高三年级第一次月考文科试题命题人：王伟徐军一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合，则( )A. B. C. D.2.下面有四个命题：p1：∃x∈R，sin x+cos x≥；p2：∀x∈R，tan x=；p3：∃x∈R，x2+x+1≤0；p4：∀x＞0，x+≥2．其中假命题的是（）A. p1，p4B. p2，p4C. p1，p3D. p2，p33.( )A. B. C. 1 D. 24.“”是“关于x的不等式有解”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知，则（）A. B. C. D.6.已知函数g（x）＝e x-e-x，f（x）＝xg（x），若，，c＝f（4），则a，b，c的大小关系为A. a＜b＜cB. c＜b＜aC. b＜a＜cD. b＜c＜a7.已知函数f（x）=ax3+4x2-6x+3在（2，3）上是减函数，则a的取值范围是（）A. B. C. D.8.定义运算＝ad－bc，若＝－，s inα＝，α，β∈(0，)，则β＝（）A. B. C. D. 9.已知函数，若关于x的方程恰有五个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A. B. C. D.10.曲线在x=1处的切线的倾斜角为，则=（）A. B. - C. D. -11.函数f(x)在定义域R内可导，若图像关于直线x=1对称，且当x∈(－∞，1)时，，设a＝f(0)，，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. b<c<a12.已知函数f(x)＝A sin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在y轴上的截距为，给出下列四个结论：①f(x)的最小正周期为π；②f(x)的最大值为2；③；④为奇函数．其中正确结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)＝m(2x+1)3-2e x，若曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线与直线4x+y-2＝0平行，则m＝_________．14.已知=—1，则sin2α+sinαcosα+2=______．15.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的面积是__________．16.已知函数f(x)(x R)满足f(1)=1,f(x)的导数21)(<'xf则不等式f()<+的解集为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，17—21题，每题12分，22题10分）16.已知函数．若，求曲线在点处的切线方程；若函数在上是减函数，求实数a 的取值范围；18.函数的部分图象如图所示，其中，，．1求函数解析式；2求时，函数的值域．19.已知函数，a∈R.（1）当a=8时，求的单调区间；（2）若在区间内单调递增，求a的取值范围.20.已知函数，x∈R．（1）求函数f(x )的最小正周期及单调递增区间；（2）若α为锐角且，β满足，求sin β的值．21.某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产（百套）的销售额（单位：万元）．（1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润．（注：利润销售额成本，其中成本设计费生产成本）22.以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆C的参数方程为，（α是参数），直线l的极坐标方程为．（1）求直线l的直角坐标方程与圆C的普通方程；（2）若直线l与x轴的交点为A，与y轴交点为B，点P在圆C上，求△PAB面积的最大值，及取得最大值时点P的直角坐标．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】此题以对数不等式的解法为平台，考查了补集的运算，是高考中常考的基本题型.求出集合A中对数不等式的解集，确定出集合A，根据全集为R，找出不属于集合A的部分，即可得到集合A的补集.【解答】解：由，得，解得，即，故，故选C .2.【答案】D【解析】解：因为sin x+cos x=sin（x+）≤，所以p1正确；由于tan x =对于x=kπ+没意义，则p2错；因为x2+x+1=（x+）2+≥，则p3错；由均值不等式得x+≥2，则p4正确，所以假命题的是p2，p3，故选：D．三角函数值有等于的情况，所以p1正确．由三角函数的定义域得p2错，由于x2+x+1恒正，所以p3错，由均值不等式得p4正确．本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数的定义域和值域，二次函数的最值及均值不等式的应用，难度不大，属于基础题．