海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科) 答案2013.11一、选择题1、A2、C3、B4、C5、B6、B7、D8、C二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.210..211. a b c >> 12..2π3,π613..2λ>14. 4；6(31)n -三、解答题: 本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。

15.解：（Ⅰ）由60A = 和332ABC S ∆=可得133sin6022bc = , ---------------------------2分 所以6bc =， --------------------------------------3分又32,b c =所以2,3b c ==. ------------------------------------5分（Ⅱ）因为2,3b c ==,60A = ,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得 ------------------------------------7分2222367a =+-=，即7a =. ------------------------------------9分 由正弦定理sin sin a b A B=可得------------------------------------11分 72sin sin60B= ，------------------------------------12分 所以21sin 7B =.------------------------------------13分 16. 解：（I ）π()3cos4cos(4)2f x x x =-+------------------------------------2分 3cos4sin 4x x =+------------------------------------4分π2sin(4)3x =+------------------------------------6分()f x 最小正周期为πT 2=，------------------------------------8分 （II ）因为ππ64x -≤≤，所以ππ4π4333x -≤+≤-----------------------------------10分 所以3πsin(4)123x -≤+≤-----------------------------------12分 所以π32sin(4)23x -≤+≤， -----------------------------------13分 所以()f x 取值范围为[3,2]-. ------------------------------------14分 17.解：（I ）由已知11,1AH t PH t =-=+ -------------------------------------1分所以APH ∆的面积为1()(11)1,1112f t t t t =-+-<<. ---------------------4分 （II ）解法1. 111'()1(11)2221f t t t t =-++⨯-⨯+ 3(3)41t t -=+ -------------------------------------7分 由'()0f t =得3t =， -------------------------------------8分 函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况下表： t(1,3)- 3 (3,11) '()f t+ 0 - ()f t ↗ 极大值 ↘-----------------------------------12分所以当3t =时，函数()f t 取得最大值8. ------------------------------------13分解法2.由211()(11)1(11)(1),11122f t t t t t t =-+=-+-<< 设2()(11)(1),111g t t t t =-+-<<， -------------------------------------6分 则2'()2(11)(1)(11)(11)(1122)3(3)(11)g t t t t t t t t t =--++-=--++=--.-------7分 函数()g t 与'()g t 在定义域上的情况下表： t(1,3)- 3 (3,11) '()g t+ 0 - ()g t ↗ 极大值 ↘------------------------------------11分所以当3t =时，函数()g t 取得最大值， -----------------------------------12分所以当3t =时，函数()f t 取得最大值1(3)82g =.------------------------------------13分 18.解：（I ）由②可得2112a a ⋅=，3122a a ⋅= -------------------------------2分由①可得12a =. -------------------------------3分（II ）由②可得112n n a a +⋅=， ------------------------------6分所以数列{}n a 的通项公式2n n a =. ------------------------------7分（III ）由（II ）可得21(1)421n n n n b a +=+=++，易得1{4},{2}n n +分别为公比是4和2的等比数列，------------------------------8分 由等比数列求和公式可得124(14)4(12)1(416)214123n n n n n S n n ++--=++=-++--.--13分19.解：（I ）因为1a =，2()42ln f x x x x=-+, 所以2242'()(0)x x f x x x-+=>, ------------------------------1分 (1)3f =-，'(1)0f =, ------------------------------3分 所以切线方程为3y =-. ------------------------------4分(II ）222(1)22(1)()'()(0)x a x a x x a f x x x x-++--==>, ----------------------------5分 由'()0f x =得12,1x a x ==, ------------------------------6分 当01a <<时，在(0,)x a ∈或(1,)x ∈+∞时'()0f x >，在(,1)x a ∈时'()0f x <,所以()f x 的单调增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间是(,1)a ； ---------------7分 当1a =时，在(0,)x ∈+∞时'()0f x ≥，所以()f x 的单调增区间是(0,)+∞；-----8分 当1a >时，在(0,1)x ∈或(,)x a ∈+∞时'()0f x >，在(1,)x a ∈时'()0f x <.所以()f x 的单调增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调减区间是(1,)a . ---------------10分 (III ）由（II ）可知()f x 在区间[1,e]上只可能有极小值点，所以()f x 在区间[1,e]上的最大值在区间的端点处取到，-------------------------12分 即有(1)12(1)0f a =-+≤且2(e)e 2(1)e 20f a a =-++≤, 解得2e 2e 2e 2a -≥-. ---------------------14分 20.解：（I ）27,9,3；8,9,3；6,2,3. --------------------------------------3分（II ）若k a 被3除余1，则由已知可得11k k a a +=+,2312,(2)3k k k k a a a a ++=+=+； 若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a +=+,21(1)3k k a a +=+,31(1)13k k a a +≤++；若k a 被3除余0，则由已知可得113k k a a +=,3123k k a a +≤+； 所以3123k k a a +≤+， 所以312(2)(3)33k k k k k a a a a a +-≥-+=- 所以，对于数列{}n a 中的任意一项k a ，“若3k a >，则3k k a a +>”. 因为*k a ∈N ，所以31k k a a +-≥.所以数列{}n a 中必存在某一项3m a ≤（否则会与上述结论矛盾！）若3m a =,则121,2m m a a ++==；若2m a =,则123,1m m a a ++==,若1m a =,则122,3m m a a ++==, 由递推关系易得{1,2,3}A ⊆. ---------------------------------------8分 （III ）集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21.由已知递推关系可推得数列{}n a 满足：当{1,2,3}m a ∈时，总有3n n a a +=成立，其中,1,2,n m m m =++ .下面考虑当12014a a =≤时，数列{}n a 中大于3的各项：按逆序排列各项，构成的数列记为{}n b ，由（I ）可得16b =或9，由（II ）的证明过程可知数列{}n b 的项满足：3n n b b +>，且当n b 是3的倍数时，若使3n n b b +-最小，需使2112n n n b b b ++=-=-， 所以，满足3n n b b +-最小的数列{}n b 中，34b =或7，且33332k k b b +=-， 所以33(1)13(1)k k b b +-=-，所以数列3{1}k b -是首项为41-或71-的公比为3的等比数列， 所以131(41)3k k b --=-⨯或131(71)3k k b --=-⨯，即331k k b =+或3231k k b =⨯+， 因为67320143<<，所以，当2014a ≤时，k 的最大值是6，所以118a b =，所以集合A 重元素个数()Card A 的最大值为21.---------------13分。