来达到目的．二是构造关于所求量的一个不等关系，由判别式非负可以很快确定k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来．韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于21x x PB AP -=不是关于21,x x 的对称式． 问题找到后，解决的方法自然也就有了，即我们可以构造关于21,x x 的对称式：1221x x x x +．由此出发，可得到下面的两种解法． 解法1: 当直线l 垂直于x 轴时，可求得51-=PB AP ; 当l 与x 轴不垂直时，设())(,,2211y x B y x A ，，直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得 ()045544922=+++kx x k 解之得 .4959627222,1+-±-=k k k x 由椭圆关于y 轴对称，且点P 在y 轴上，所以只需考虑0>k 的情形．当0>k 时，4959627221+-+-=k k k x ，4959627222+---=k k k x ， 所以 21x x PB AP -==5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k =25929181k -+-． 由 ()049180)54(22≥+--=∆k k , 解得 952≥k ， 所以 51592918112-<-+-≤-k ，即 511-≤≤-PB AP ． 解法2:设直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得()045544922=+++kx x k（*） 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+.4945,4954221221k x x k k x x ， 令λ=21x x ，则，.20453242122+=++k k λλ在（*）中，由判别式,0≥∆可得 952≥k ，从而有 5362045324422≤+≤k k ， 所以 536214≤++≤λλ，解得 551≤≤λ． 结合10≤<λ得151≤≤λ． 综上，511-≤≤-PB AP ．点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等． 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法．演变6：已知函数()2472x f x x-=-，[]01x ∈，（Ⅰ）求()f x 的单调区间和值域； （Ⅱ）设1a ≥，函数()[]223201g x x a x a x =--∈，，，若对于任意[]101x ∈，，总存在[]001x ∈，，使得()()01g x f x =成立，求a 的取值范围点拨与提示：利用导数知识求解． 专题小结1．函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题．求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等．2．三角函数、数列、解析几何中的最值问题，往往将问题转化为函数问题，利用求函数最值的方法或基本不等式法求解．3．在数学应用性问题中有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数的最值．4．不等式恒成立问题常转化为求函数的最值问题．f(x)＞m 恒成立，即min )(x f ＞m ；f(x)<m 恒成立，即max )(x f <m ．5．参数范围问题内容涉及代数和几何的多个方面，钥解题的关键不等关系的建立，其途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等． 解决这一类问题，常用的思想方法有：函数思想、数形结合等．【临阵磨枪】一．选择题1．抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ）A43B75C85D 32．（05福建卷）设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（ ）A 22-B 335-C －3D 27-3．（06年江西）P 是双曲线22x y 1916－＝的右支上一点，M 、N 分别是圆（x ＋5）2＋y 2＝4和（x －5）2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ） A 6 B 7 C 8 D 94．（06年福建）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ） A (1,2] B (1,2) C [2,)+∞ D (2,)+∞ 5．当2π0<<x 时，函数x x x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）A 2B 32C 4D 346．（05天津卷）若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是（ ）A )1,41[B )1,43[C ),49(+∞D )49,1(7.（06年江西）若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（0，12）成立，则a 的取值范围是（ ） A 0 B –2 C -52D -3 8.