2011年《应用数学基础》练习题1. 求下列函数的极限（1）2365lim 222+-+-→x x x x x ；（2）86lim 322--+→x x x x ；（3） 934lim 223-+-→x x x x 。
2.求下列极限（1）x x x x x 5212lim 22-++∞→；（2）1212lim 23+++∞→x x x x ；（3）121lim 2-+∞→x x x 。
3.设217lim2=--+∞→xbx ax x ，求常数b a ,。
4.求极限xx x 11lim-+→。
5.当∞→x 时，)(x f 与x1是等价无穷小量，则=∞→)(2lim x xf x 。
6.当0→x 时，x cos 1-与2x 是无穷小。
（高阶，低阶，同阶但不等价，等价）sinx（4） 11lim =⎪⎭⎫⎝⎛-∞→xx x ；（5）) 21lim =-∞→x x x ；（6）() 31lim 0=+→x x x ；（7） 31lim =⎪⎭⎫⎝⎛-∞→nn n 。
8.求下列各题的极限 （1）()2301lim +→+x x x ；（2）xx x x 32lim ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→；（3） 4222lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-xx x x9.求极限（1） ⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x xx 51sin 5sin lim 0； （2） x x x x sin 12lim 2-+∞→ 10.30tan sin limxxx x -→。
11. （1）设⎩⎨⎧≤>=0,0,s i n )(x e x x x f x ，求)(l i m 0x f x →；（2）设⎪⎩⎪⎨⎧≠==0,10,s i n )(x x x x x f ，求)(l i m 0x f x →。
12. 求函数的极限⎪⎭⎫⎝⎛---→311311lim x x x 。
13. 计算nn n x2sin2lim ∞→。
14.若)(lim πx f x →存在，且)(lim 2πsin )(πx f x xx f x →+-=，则)(lim π=→x f x 。
解 由于)(lim πx f x →存在，设A x f x =→)(lim π，则对)(lim 2πsin )(πx f x xx f x →+-=两边取极限，有⎪⎭⎫⎝⎛+-=→→A x x x f x x 2πsin lim )(lim ππ，A x x A x 2πsin limπ+-=→，有 1)sin(lim πsin limππ=---=--=→→ππx x x x A x x 。
15.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠=0,0,5sin )(2x a x x x xx f 在点0=x 处连续，则 =a16.设函数⎪⎪⎧=<=0,0,2sin )(x k x x xx f ，求常数k 的值，使函数)(x f 在0=x 处连续。
3-x （2）函数⎩⎨⎧≤>-=1,1,1)(x e x x x f x的间断点是 。
18.求1+=x e y 在)1,0(处的切线方程和法线方程。
19.已知物体的运动规律为253+=t s ，则该物体在1=t 时的速度 =v ，在1=t 时加速度 =a 。
20.（1）设函数)(x f y =在点1=x 处可导，且31)1()31(lim=∆-∆+→∆x f x f x ，则)1(='f 。
（2）已知函数)(x f y =在点0x 处可导，且41)()4(lim000=--→x f h x f h h ，则 )(0='x f 。
（3）设0)0(=f ，且2)0(='f ，则 )(lim=→xx f x 。
21.（1）设2ln 343++=x x y ，则 d d =xy。
（2）设x x x f e )(=，则)0(='f （3）设x x y ln =，求y '。
（4）设)11)(1()(2-+=x x x f ，则 )(='x f 。
（5）设11+=x y ，求y '。
22. 求下列函数的导数y '（1）21x y +=；（2）x y cos ln =；（3）2e x y =；（4）x y -=e ；（5）x y 2cos =； （6）)1tan(ln +=x y ；（7）xy -=11；（8）x y x ln e 2=. 23.设)(ln x f y =，其中)(x f 为可导函数，求y '。
24.（1）设)(x y y =由方程1333=+-y xy x 确定，求x y d d 及0d d =x xy 。
（2）求由方程y x xy +=e 所确定的隐函数)(x y y =的导数xy d 。
。
26.（1）设x x x f ln )(5=，求。
)1(=''f （2）设x xe x f 2)(=，求。
)(=''x f 27.（1）设⎩⎨⎧+==142t y t x ，求x y d d 。
（2）设⎩⎨⎧==t y t x 22sin 33，求x y d d 。
28.求下列函数的微分y d（1）)e 1ln(x y +=；（2）x y x cos e 3=；（3）设)(x y y =由方程0)cos(e =++xy yx 所确定；（4）设y x x y ln ln =确定)(x y y =，求y d 及2d e x y =。