3.【答案】B4.【答案】A【解析】【分析】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于中档题.先求得有解时a的取值范围，再由充要条件定义可判断得答案.【解答】解：令f（x）=|2x+1|+|x-1|故可得f（x）的值域为,因为关于x 的不等式有解，故可得,又因为“a>3”是“”的充分不必要条件，故可得“a >3”是“关于x 的不等式有解”的充分不必要条件，故选A.5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查二倍角公式和诱导公式，属于基础题.先把平方，求得，又，即可求得.【解答】解：因为，两边平方得：,又.故选B.6.【答案】C【解析】【分析】本题考查导数法研究函数的单调性以及函数的单调性、奇偶性的应用，属于中档题.先得到为奇函数，且在上单调递增，所以为偶函数，进而通过导数得到在上递增，再通过函数的奇偶性和单调性即可得到答案.【解答】解：依题意，有g（-x）＝-g（x），则g（x）＝e x-e-x为奇函数，且在R上单调递增，所以f（x）为偶函数．当x＞0时，有g（x）＞g（0），任取x1＞x2＞0，则g（x1）＞g（x2）＞0，由不等式的性质可得x1g（x1）＞x2g（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）＞0，所以，函数f（x）在（0，＋∞）上递增，因此，，故选：C．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查学生会利用导函数的正负判断函数的单调区间，灵活运用二次函数的性质解决实际问题，是一道中档题．求出f（x）的导函数，由函数在R上是减函数，得到导函数恒小于0，结合二次函数的性质求解函数的最小值，推出结果即可．【解答】解：由f （x）=ax3+4x2-6x+3，得到=3ax2+8x-6，因为在（2，3）上是减函数，所以=3ax2+8x-6≤0在（2，3）上恒成立，所以a≤=2（）2-，∵x∈（2，3），∴∈，∴2（）2-＞，所以a ≤-，则a的取值范围是（-∞，-]．故选：B ．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查两角差的正弦函数公式，三角函数性质，同角三角函数关系式，属中档题.由两角差的正弦函数公式，三角函数性质，同角三角函数关系式求出，则由sinβ=sin[α-（α-β）]=sinα•cos（α-β）-cosα•sin（α-β）求出答案.【解答】解：由sinα＝，α∈(0，)，得，由条件可得，即<0，由α，β∈(0，)，所以，则，所以sinβ=sin[α-（α-β）]=sinα•cos（α-β）-cosα•sin（α-β）=，所以.故选B.9.【答案】B【解析】【分析】关于x的方程f（x）-m=0恰有五个不相等的实数解，则y=f（x）与y=m有五个不同的交点，数形结合可得答案．本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，数形结合思想，难度中档．【解答】解：作出函数的图象，如图所示，关于x的方程f（x）-m=0恰有五个不相等的实数解，则y=f（x）与y =m有五个不同的交点，∴0＜m＜4，故选：B ．10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了导数的几何意义、诱导公式以及二倍角公式，属于基础题.通过函数的导数求出切线的斜率，求出切线的倾斜角的正切值，结合诱导公式及二倍角公式即可得到答案. 【解答】解：∵f (x)=ln x−，∴=+，∵y=f(x)在x=1处的切线的倾斜角为α，∴tanα=3,0<α<，又sin2α+cos2α=1，解得sinα=,cosα=，∴.故选B.11.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性的判断与应用和函数周期性，考查计算能力，属于基础题．利用导数大于0可得函数f(x)在(－∞，1)上的单调性结合对称性，然后比较a、b、c的大小．【解答】解：因为当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x )＜0，所以f′(x)＞0，所以函数f(x)在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a＝f(0)＜f＝b，因为图像关于直线x=1对称，所以f(x)＝f(2－x)，所以c＝f(3)＝f(－1)，所以c＝f(－1)＜f(0)＝a，所以c＜a＜b.故选C.12.【答案】D【解析】【分析】本题考查函数y=A sin(ωx+φ)的图象与性质、三角函数的最值、函数的奇偶性、函数的周期性，考查数形结合思想，考查分析与计算能力，属于中档题.由图象得函数f(x )的最小正周期T =2(-)=，正确；由题已知，结合图象得f(x)=2(2x+)，即函数f(x )的最大值为2,正确；直接计算可得f ()=1，正确；化=-2sin2x为奇函数，正确，即可得到结论.