(05年重庆)若x ，y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是（ ）A 3 B27 C 4 D29 二．填充题9.已知定点A 、B 且|AB|=4，动点P 满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是_______． 10.(05上海)若y x ,满足条件⎩⎨⎧≤≤+xy y x 23，则y x z 43+=的最大值是__________.11.（06年江西卷）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝CC 1，P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是___________12.对于满足40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，则x 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿．三．计算题 13．（06年全国卷I ）ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值． 14． (05年重庆卷) 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(． (1) 求双曲线C 的方程；(2) 若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅(其中O 为原点)，求k 的取值范围．15 (05天津)已知m R ∈，设P ：1x 和2x 是方程220x ax --=的两个实根，不等式21253m m x x --≥-对任意实数[1,1]a ∈-恒成立；Q ：函数324()()63f x x mx m x =++++在(,)-∞+∞上有极值．求使P 正确且Q 正确的m 的取值范围．16．（06年江西）如图，椭圆Q ：2222x y 1a b＋＝（a >b >0）的右焦点F （c ，0），过点F 的一动直线m 绕点F 转动，并且交椭圆于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点 （1） 求点P 的轨迹H 的方程 （2） 在Q 的方程中，令a 2＝1＋cos θ＋sin θ，b 2＝sin θC 11A（0<θ≤2π ），确定θ的值，使原点距椭圆的右准线l 最远，此时，设l 与x 轴交点为D ，当直线m 绕点F 转动到什么位置时，三角形ABD 的面积最大？参考答案1．A 提示：设抛物线上动点为P(x ,-x 2)，所以3453205|843|2=≥-+-=x x d ．2．C 提示：αα,则a+b=3sin(αϕ+),其中arctan2ϕ=,a b ∴+的最小值为－3．3．B 提示：设双曲线的两个焦点分别是F 1（－5，0）与F 2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M 、F 1三点共线以及P 与N 、F 2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝（|PF 1|－2）－（|PF 2|－1）＝10－1＝9．4．C 提示：依题意a b ≤3 ，结合222a c b -=，得2≥=ac e ． 5．C 提示：xxx x x x x x x x x x f cos sin 4sin cos cos sin 2sin 8cos 22sin sin 82cos 1)(222+=+=++= 4cos sin 4sin cos 2=⋅≥x x x x ，当且仅当x x x x cos sin 4sin cos =，即21tan =x 时，取“=”， ∵2π0<<x ，∴存在x 使21tan =x ，这时4)(max =x f ． 6．B 提示：记()3g x x ax =-，则()2'3g x x a =-，当1a >时，要使得()f x 是增数，则需有()'0g x ≥恒成立，所以213324a ⎛⎫≤-= ⎪⎝⎭．矛盾，排除C 、D ；当01a <<时，要使得()f x 是增数，则需有()'0g x ≤恒成立，所以213324a ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭，排除A ．本题答案选B7．C 提示：设f （x ）＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝a 2－．若a 2－≥12即a ≤－1时，则f （x ）在〔0，12〕上是减函数，应有f （12）≥0⇒－52≤x ≤－1；若a2－≤0即a ≥0时，则f （x ）在〔0，12〕上是增函数，应有f （0）＝1>0恒成立，故a ≥0；若0≤a 2－≤12即－1≤a ≤0，则应有f （a2－）＝222a a a 110424≥－＋＝－恒成立，故－1≤a ≤0． 综上，有－52≤a 故选C 8．C 提示：22)21()21(x y y x +++≥2(x+12y )(y+12x )≥当且仅当11221212x y y x x y y x ⎧+=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,得,选(C) 9．