高三月考试卷（三）理科数学湖南师大附中高三数学备课组组稿命题人：李莉 苏萍 周正安 审题人：贺忠良 邓仁辉时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A ={y ∈R |y =lg x , x ＞1},B ={x |0＜|x |≤2, x ∈Z },则下列结论正确的是 （D ）A ．A ∩B ={-2，-1} B ．（C R A ）∪B =（-∞，0] C ．A ∪B =[0，+∞]D ．（C R A ）∩B ={-2，-1} 2．设a 是实数，且2i 1i 1+++a 是实数，则a = （B ） A ．21B ．1C ．23 D ．23．“ac =b 2”是“a ，b ，c 成等比数列”的 （B ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．3)141(-+xx 展开式中的常数项为 （A ） A ．25- B ．25C ．-1D ．15．已知0＜b ＜a ＜1，则下列不等式成立的是 （C ） A ．ab ＜b 2＜1 B ．21log b ＜21log a ＜0C ．2b ＜2a ＜2D ．a 2＜ab ＜16．若奇函数f (x )(x ∈R )满足f (2)=1，f (x +2)=f (x )+f (2)，则f (5)= （C ） A ．0 B ．1 C ．25 D ．5 7．焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （B ） A ．1241222=-y x B ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x8．在锐角三角形△ABC 中，tan A =t +1，tan B =t -1，则t 的取值范围是 （A ） A ．（2，+∞） B ．（1，+∞） C ．（1，2） D ．（-1，1）9．一个质地均匀且形状为正方体的骰子，它的六个面上的点数依次为1、2、3、4、5、6，连续掷此骰子3次，正面朝上的点数之和为10的不同抛掷结果有 （A ）A ．27种B ．30种C ．33种D ．36种 10．已知无穷等比数列{a n }的前n 项的积为T n ，且a 1＞1，a 2008a 2009＞1，（a 2008-1）(a 2009-1) ＜0，则这个数列中使T n ＞1成立的最大正整数n 的值等于 （C ）A ．2008B ．2009C ．4016D ．4017选择题答题卡11．已知函数f (x )=log sin1(x 2-6x +5)在（a ，+ ∞）上是减函数，则实数a 的取值范围为 [5，+∞） .12．四面体ABCD 中，共顶点A 的三条棱两两相互垂直，且其长分别为1、6、3，四面体的四个顶点在同一个球面上，则这个球的体积为 332π. 13．若动直线x =m 与函数f (x )=2cos(65π-x )、g (x )=4sin x 的图像分别交于点M 、N ，则|MN | 的最大值为 32 .14．已知A （x 1，y 1）是抛物线y 2=4x 上的一个动点，B （x 2，y 2）是椭圆13422=+y x 上的一个动点，N （1，0）是一定点.若AB ∥x 轴，且x 1＜x 2，则△NAB 的周长l 的取值范围是 )4,310(. 15．在平面上，OC 是平行四边形OACB 的对角线，设=a , =b , BH ⊥OC 于点H . （1）若|a |=|b |=1，∠AOB =60°，则|OC |= 3 ；（2）若∠AOB ＜90°，请你用a ，b 表示OH = )(||)(2b a b a bb a ++∙+.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，sin B +sin C =sin(A -C ). （1）求A 的大小；（2）若BC =3，求△ABC 的周长l 的最大值. 解：（1）将sin B +sin C =sin(A -C )变形得sin C (2cos A +1)=0, （2分） 而sin C ≠0，则cos A =21-，又A ∈（0，π），于是A =32π； （6分） （2）记B =θ，则C =3π-θ（0＜θ＜3π），由正弦定理得⎪⎩⎪⎨⎧-π==)3sin(32sin 32θAB θAC ， （8分） 则△ABC 的周长l =23[sin θ+sin(3π-θ)]+3=23sin(θ+3π)+3≤23+3， （10分） 当且仅当θ=6π时，周长l 取最大值23+3. （12分）某单位有三辆汽车参加某种事故保险，年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获9000元的赔偿（假设每辆车每年最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为91、101、111，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：（1）获赔的概率；（2）获赔金额ξ的分布列与期望.解：设A k 表示第k 辆车在一年内发生此种事故，k =1，2，3.