鄂南高中华师一附中黄冈中学黄石二中荆州中学孝感高中襄阳四中襄阳五中2018届高三第一次联考数学试题(理)命题学校:荆州中学命题人:刘学勇审题人:朱代文审定学校:孝感高中审定人:幸芹一、选择题 (本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1.已知集合1 {,},(),3x M yy x x x R N y y x R⎧⎫==-∈==∈⎨⎬⎩⎭,则()A.M N=B.N M⊆C.RM C N=D.RC N M2. 复数(12)(2)z i i=++的共轭复数为()A.-5i B.5i C.15i+D.15i-3. 将函数()3sin(2)3f x xπ=-的图像向右平移(0)m m>个单位后得到的图像关于原点对称,则m的最小值是()A.6πB.3πC.23πD.56π4. 已知函数22()logf x x x=+,则不等式(1)(2)0f x f+-<的解集为()A.(,1)(3,)-∞-+∞B.(,3)(1,)-∞-+∞C.(3,1)(1,1)---D.(1,1)(1,3)-5. 已知命题:,p a b R∃∈,a b>且11a b>,命题:q x R∀∈,3sin cos2x x+<.下列命题是真命题的是()A.p q∧B.p q⌝∧C.p q∧⌝D.p q⌝∧⌝6. 将正方体(如图1)截去三个三棱锥后,得到如图2所示的几何体,侧视图的视线方向如图2所示,则该几何体的侧视图为()⊂≠7. 下列说法错误的是( )A .“函数()f x 的奇函数”是“(0)0f =”的充分不必要条件.B .已知A BC 、、不共线,若0PA PB PC ++=则P 是△ABC 的重心. C .命题“0x R ∃∈,0sin 1x ≥”的否定是:“x R ∀∈,sin 1x <”.D .命题“若3πα=,则1cos 2α=”的逆否命题是:“若1cos 2α≠,则3πα≠”. 8. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知103010,130S S ==,则40S =( )A .-510B .400C . 400或-510D .30或409. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶,算法至今仍是多项式求值比较先进的算法.已知20172016()2018201721f x xx x =++++,下列程序框图设计的是求0()f x 的值,在“ ”中应填的执行语句是( )A .n i =B .1n i =+C .n =2018i -D .n =2017i - 10. 已知34πθπ≤≤,且1cos 1cos 622θθ+-+=,则θ=( )A .101133ππ或B .37471212ππ或C .131544ππ或D . 192366ππ或 11. 已知△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边,(62)(62)0aBC bCA c AB +-++=,则△ABC 的形状为( )A. 锐角三角形 B . 直角三角形 C. 钝角三角形 D . 无法确定12. 我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分,我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误..命题的个数是( ) 1:P 对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一;2:P 如果一个函数是两个圆的太极函数,那么这两个圆为同心圆; 3:P 圆22(1)(1)4x y -+-=的一个太极函数为32()33f x x x x =-+; 4:P 圆的太极函数均是中心对称图形;5:P 奇函数都是太极函数; 6:P 偶函数不可能是太极函数.A. 2B. 3C.4D.5 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知平面向量(2,1),(2,).a b x ==且(2)()a b a b +⊥-,则x = . 14.曲线2y x =与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为 .15.已知等差数列{}n a 是递增数列,且1233a a a ++≤,7338a a -≤,则4a 的取值范围为 .16.()f x 是R 上可导的奇函数,()f x '是()f x 的导函数.已知0x >时()(),(1)f x f x f e '<=,不等式()22ln(10ln(1)x x f x x e +<++≤的解集为M ,则在M 上()sin6g x x =的零点的个数为 .三、解答题(本大题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
) 17.(12分)已知向量3sin(),3sin (),(sin ,cos ),()22a x x b x x f x a b ππ⎛⎫=--==⋅ ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的取值集合M ; (2)在△ABC 中,,,a b c 是角,,A B C 的对边若24C M π+∈且1c =,求△ABC 的周长的取值范围.18.(12分)已知数列{}n a 满足12211,4,44n n n a a a a a ++===-. (1)求证:1{2}n n a a +-是等比数列; (2)求{}n a 的通项公式. 19.(12分)四棱锥S ABCD -中,AD ∥BC ,,BC CD ⊥060SDA SDC ∠=∠=,AD DC =1122BC SD ==,E 为SD 的中点.(1)求证:平面AEC ⊥平面ABCD ; (2)求BC 与平面CDE 所成角的余弦值.20.(12分)已知某工厂每天固定成本是4万元,每生产一件产品成本增加100元,工厂每件产品的出厂价定为a 元时,生产x 件产品的销售收入是21()5004R x x x =-+(元),()P x 为每天生产x 件产品的平均利润(平均利润=总利润总产量).销售商从工厂每件a 元进货后又以每件b 元销售, ()b a c a λ=+-,其中c 为最高限价()a b c <<,λ为销售乐观系数,据市场调查,λ是由当b a -是c b -,c a -的比例中项时来确定.(1)每天生产量x 为多少时,平均利润()P x 取得最大值?并求()P x 的最大值; (2)求乐观系数λ的值;(3)若600c =,当厂家平均利润最大时,求a b 与的值.21.(12分)已知函数2()(2),1xf x x e ax bx x =-++=是()f x 的一个极值点. (1)若1x =是()f x 的唯一极值点,求实数a 的取值范围; (2)讨论()f x 的单调性;(3)若存在正数0x ,使得0()f x a <,求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答。