3.5 提示：点P 在以A,B 为焦点,2a=3的双曲线的右支上,∴|PA|的最小值为1.5+2=3.5． 10.11 提示：求y x z 43+=的最大值，即求y 轴上的截距最大值，由图可知，过点（1，2）时有最大值为11.11.提示：连A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展开与△A 1BC 1在同一个平面内，如图所示，连A 1C ，则A 1C 的长度就是所求的最小值．通过计算可得∠A 1C 1C ＝90︒又∠BC 1C ＝45︒,∴∠A 1C 1C ＝135︒ 由余弦定理可求得A 1C＝12.31x x ><-或 提示：将p 视为主元，设()()()2143f p p x x x =-+-+，则当40≤≤p 时，()f p >0恒成立．等价于：()()0040f f >⎧⎪⎨>⎪⎩．即2243010x x x ⎧-+>⎪⎨->⎪⎩,解得31x x ><-或．13．cos 2cos2B C A ++2sin 22sin 212sin 2cos 2cos 2cos 2A A A A A A +-=+=-+=π 记2sinA t =（0A π<<）则原问题等价于求122)(2++-=t t t f 在]1,0(上的最大值C 1CBA 1()221121222f t t ⎛⎫⎛⎫=--++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当41=t 时，即3π=A 时，f(t)取得最大值23． 14．解：（Ⅰ）设双曲线方程为22221x y a b-= ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l与双曲线交于不同的两点得2222130,)36(13)36(1)0.k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩即.13122<≠k k 且 ① 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则229,,22,1313A B A B A B A B x x x x OA OB x x y y k k-+==⋅>+>--由得而2((1)()2A B A B A B A B A B A B x x y y x x kx kx k x x x x +=+=+++22222937(1)2.131331k k k k k -+=++=--- 于是222237392,0,3131k k k k +-+>>--即解此不等式得.3312<<k ② 由①、②得.1312<<k 故k的取值范围为(1,-⋃15 解 (Ⅰ)由题设1x 和2x 是方程220x ax --=的两个实根，得1x +2x ＝a 且1x 2x ＝－2，所以，84)(||22122121+=-+=-a x x x x x x当a ∈[-1,1]时，28a +的最大值为9，即12||x x -≤3由题意，不等式212|53|||m m x x --≥-对任意实数a ∈[1,1]恒成立的m 的解集等于不等式2|53|3m m --≥的解集由此不等式得2533m m --≤-①，或2533m m --≥②不等式①的解为05m ≤≤，不等式②的解为1m ≤或m ≥ 因为，对1m ≤或05m ≤≤或6m ≥时，P 是正确的(Ⅱ)对函数6)34()(23++++=x m mx x x f 求导3423)('2+++=m mx x x f 令0)('=x f ，即034232=+++m mx x 此一元二次不等式的判别式 124)34(12422--=+-=∆m m m m 若∆＝0，则0)('=x f 有两个相等的实根0x ，且)('x f 的符号如下：x(－∞,0x )0x(0x ,+∞))('x f++因为，0()f x 不是函数()f x 的极值若∆>0，则0)('=x f 有两个不相等的实根1x 和2x (1x <2x )，且)('x f 的符号如下：x(－∞,1x )1x(1x ，2x )2x(2x ,+∞))('x f+－+因此，函数f (x )在x ＝1x 处取得极大值，在x ＝2x 处取得极小值综上所述，当且仅当∆>0时，函数f (x )在(－∞,+∞)上有极值由0161242>--=∆m m 得1m <或4m >， 因为，当1m <或4m >时，Q 是正确得综上，使P 正确且Q 正确时，实数m 的取值范围为(-∞,1)⋃),6[]5,4(+∞⋃16． 解：如图，（1）设椭圆Q ：2222x y 1a b＋＝（a >b >0）上的点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），又设P 点坐标为P （x ，y ），则2222221122222222b x a y a b 1b x a y a b 2⎧⎪⎨⎪⎩＋＝…………（）＋＝…………（）1︒ 当AB 不垂直x 轴时，x 1≠x 2， 由（1）－（2）得b 2（x 1－x 2）2x ＋a 2（y 1－y 2）2y ＝0212212y y b x yx x a y x c∴－＝－＝－－∴b 2x 2＋a 2y 2－b 2cx ＝0 (3)2︒ 当AB 垂直于x 轴时，点P 即为点F ，满足方程（3） 故所求点P 的轨迹方程为：b 2x 2＋a 2y 2－b 2cx ＝0（2）因为，椭圆 Q 右准线l 方程是x ＝2a c ，原点距l 的距离为2a c，由于c 2＝a 2－b 2，a 2＝1＋cos θ＋sin θ，b 2＝sin θ（0<θ≤2π）， 则2a c＋＋＝2sin （2θ＋4π）当θ＝2π时，上式达到最大值．