由题意知A 1、A 2、A 3相互独立，且P （A 1）=91，P （A 2）=101，P （A 3）=111. （1）该单位一年内获赔的概率为 1-P (1A 2A 3A )=1-P (1A )P (2A )P (3A )=1-113111010998=⨯⨯. （5分） （2）ξ的所有可能值为0，9000，18000，27000. （6分） P (ξ=0)=P (1A 2A 3A )=P (1A )P (2A )P (3A )=118111010998=⨯⨯， （7分） P (ξ=9000)=P (A 12A 3A )+P (1A A 23A )+P (1A 2A A 3) =P (A 1)P (2A )P (3A )+P (1A )P (A 2)P (3A )+P (1A )P (2A )P (A 3) =451199024211110998111010198111010991==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯， （8分） P (ξ=18000)=P (A 1A 23A )+P (A 12A A 3)+P (1A A 2A 3) =P (A 1)P (A 2)P (3A )+P (A 1)P (2A )P (A 3)+P (1A )P (A 2)P (A 3) =1103990271111019811110991111010191==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯， （9分） P (ξ=27000)=P (A 1A 2A 3)=P (A 1)P (A 2)P (A 3)=990111110191=⨯⨯. （10分） 综上知，ξ（11分）由ξ的分布列得 E ξ=18.27181129900990127000110318000451190001180≈=⨯+⨯+⨯+⨯(元). （12分）如图，P —ABCD 是正四棱锥，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，其中AB =2，P A =6.（1）求证：P A ⊥B 1D 1；（2）求平面P AD 与平面BDD 1B 1所成的锐二面角θ的大小； （3）求B 1到平面P AD 的距离. 解：解法一：（1）连结AC ，交BD 于点O ，连结PO ， 则PO ⊥面ABCD ，又∵AC ⊥BD ，∴P A ⊥BD ，∵BD ∥B 1D 1，∴P A ⊥B 1D 1. （4分） （2）∵AO ⊥BD ，AO ⊥PO ， ∴AO ⊥面PBD ，过点O 作OM ⊥PD 于点M ，连结AM ， 则AM ⊥PD ，∴∠AMO 就是二面角A —PD —O 的平面角， （6分） 又∵AB =2，P A =6， ∴OD =2，PO =226=-， OM =32622=⨯=∙PD OD PO ， ∴tan ∠AMO =26322==OM AO ， 即二面角的大小为arctan26. （8分）（3）分别取AD ，BC 中点E ，F ，作平面PEF ，交底面于两点S ，S 1，交B 1C 1于点B 2，过点B 2作B 2B 3⊥PS 于点B 3，则B 2B 3⊥面P AD ，又B 1C 1∥AD ，∴B 2B 3的长就是点B 1到平面P AD 的距离. （10分） ∵PO =AA 1=2，∴EF =221=SS ，tan ∠PSS 1=224=，sin ∠PSS 1=52， ∴B 2B 3=B 2S sin ∠PSS 1=556523=⨯. （12分 ） 解法二：以A 1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴，A 1A 为z 轴建立空间直角坐标系， （1）设E 是BD 的中点，∵P —ABCD 是正四棱锥， ∴PE ⊥ABCD .又AB =2，P A =6，∴PE =2， ∴P （1，1，4），∴11D B =（-2，2，0），=（1，1，2） （2分）∴11D B ·AP =0，即P A ⊥B 1D 1。

（4分） （2）设平面P AD 的法向量m =（x ，y ，z ），∵AD =（0，2，0），AP =（1，1，2）， ∴y =0，x +2z =0取z =1得m =(-2，0，1)， 又平面BDD 1B 1的法向量是n =(-1，1，0)， （6分） ∴cos<m ，n >=510-=∙|n ||m |n m ， ∴θ=arccos510. （8分） （3）∵A B 1=（-2，0，2）， ∴B 1到平面P AD 的距离d =556||||1=∙m m B . （12分） 19．（本小题满分13分）某商场预计2009年从1月份起前x 个月，顾客对某种商品的需求总量p (x )（单位：件）与x 的关系近似地满足p (x )=21x (x +1)(39-2x )，(x ∈N *，且x ≤12).该商品第x 月的进货单价q (x )（单位：元）与x 的近似关系是q (x )=150+2x .(x ∈N *，且x ≤12)（1）写出今年第x 月的需求量f (x )件与x 的函数关系式；（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问商场2009年第几月份销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？