如果多做,则按所做第一个题目计分。
22.(10分)已知曲线1C 的极坐标方程为22cos sin θρθ=,2C的参数方程为22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). (1)将曲线1C 与2C 的方程化为直角坐标系下的普通方程; (2)若1C 与2C 相交于A B 、两点,求AB .23.(10分)已知()211f x x x =++-.(1)求()f x 在[]1,1-上的最大值m 及最小值n . (2),a b R ∈,设1am bn +=,求22a b +的最小值.鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中2018届高三第一次联考数学参考答案(理)一、选择题C A B C A ——D A B C D —— B C 二、填空题 13.12-14.4315.(]4,11- 16. 2 三、解答题17.(1)(cos )a x x =-,2()sin cos f x a b x x x =⋅=-1sin 2sin(2)22232x x x π=--=--()f x ∴的最大值为12-………………4分 此时22,32x k πππ-=+即512x k ππ=+k z ∈ 5,12M x x k k z ππ⎧⎫∴=+∈⎨⎬⎩⎭………………6分(2)24C M π+∈ 52412C k πππ∴+=+ 23C k ππ=+,(0,)C π∈ 3C π∴=………………7分1c =由2222cos c b a ab c =+-得222c a b ab =+-22223()()()3()44a b a b a b ab a b ++=+-≥+-= 2a b ∴+≤ ………………10分又1a b +> ………………11分故23a b c <++≤,即周长的范围为(]2,3∈. ………………12分 18.(1)由2144n n n a a a ++=-得21112242(2)n n n n n n a a a a a a ++++-=-=- 21212(2)2()0n n n a a a a -=-==-≠211222n n n na a a a +++-∴=-{}12n n a a +∴-是等比数列. ………………6分(2)由(1)可得112122(2)2n nn n a a a a -+-=-=111222n n n n a a ++∴-= 2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12,公差为12的等差数列22n n a n∴= 12n n a n -=⋅. ………………12分19.(1)E 为SD 的中点,01,602AD DC SD SDA SDC ==∠=∠=.ED EC AD DC ∴===设O 为AC 的中点,连接,EO DO 则EO AC ⊥//,AD BC BC CD ⊥ .AD BC ∴⊥又OD OA OC ==EOC EOD ∴∆≅∆ 从而EO OD ⊥AC ABCD = DO ⊂面ABCD 0AC DO =EO ∴⊥面ABCD EO ⊂面AEC ∴面EAC ⊥面ABCD ………………6分(2)设F 为CD 的中点,连接OF EF 、,则OF 平行且等于12AD AD ∥BC EF ∴∥BC不难得出CD ⊥面OEF (EO CD ⊥ FO CD ⊥) ∴面ECD ⊥面OEFOF 在面ECD 射影为EF ,EFO ∠的大小为BC 与面ECD 改成角的大小设AD a =,则2aOF =EF =os 3OF c EFO EF <== 即BC 与ECD改成角的余弦值为3.(亦可以建系完成) ………………12分20.依题意总利润=21500100400004x x x -+-- =21400400004x x -+- 21400400001400004()4004x x P x x x x-+-∴==--+200400200.≥-+= 此时1400004x x=400x =即,每天生产量为400件时,平均利润最大,最大值为200元 ………………6分 (2)由()b a c a λ=+-得b ac aλ-=- b a -是,c b c a --的比例中项2()()()b a c b c a ∴-=--两边除以2()b a -得()()1(1)c a b a c a c a c ab a b a b a b a------==----- 111(1)λλ∴=-⋅解得12λ=. ………………8分(3)厂家平均利润最大,4000040000100()100200400400a x P x x ∴=++=++=元 每件产品的毛利为b a -()1)b a c a λ∴-=-=-3)b ∴=元400a ∴=(元),3)b =元. ………………12分21.(1)()(1)2xf x x e ax b '=-++,1x =是极值点()0f x '∴= ,故20a b +=, 2b a =- ()(1)(2)x f x x e a '=-+1x =是唯一的极值点20x e a ∴+≥恒成立或20x e a +≤恒成立由20xe a +≥恒成立得2xa e ≥-,又0xe > 0a ∴≥由20xe a +≤恒成立得2xa e ≤-,而xe -不存在最小值, 20xe a ∴+≤不可能恒成立.0a ∴≥ ………………4分(2)由(1)知,当0a ≥时,1x < , ()0f x '< ; 1x > , ()0f x '>.()f x ∴在(,1)-∞递减,在(1,)+∞上递增.当02ea -<<时,ln(2)1a -< ln(2)x a <-,()0f x '>; ln(2)1a x -<< , ()0f x '<; 1x >, ()0f x '>. ()f x ∴在(,ln(2))a -∞-、(1,)+∞上递增,在(ln(2),1)a -上递减。