此时a 2＝2，b 2＝1，c ＝1，D （2，0），|DF|＝1设椭圆Q ：22x y 12＋＝上的点 A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），三角形ABD 的面积S ＝12|y 1|＋12|y 2|＝12|y 1－y 2|设直线m 的方程为x ＝ky ＋1，代入22x y 12＋＝中，得（2＋k 2）y 2＋2ky －1＝0 由韦达定理得y 1＋y 2＝22k 2k －＋，y 1y 2＝212k －＋， 4S 2＝（y 1－y 2）2＝（y 1＋y 2）2－4 y 1y 2＝2228k 1k 2（＋）（＋）令t ＝k 2＋1≥1，得4S 2＝28t 8821t 14t 2t≤＝＝（＋）＋＋，当t ＝1，k ＝0时取等号． 因此，当直线m 绕点F 转到垂直x 轴位置时，三角形ABD 的面积最大．【挑战自我】已知()),(23R b a b ax x x f ∈++-=．（１）若函数)(x f y =图象上任意两个不同点的连线斜率小于1，求证：33<<-a ；（２）若[]1,0∈x ，函数)(x f y =上任一点切线斜率为k ，当1≤k 时，求a 的取值范围．解：（1）、设任意不同两点为()()222111,,,y x P y x P ，且21x x ≠，则()0111222122121223221312121<-+--+-∴<--++-∴<--ex x x x e x x x ex x ex x x x y y 3304340)]4()3(4[)2(,0423,02222222211<<-∴<-∴<-⨯-⨯-=∆∴<-++-<∆∴∈a e e e e ex x R x 恒成立即（2）、当[]()ax x x fk x 23,1,02'+-==∈时由题意：[]1,0,12312∈≤+-≤-x ax x ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤=≤≤≤+-=13)3(130123)1(2''aa f a a f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-=13123)1('a a f 或⎪⎩⎪⎨⎧<≤+-=03123)1('a a f 解得：当1≤k 时，31≤≤a【答案及点拨】演变题要有点拨，原创题有详解，一般题给答案 演变1：(1)由已知得A(k b -,0),B(0,b),则={k b ,b},于是kb=2,b=2． ∴k ＝1,b ＝2． (2)由f(x)> g(x),得x+2>x 2－x －6,即(x+2)(x －4)<0, 得－2<x<4,)(1)(x f x g +=252+--x x x =x+2+21+x －5由于x+2>0,则)(1)(x f x g ≥－3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=－1时成立∴)(1)(x f x g +的最小值是－3． 点评：（1）要熟悉在其函数的定义域内，常见模型函数求最值的常规方法．如1(0)y x x x=+≠型．（2）利用均值不等式求最值时，要注意：一正、二定、三相等，缺一不可．演变2：（I ） f ’(x )＝－3x 2＋6x ＋9．令f ‘(x )<0，解得x <－1或x >3， 所以函数f (x )的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．（II ）因为f (－2)＝8＋12－18＋a =2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以f (2)>f (－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x )>0，所以f (x )在[－1, 2]上单调递增，又由于f (x )在[－2，－1]上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a ＝20，解得 a ＝－2．故f (x )=－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f (x )在区间[－2，2]上的最小值为－7． 演变3：（Ⅰ）解：设S 为十字形的面积，则22x xy S -= ).24(cos cos sin 22πθπθθθ<<-=（Ⅱ）解法一：θθθ2cos cos sin 2-=S212cos 212sin --=θθ21)2sin(25--=ϕθ（其中.552arccos =ϕ） 当S ,22,1)2sin(时即πϕθϕθ=-=-最大．所以当S ,552arccos 214时+=πθ最大． S 的最大值为215-． 解法二： 因为,cos cos sin 22θθθ-=S所以θθθθcos sin 2sin 2cos 222+-='S .2sin 2cos 2θθ+= 令0='S ，即,02sin 2cos 2=+θθ可解得)2arctan(212-+=πθ 所以，当)2arctan(212-+=πθ时，S 最大，S 的最大值为215-．演变4：方案甲与方案乙的用水量分别为x 与z ，由题设有99.018.0=++x x ，解得x ＝19． 