∴
b 1 a 1 a a 1 b 1
2
体验： b 2(a b) 2 分类性 ab (a b) 1
2
(a b) 2ab 2(a b) 2 20 ab (a b) 1
2
(6)如图,△ABC中,∠A=60°，点D、E、F分别在AB、 BC、CA边上，四边形ADEF为菱形，且AB、AC的长是 方程 x2 – 5x + 2 = 0 的两根.求菱形ADEF的面积. A 解：由题意,得 AB+AC=5 AB· AC=2 ∵四边形ADEF为菱形 DE BD ∴ DE∥AC AC AB a AB - a AB AC 2 得， a B AC AB AB AC 5
⑺ 若关于x的一元二次方程x2－3(m＋1)x＋m2－9m＋ 20=0有两个实数根，又已知a,b,c 分别是△ABC的∠A、 ∠B、∠C 的对边，∠C=90°且cosB= 3/5， b – a = 3， 问：[1] Rt△ABC的斜边c为何值？ [2]是否存在整数m，使上述一元二次方程的两个实数根的 平方和等于Rt △ABC的斜边c的平方？若存在，请求出满 足条件的m 值；若不存在，请说明理由.
3 5 ，b –
a =3，
问：[1] Rt△ABC的斜边c为何值？
[2]是否存在整数m，使上述一元二次方程的两个 实数根的平方和等于Rt △ABC的斜边c的平方？ 若存在，请求出满足条件的m 值；若不存在， 请说明理由.
第三类：综合类
有两个实数根，又已知a, b, c 分别是△ABC的∠A、
⑺ 若关于x的一元二次方程x2－3(m＋1)x＋m2－9m＋20=0
2-2×(m2-9m+20)=225 [3(m+1)] 解[2] ：
64 或m 4 整理得： 7m2 + 36m－256=0 ∴ m 7
∵ m为整数， ∴m=4
当 m = 4 时，△＞0， ∴m=4满足题目中的条件
即有这样的m存在.
体验：探索性
四.回顾与思考
一个定理 (表述根与系数关系)
二个核心
b 和为 a
c 积为 a
A 分类性 C 探索性
三个体验
B 整体性
① 韦达喜欢一般式
四个注意
② 韦达重视关系式 ③ 韦达要求△≥0 ④ 韦达可以逆着用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
说一说
⑷的推广：常见关系式
1 1 α β ① α β αβ
② ③
α β (α β ) 2αβ
2 2 2
转化为含有两根和与两根积的代数式
第二类：解答类
(5) 若实数 a，b 满足a2 - 8a + 5 = 0，b2 -8b + 5 = 0，
b 1 a 1 试求 的值 a 1 b 1
设x1, x2 是方程x2-3(m+1)x+m2-9m+20=0的两个实根，
则
x1+ x2 = 3(m+1) x1 x2 = m2-9m+20
① ②
∵ c=15
∴根据题意，x12 + x22 =15 2
即 (x1+ x2 )2 - 2x1x2 = 225
[3(m+1)]2-2×(m2-9m+20)=225
以x1, x2为两根的一元二次方程为x2-(x1+x2)x+x1x2=0
5 1 5 1 为两根的一元二次方程为 2 x 5x 1 0 , 2 2 ( yes ) 韦达可以逆着用
则 ⑷ 已知方程 x2－3x －1=0 两根为 ，
双值：
2
11 ( no
)
( ) 4 韦达重视关系式
即 S 菱形 3 2 3 2 a sin60 25 5 2
2 2
设菱形边长为a
a
60
D
a
F
a
E
a
C
体验：整体性
第三类：综合类
⑺ 若关于 x 的一元二次方程
x2－3(m＋1)x＋m2－9m＋20=0
有两个实数根，又已知a, b, c 分别是△ABC的∠A、 ∠B、∠C 的对边，∠C=90°且cosB=
∠B、∠C 的对边，∠C=90°且cosB=
问：[1] Rt△ABC的斜边c为何值？
3 ，b – 5
a =3，
解[1] ： ∵在Rt △ABC中， ∠C=90° ∴ cosB= a 3
c
5
∴可设a =3k，c =5k，则b =4k 又∵ b – a =3，
∴4k - 3k =3， 即：k=3，
c = 15
定理的由来
∵ x1 , x2为一元二次方程a x2+b x+c=0 的两根
b b 4ac x1 2a b b 2 4ac b b 2 4ac 2b b x1 x2 2a 2a a
(b) 2 (b 2 4ac) 4ac c x1 x2 2 2 4a 4a a
⑺ 若关于x的一元二次方程x2－3(m＋1)x＋m2－9m＋ 20=0有两个实数根，又已知a,b,c 分别是△ABC的∠A、 ∠B、∠C 的对边，∠C=90°且cosB= 3/5， b – a = 3， 问：[2]是否存在整数m，使上述一元二次方程的两个实数 根的平方和等于Rt △ABC的斜边c的平方？若存在，请求 出满足条件的m 值；若不存在，请说明理由. 解[2] ： 假设有满足条件的m 值存在
b 1 a 1 试求 的值 a 1 b 1 b 1 a 1 11 2 解：当 a = b 时 a 1 b 1
当a≠b时
∵ a2 - 8a + 5 = 0，b2 -8b + 5 = 0 ∴ a，b为方程 x2 – 8x + 5 = 0 的两根
则a + b = 8，a b = 5
b b 2 4ac x2 2a
简之，由来于“求根公式”
三. 定理的应用
第一类：巩固类（“yes” or
⑴ 方程 x2 －2x = 1 的两根为α ，β ，则
“no”1 )
韦达喜欢一般式
韦达要求△≥0

1
2 （
no ）
⑵ 关于x 的方程x2 － (m2－2m－3)x ＋m=0的两实根互为相反数， 则m = 3 或m = -1 ( no ) ⑶以
刘明同学是这样解的： 解：∵ a2 - 8a + 5 = 0，b2 -8b + 5 = 0， ∴a=b
b 1 a 1 则 11 2 a 1 b 1
你认为他做得是否完整？若不完整，应怎样改正？
(5) 若实数 a，b 满足a2 - 8a + 5 = 0，b2 -8b + 5 = 0，
1.他是十六世纪法 国著名的数学家；
2. 我们曾学过以他 的名字命名的定理；
3.这个定理研究的 是一元二次方程中 根与系数的关系.
韦 达
一.
定理的内容
c x1 x2 a
（⊿ ≥ 0 ）
二.
∴ ∴
b 那么 x1 x2 a
2
设一元二次方程a x2+b x+c=0(a≠0)两个根为x1 , x2，