高一数学必修四期末测试
题及答案
Prepared on 22 November 2020
高一数学必修4综合试题
一 、选择题
1．0
sin 390
=( ) A ．
21 B ．2
1- C ．23 D ．23-
2．下列区间中，使函数sin y x =为增函数的是( )
A ．[0,]π
B ．3[,]22ππ
C ．[,]22
ππ
- D ．[,2]ππ
3．下列函数中，最小正周期为2
π
的是( )
A ．sin y x =
B ．sin cos y x x =
C ．tan 2
x
y = D ．cos 4y x =
４．已知(,3)a x =, (3,1)b =, 且a b ⊥, 则x 等于 ( ) A ．－1 B ．－9 C ．9 D ．1
５．已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α=( ) A ．21 B ．21- C ．89 D ．8
9
-
６．要得到2sin(2)3
y x π
=-的图像, 需要将函数sin 2y x =的图像( )
A ．向左平移23π个单位
B ．向右平移23π个单位
C ．向左平移3π个单位
D ．向右平移3
π
个单位
7．已知a ，b 满足：||3a =，||2b =，||4a b +=，则||a b -=( ) A
．3 B C ．3 D ．10
８．已知1(2,1)P -, 2(0,5)P 且点P 在12P P 的延长线上, 12||2||PP PP =, 则点P 的坐标为 ( ) A ．(2,7)-
B ．4
(
,3)3
C ．2(
,3)3
D ．(2,11)-
9．已知2tan()5α
β+=
, 1tan()44πβ-=, 则tan()4
π
α+的值为 ( ) A ．16 B ．2213 C ．322 D ．1318
10．函数)sin(ϕω+=x y 的部分图象如右图，则ϕ、ω
可以取的一组值是（ ）
A. ,2
4
π
π
ω
ϕ=
=
B. ,3
6
π
π
ωϕ=
=
C. ,44
ππ
ωϕ== D. 5,44ππωϕ==
第II 卷（非选择题, 共60分）
二、填空题（本大题共4小题，把答案填在题中横线上）
11．已知扇形的圆心角为0
120，半径为3，则扇形的面积是
12．已知ABCD 为平行四边形，A(-1,2)，B (0,0)，Ｃ(1,7)，则Ｄ点坐标为 13．函数
y =的定义域是 .
14. 给出下列五个命题：
①函数
2sin(2)3
y x π
=-的一条对称轴是512x π=
；②函数
tan y x =的图象关于点(
2
π
,0)对称； ③正弦函数在第一象限为增函数；④若12sin(2)sin(2)44
x x π
π
-
=-，则12x x k π-=，其中k Z ∈ 以上四个命题中正确的有 （填写正确命题前面的序号）
三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.(1)已知4
cos
5
，且为第三象限角，求sin 的值 (2)已知3tan =α，计算 α
αα
αsin 3cos 5cos 2sin 4+- 的值
16）已知α为第三象限角，
()3sin()cos()tan()
22tan()sin()
f ππ
ααπαααπαπ-+-=----． （１）化简
()f α２）若31
cos()25
πα-
=，求()f α的值 17.已知向量a , b 的夹角为60, 且||2a =, ||1b =, (1) 求 a b ; (2) 求 ||a b +.
18已知(1,2)a
=,)2,3(-=,当k 为何值时，(1) ka b +与3a b -垂直 (2) ka b +与3a b -平行平行时它
们是同向还是反向 19某港口的水深
y （米）是时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：
经过长期观测，
()y f t =可近似的看成是函数sin y A t b ω=+（1）根据以上数据，求出()y f t =的解析式
（2）若船舶航行时，水深至少要米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港 20已知(3sin ,cos )a
x m x =+，(cos ,cos )b x m x =-+, 且(
)f x a b
=
(1) 求函数
()f x 的解析式;
(2) 当,63x ππ⎡⎤
∈
-⎢⎥⎣⎦
时, ()f x 的最小值是－4 , 求此时函数()f x 的最大值, 并求出相应的x 的值. 数学必修4综合试题参考答案
一、ACDAD DDDCC
二、11.3π 12.(0,9) 13. [2,2]k k πππ+k Z ∈ 14. ①④
三、15.解：（1）∵2
2cos
sin 1αα+=，α
为第三象限角
∴ 3sin 5
α
===-
（2）显然cos0
α≠
∴
4sin2cos
4sin2cos4tan24325
cos
5cos3sin
5cos3sin53tan5337
cos
αα
ααα
α
αα
ααα
α
-
--⨯-
====
+
+++⨯
16.解：（1）()
3
sin()cos()tan() 22
tan()sin()
f
ππ
ααπαα
απαπ
-+-=
----
（2）∵
31
cos()
25
π
α-=∴
1
sin
5
α
-=从而
1
sin
5
α=-
又α为第三象限角
∴cosα==，即()
fα
的值为-
17.解： (1)
1
||||cos60211
2
a b a b
==⨯⨯=
(2) 22
||()
a b a b
+=+
所以||3
a b
+=
18.解：(1,2)(3,2)(3,22)
ka b k k k
+=+-=-+3(1,2)3(3,2)(10,4)
a b
-=--=-（1）()
ka b
+⊥(3)
a b
-，得
()
ka b
+(3)10(3)4(22)2380,19
a b k k k k
-=--+=-==
（2）()//
ka b
+(3)
a b
-，得
1
4(3)10(22),
3
k k k
--=+=-
此时
1041
(,)(10,4)
333
ka b
+=-=--，所以方向相反。

19.解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，
137
10
2
h
+
==，
137
3
2
A
-
==且相隔9小时达到一次最大值说明周期为9，因此
2
9
T
π
ω
==，
2
9
π
ω=，
故
2
()3sin10
9
f t t
π
=+(024)
t≤≤
（2）要想船舶安全，必须深度()11.5
f t≥，即
2
3sin1011.5
9
t
π
+≥
∴
21
sin
92
t
π
≥
25
22
696
k t k
πππ
ππ
+≤≤+解得：
315
99
44
k t k
+≤≤+k Z
∈
又024
t≤≤
当0
k=时，
33
3
44
t≤≤；当1
k=时，
33
912
44
t≤≤；当2
k=时，
33
1821
44
t≤≤
故船舶安全进港的时间段为(0:453:45)-，(9:4512:45)-，(18:4521:45)- 20.解: (1)
()(3sin ,cos )(cos ,cos )f x a b x m x x m x ==+-+，即
22()cos cos f x x x x m =+-
(2)
221cos 2()22x x f x m +=
+- 21
sin(2)62
x m π=++-
由,63x ππ⎡⎤∈
-⎢⎥⎣⎦, 52,666x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦, 1sin(2),162x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦
, 211
422
m ∴-
+-=-, 2m ∴=± max 11()1222
f x ∴=+-=-, 此时262x ππ+
=, 6x π
=.。