由c ＝0.95得方案乙初次用水量为3，第二次用水量y 满足方程：99.095.0=++ay ay ，解得y =4a ，故z =4a +3．即两种方案的用水量分另为19与4 a +3． 因为当1≤a ≤ 3时，x －z ＝4（4－a ）>0，即x >z ． 故方案乙的用水量较少．（II ）设初次与第二次清洗的用水量分别为x 与y ，类似（I ）得545(1)c x c -=-，(99100)y a c =-（*）于是545(1)c x y c -+=-+(99100)a c -1100(1)15(1)a c a c =+----当a 为定值时，1541)1(100)1(512--=---⨯-≥+a a a c a c y x当且仅当)1(100)1(51c a c -=-时等号成立，此时a c 51011+=（不合题意，舍去）或)99.0,8.0(51011∈-=ac ．将a c 51011-=代入（*）得1152->-=a a x ，a a y -=52．故ac 51011-=时用水量最少，此时第一次与第二次用水量分别为152-=a x 与a a y -=52，最少总用水量为154)(-+-=a a a T ．当1≤a ≤ 3时，0152)(/>-=aa T ，故T （a ）是增函数（也可用二次函数的单调性来判断），这说明随着a 的值的增加，最少总用水量增加．演变5：（Ⅰ）()()222422242x x x x a ag x f x --=-=-=-； （Ⅱ）设点()(),P x h x 是函数()y h x =上任一点，点()(),P x h x 关于1y =的对称点是()()',2P x h x -，由于函数()y h x =与函数()y g x =的图像关于直线1y =对称，所以，点'P 在函数()y g x =的图像上，也即：()()2h x g x -=．所以，()()242242x xa h x g x =-=-+； （Ⅲ）()()()1F x f x h x a =+()111241242x x a a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭解法一．注意到()F x 的表达式形同nmt t+，所以，可以考虑从11,414m n a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭即和的正负入手．（1）当114410a a ⎧->⎪⎨⎪-≤⎩，即104a <≤时，()F x 是R 上的增函数，此时()F x 无最小值，与题设矛盾；(2) 当1104410a a ⎧->⎪⎨⎪->⎩，即144a <<时，()F x22≥=．等号当且仅当()11124142x x a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即2x=时成立． 由2m >+144a <<，可得：()()4417144a a a a --⎧>⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解之得：122a <<．解法二．由()F x 2>+()11124142xx a a ⎛⎫-+-≥⎪⎝⎭．令2xt =，则命题可转化为：当0t>时，()2114104t a a ⎛⎫--+-≥⎪⎝⎭恒成立．考虑关于t 的二次函数()()211414t t a a ϕ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭． 因为1104a ->，函数()()211414t t a a ϕ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的对称轴0)411(27>-a ，所以，需且只需()110411744104a a a ⎧->⎪⎪⎨⎛⎫⎪∆=---< ⎪⎪⎝⎭⎩，解之得：122a <<．此时，014,044>->-a a a ，故21444)(+-+-=t a t a a x F 在aa a t --=4)14(4取得最小值()214442+-⋅-=a aam 满足条件． 演变6：解：对函数()f x 求导，得()()2241672x x f x x -+-=-，()()()221272x x x --=--令()0f x =，解得 11x =或27x =，当x 变化时，()f x ，、()f x 的变化情况如下表： 所以，当()01x ∈，时，()f x 的值域为[]43--， （Ⅱ）对函数()g x 求导，得 ()()223g x x a =-，因此1a ≥，当()01x ∈，时， ()()2310g x a -≤，因此当()01x ∈，时，()g x 为减函数，从而当[]01x ∈，时有()()()10g x g g ∈⎡⎤⎣⎦，又()21123g a a =--，()02g a =-，即当[]1x ∈0，时有()21232g x a a a ⎡⎤∈---⎣⎦，任给[]11x ∈0，，()[]143f x ∈--，，存在[]001x ∈，使得()()01g x f x =，则[]2123243a a a ⎡⎤---⊃--⎣⎦，，，即212341232a a a ⎧--≤-⎨-≥-⎩（）（）解1（）式得 1a ≥或53a ≤-解2（）式得 32a ≤又1a ≥，故a 的取值范围为312a ≤≤（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。