解：（1）当x =1时，f (1)=p (1)=37； （2分） 当2≤x ≤12时，f (x )=p (x )-p (x -1)=21x (x +1)(39-2x )-21(x -1)x (41-2x )=-3x 2+40x (x ∈N *，且2≤x ≤12) （5分） 验证x =1符合要求，故f (x )=-3x 2+40x (x ∈N *，且1≤x ≤12) （6分） （2）该商场预计第x 月销售该商品的月利润为g (x )=(-3x 2+40x )(185-150-2x )=6x 3-185x 2+1400x (x ∈N *，且1≤x ≤12) （8分） g ′(x )=18x 2-370x +1400，令g ′(x )=0，解得x =5，x =9140(舍去). (10分) 当1≤x <5时，g ′(x )>0，当5<x ≤12时，g ′(x )<0， ∴当x =5时，g (x )max =g (5)=3125(元).综上，商场2009年第5月份的月利润最大，最大利润为3125元. （13分） 20．（本小题满分13分） 已知点P n （x n ，y n ）是函数y =221x 在第一象限内图像上的点，点P n （x n ，y n ）在x 轴上的射影为Q n （x n ，0），O 为坐标原点，点A （3，0），且Q nOQ n n 1=(n ∈N *).（1）求{x n }的通项公式； （2）令b n =273411+-+n x x n n ，求{b n }的前n 项和S n ；（3）在（2）的条件下，求证：对一切正整数n ≥2，有.nS y S y S y n n 85323322<+⋯++ 解：（1）∵A Q nOQ n n 1= ∴（x n ，0）=n1（3-x n ，0） （2分） 即x n =n1（3-x n ） x n =13+n （n ∈N *） （4分） （2）∵b n =,91275912734)23(9127341221++=+-++=+-+n n n n n n x x n n （6分）则S n =n n n 91)21(275)21(91222++⋯++++⋯++ =91·61n (n +1)(2n +1)+545n (n +1)+91n =27)64(2++n n n . （8分）（3）∵P （x n ，y n ）在y =221x 的图像上， ∴y n =1812122)n (x n+=， （9分）对2≤k ≤n 的整数k 有：23)64()1(23222≤+++=k k k k kS y k k ·23254)1(2342=++++k k k k k ·)211(43)2(1+-=+k k k k （12分） 所以.856543)21113121(43323322=∙<+-+-+≤+⋯++n n nS y S y S y n n （13分）21．（本小题满分13分）已知椭圆C ：2222b y a x +=1（a >b >0）过点P （2，1），离心率e =23，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点（A 、B 均异于P 点）且有PA ·PB =0.（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线l 过定点. 解：（1）由11422=+b a 及,a c e 23== （3分） 可得a 2=8，b 2=2，c 2=6. （5分）∴椭圆C 的方程为2822y x +=1. （6分）（2）证明：设l ：y =kx +m 与椭圆C 的方程联立，消去y ，得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2-8=0. （7分） 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 x 1+x 2=2418k km+-，x 1x 2=224184k m +-. （8分）PA ·PB =（x 1-2，y 1-1）·(x 2-2，y 2-1)=(x 1-2)(x 2-2)+(y 1-1)(y 2-1)=(x 1-2)(x 2-2)+(kx 1+m -1)(kx 2+m -1) =(1+k 2)x 1x 2+(km -k -2)(x 1+x 2)+4+(m -1)2=222413251612k m m km k +--++=041)12)(356(2=+-+++k m k m k （10分）∴（6k +5m +3）(2k +m -1)=0. 由6k +5m +3=0，可得l ：y =kx -536+k =k (x -56)-53， ∴l 过定点（56，-53）. （11分） 由2k +m -1=0. 可得l ：y =kx +1-2k =k (x -2)+1，∴l 过定点（2，1），这与A 、B 两点均异于P 点矛盾，故舍去. （12分） 若直线l 的斜率不存在，可设l 的方程为：x =x 1(x 1≠2)，并令A （x 1，y 1）、B （x 1，-y 1），由·=（x 1-2，y 1-1）·（x 1-2，-y 1-1）=0及422121x y -=可求得x 1=56，此时，直线l 也过定点（56，-53）.综上，直线l 过定点（56，-53）. （13分）。