29.求极限（1）30sin limx x x x -→；（2） x x x x x 20sin tan lim -→；（3） ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+→111lim 0x x e x 30.已知函数131232)(23+--=x x x x f ，求 （1）其单调区间和极值；（2）其凹凸区间和拐点。
31.下列结论正确的是（ ）A ．函数)(x f 的导数不存在的点，一定不是)(x f 的极值点B ．若0x 为函数)(x f 的驻点，则0x 必为)(x f 的极值点C ．若函数)(x f 在点0x 处有极值，且)(0x f '存在，则必有0)(0='x fD ．若函数)(x f 在点0x 处连续，则)(0x f '一定存在32.设函数)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如图所示，则下列 肯定正确的是（）A ．1-=x 是驻点，但不是极值点B ．1-=x 不是驻点C ．1-=x 为极小值点D ．1-=x 为极大值点 33.设函数x x x x f 42531)(23+-=，求)(x f 在]2,1[-上的最大值和最小值。
34. 在半径为R 的半圆内作一内接矩形，其中的一边在直径上，另外两个顶点在圆周上（如图所示），当矩形的长和宽各为多少时矩形面积最大？最大值是多少？35.曲线x x x y --=233的拐点坐标是 。
36.求下列不定积分 （1）⎰-x x x d )1(； （2）x x x d )1(122⎰+ ； （3）x x d 2sin 2⎰；（4）x xx d e 3⎰。
37.求下列不定积分(1)x xd e ⎰-；（2)x x x d 12⎰+；（3) x x x d e 2⎰；(4) x x x d 2532⎰+；（5)x x xd ln ⎰；(6) x x x d 1)(arctan 22⎰+；(7)x x x d e sin e ⎰； (8) x x x d cos sin 3⎰；（9） x x xd e 1⎰； (10)x xx d e 1e ⎰+；(11) x x x d e e 1⎰-+； (12) x x d e 11⎰+；（13） x x d 111⎰++。
38.已知)(x f 的一个原函数为x x ln ，则 )(=x f ； )(='x f 。
39.求不定积分（1） x x x d cos ⎰；（2） x x x d cos 2⎰；（3） x x x d ln 2⎰；（4） x x d arctan ⎰。
40.设)(x f 的一个原函数为x x ln 2，求（1）⎰x x xf d )(；(2)⎰'x x f x d )(;(3) ⎰''x x f x d )(。
41.设C x x x xf +=⎰arcsin d )(，求⎰x x f d )(1。
42.（1）设t t x F x⎰=2td cos )(，则 4π=⎪⎭⎫ ⎝⎛'F 。
（2）设x x t t f xsin d )( 0=⎰，则 )(=x f 。
（3）设 d e 22 0 ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰t x t ； d e 1 22='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-t x t ； d e 10 2='⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰x x 43.（1）求极限2 0 20d sin lim x t t t xx ⎰→；（2）求极限tt t t t x x x ⎰⎰→ 02 0 0d d sin lim ；（3）求极限3 00)1(d ln )1(lim 2--⎰→x t t t x x 。
2,则d )(2 2 ⎰-x f 45.求下列定积分 (1)⎰2e ed ln 1x x x ； (2) ⎰+8 1 3d 1x xx 。
46.求下列定积分 (1)⎰1d e x x x ； (2) ⎰1d cos x x x ；(3) ⎰210 d arcsin x x ；47.求下列定积分(1) 设⎩⎨⎧≤≤<≤=21,410,)(3x x x x x f ,求⎰2 0 d )(x x f ； (2) ⎰1 1d －x x 。
48.设连续函数)(x f 满足⎰-=12d )(3)(x x f xx x f ，求)(x f 的表达式。
49.(1)d 134=⎰∞+-x x 。
(2) d 113=⎰∞+x x 。
（3）设1d 1 02=+⎰∞+x x k，k 为常数，则 =k 。
50.（1）求由直线x y =及抛物线2x y =所围成的平面区域的面积。
（2）求由直线4+=x y 及抛物线221x y =所围成的平面区域的面积。
51.设函数)(x f 在],[b a 上连续，则曲线)(x f y =与直线a x =，b x =，0=y 所围成的封闭平面图形的面积等于（ ） A ．⎰=bax x f S d )( B ．⎰=bax x f S d )( C ．⎰=bax x f S d )(52.求由直线e ,0==x y 及曲线x y ln =所围成平面图形的面积及该平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周所得旋转体的体积。