【解答】解：由图象,得函数f(x)的最小正周期T =2(-)=,正确.==2,即f (x)=A(2x +),又f ()=A(2+)=A(+)=A,所以(+)=1,结合0<<,得=,即f(x)=A(2x +).又f (0)=A =,所以A=2,即f(x )=2(2x +),所以函数f(x)的最大值为2,正确.又f()=2(2+)=2=1,所以正确.又=为奇函数,所以正确.正确结论的个数是4个，故选D.13.【答案】【解析】【分析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力以及数形结合思想．先求导，代入切点横坐标可得切线斜率f′(0)＝6m-2=-4，即可得出m的值.【解答】解：依题意，f′(x)＝6m(2x+1)2-2e x，f′(0)＝6m-2，因为切线与直线4x+y-2＝0平行，所以6m-2＝-4，解得．故答案为.14.【答案】【解析】解：∵=-1，∴tanα=-tanα+1，即tanα=，则sin2α+sinαcosα+2=3sin2α+sinαcosα+2cos 2α====．故答案为：由已知的等式变形后求出tanα的值，然后利用同角三角函数间的基本关系把所求式子中的分母的“1”变形为sin2α+cos2α，然后再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，得到关于tanα的关系式，将tanα的值代入即可求出值．此题考查了三角函数的化简求值，是高考中常考的基本题型，灵活运用同角三角函数间的基本关系是解本题的关键．15.【答案】3 【解析】【分析】本题考查正余弦函数的二倍角公式，三角函数的性质，三角函数的最值，辅助角公式，属中档题.根据正余弦函数的二倍角公式，辅助角公式，题给条件化简得到f (x)，进而求出答案.【解答】解：，因为最小正周期为，所以，解得，则，又最大值为4，则，解得a=3，所以，所以.故答案为3.16.【答案】{x|x<-1或x>1}【解析】【分析】本题主要考查了导数的运算,以及利用导数研究函数单调性，解不等式，同时考查了运算求解的能力,解题的关键在于构造函数F(x)=f(x)-x,属于中档题.设F(x)=f(x)-x,由题意可知函数F (x )在R 上递减,然后根据f ()<+可得,f()-<f(1)-,最后根据单调性可求出x的范围.【解答】解:设F(x)=f(x)-x ,F '(x)=f '(x )-,f'(x)<,F'(x)=f'(x)-<0,即函数F (x )在R 上递减.f ()<+,f()-<f(1)-,F()<F(1),而函数F (x)在R上递减,>1,即不等式的解集为{x|x <-1或x>1}.17.【答案】解：当时，，所以，，又因为，故切点（1,2），斜率为2，故切线方程为，即,所以曲线在点处的切线方程为；因为函数在上是减函数，所以在上恒成立．令，即h (x)≤0在上恒成立，由二次函数性质，只需，解得，实数a 的取值范围为【解析】本题考查导数的运算和导数的几何意义，解决问题的关键是熟练掌握导数的运算和应用．当时，，求导数计算1处导数值可得直线斜率，可得切线方程；因为函数在上是减函数，可得在上恒成立，令，得，解关于a的不等式组可得a 的范围．18.【答案】解：（1）时，，，令，得，解得；令，得，解得，所以函数的递减区间为，递增区间为.（2）因为，且在区间内单调递增，所以在区间内恒成立，所以，即在区间内恒成立，令，，则，因为在区间内为增函数，所以时，，所以.【解析】本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了由函数在某个区间上的单调性，求参数的取值范围，属于中档题.（1）求导后，令，得递减区间，令，得递增区间；（2）将问题转化为在区间内恒成立，再分离变量可得在区间内恒成立，转化为，再根据二次函数求出最小值即可得到结果.19.【答案】解：（1）0＜x≤5时，利润y=P（x）-（2+x）=-0.4x2+4.2x-0.8-（2+x）=-0.4x2+3.2x-2.8．令y=-0.4x2+3.2x-2.8≥0得1≤x≤7，从而1≤x≤5，即x的最小值为1；（2）当0＜x≤5时，由（1）知y=-0.4x2+3.2x-2.8=-0.4（x-4）2+3.6，所以当x=4时，y max=3.6（万元）当x＞5时，利润y=P（x ）-（2+x）=14.7--（2+x）=9.7-（x-3+）因为x-3+≥2=6（当且仅当x-3=，即x=6时，取“=”），所以y max=3.7（万元)综上，当x=6时，y max=3.7（万元）．答：（1）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；（2）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7万元.【解析】本题主要考查函数的应用以及函数最值的求解问题，利用一元二次函数和基本不等式是解决最值问题常用的方法.（1）求出利润函数，结合一元二次不等式的解法进行求解即可；（2）分别按照分段函数的表达式，结合一元二次函数和基本不等式求出利润函数的最大值，进行比较即可.。