第4章 半导体的导电性2.试计算本征Si 在室温时的电导率，设电子和空穴迁移率分别为1350cm 2/V s 和500 cm 2/V s 。

当掺入百万分之一的As 后，设杂质全部电离，试计算其电导率。

掺杂后的电导率比本征Si 的电导率增大了多少倍解：将室温下Si 的本征载流子密度1010/cm 3及题设电子和空穴的迁移率代入电导率公式()i i n p n q σμμ=+即得：101961.510 1.610(1350500) 4.4410 s/cm i σ--=⨯⨯⨯⨯+=⨯；已知室温硅的原子密度为51022/cm 3，掺入1ppm 的砷，则砷浓度22616351010510 cm D N --=⨯⨯=⨯在此等掺杂情况下可忽略少子对材料电导率的贡献，只考虑多子的贡献。

这时，电子密度n 0因杂质全部电离而等于N D ；电子迁移率考虑到电离杂质的散射而有所下降，查表4-14知n-Si 中电子迁移率在施主浓度为51016/cm 3时已下降为800 cm 2/Vs 。

于是得1619510 1.610800 6.4 s cm n nq σμ-==⨯⨯⨯⨯=/该掺杂硅与本征硅电导率之比866.4 1.44104.4410i σσ-==⨯⨯ 即百万分之一的砷杂质使硅的电导率增大了亿倍5. 500g 的Si 单晶中掺有10-5g 的B ，设杂质全部电离，求其电阻率。

（硅单晶的密度为2.33g/cm 3，B 原子量为）。

解：为求电阻率须先求杂质浓度。

设掺入Si 中的B 原子总数为Z ，则由1原子质量单位=10-24g 算得618244.510 2.51010.8 1.6610Z --⨯==⨯⨯⨯个 500克Si 单晶的体积为3500214.6 cm 2.33V ==，于是知B 的浓度 ∴1816-32.510 1.1610 cm 214.6A Z N V ⨯===⨯ 室温下硅中此等浓度的B 杂质应已完全电离，查表4-14知相应的空穴迁移率为400 cm 2/V s 。

故161911 1.35cm 1.1610 1.610400A p N q ρμ-===Ω⋅⨯⨯⨯⨯6. 设Si 中电子的迁移率为0.1 m 2/，电导有效质量m C =0.26m 0，加以强度为104V/m 的电场，试求平均自由时间和平均自由程。

解：由迁移率的定义式*nc cq m τμ=知平均自由时间 *c cn m qμτ⋅=代入相关数据，得3113190.269.1100.1 1.48101.610n s τ---⨯⨯⨯==⨯⨯ 平均自由程：134101.48100.110 1.4810 m n n d n c L v ττμε--==⋅=⨯⨯⨯=⨯8. 截面积为0.001cm 2的圆柱形纯Si 样品，长1mm ，接于10V 的电源上，室温下希望通过0.1A 的电流，问： ①样品的电阻须是多少 ②样品的电导率应是多少③应该掺入浓度为多少的施主解：⑴由欧姆定律知其电阻须是101000.1V R I ===Ω ⑵其电导率由关系1LR Sσ=⋅并代入数据得 13L 10 1 s cm 100110R S σ--===⋅⨯⨯/⑶由此知该样品的电阻率须是1cm 。

查图4-15可知相应的施主浓度大约为1015 cm -3。

若用本征硅的电子迁移率1350cm 2/V s 进行计算，则1530191 4.610 cm 1.6101350n n q σμ===⨯⨯⨯－ 计算结果偏低，这是由于没有考虑杂质散射对的影响。

按n 0=1015cm -3推算，其电子迁移率应为1180cm 2/Vs ，比本征硅的电子迁移率略低，与图4-14(a)相符。

因为硅中杂质浓度在51015cm -3左右时必已完全电离，因此为获得0.1A 电流，应在此纯硅样品中掺入浓度为1015cm -3的施主。

10. 试求本征Si 在473K 时的电阻率。

解：由图4-13查出T=473K 时本征硅中电子和空穴的迁移率分别是2440 cm /V s n μ=⋅，2140 cm /V s p μ=⋅在温度变化不大时可忽略禁带宽度随温度的变化，则任意温度下的本征载流子密度可用室温下的等效态密度N C (300)和N V (300)、禁带宽度E g (300)和室温kT=表示为3/23(300)300()(300)(300)()exp() cm 3000.026g i C V E T n T N N T⋅=－ 代入相关数据，得193/2133473 1.12300(473) 2.8 1.110()exp() =4.110 cm 30020.026473i n ⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯－ 该值与图3-7中T=200℃（473K ）所对应之值低大约一个数量级，这里有忽略禁带变窄的因素，也有其他因素（参见表3-2，计算值普遍比实测值低）。

将相关参数代入电阻率计算式，得473K 下的本征硅电阻率为131911282.3cm ()4.110 1.610(400140)i n p n q ρμμ-===Ω⋅+⨯⨯⨯⨯+注：若不考虑T=473K 时会出现光学波散射，可利用声学波散射的32T μ-∝规律计算T=473K 的载流子迁移率：3223001350()675 cm /V s 473n μ=⨯⋅，322300500()255 cm /V s 473n μ=⨯⋅将2930 cm V s n p μμ+=⋅/置换以上电阻率计算式中的2540 cm V s n p μμ+=⋅/，得163.9cm iρΩ⋅11. 截面积为10-3cm 2，掺有浓度为1013cm -3的P 型Si 样品，样品内部加有强度为103V/cm 的电场，求：①室温时样品的电导率及流过样品的电流密度和电流强度。

②400K 时样品的电导率及流过样品的电流密度和电流强度。

解：⑴该样品掺杂浓度较低，其室温迁移率可取高纯材料之值2500/p cm V s μ=⋅，其电导率1319410 1.610500810 s/cm p pq σμ--==⨯⨯⨯=⨯电流密度 432810100.8A/cm j E σ-==⨯⨯= 电流强度 340.810810I j S A --=⋅=⨯=⨯⑵ T=400K 时，由图3-7（旧版书，新版有误差）查得相应的本征载流子密度为81012/cm 3，接近于掺杂浓度，说明样品已进入向本征激发过渡的状态，参照式(3-60)，其空穴密度22261221313304104(810)10 1.4410 cm 22A i AN N N p -++⨯⨯===⨯电子密度 21221230130(810) 4.4410cm 1.4410i n n p -⨯===⨯⨯ 利用声学波散射的32Tμ-∝规律计算T=400K 的载流子迁移率:3223001350()877 cm /V s 400n μ=⨯⋅，322300500()325 cm /V s 400n μ=⨯⋅于是得400K 时的电导率191213300) 1.610(4.4410877 1.4410325) 1.3710/n p q n p s cm σμμ--==⨯⨯⨯+⨯⨯=⨯（＋相应的电流密度 3321.371010 1.37A /cm j E σ-==⨯⨯= 电流强度 31.3710A I j S -=⋅=⨯16. 分别计算掺有下列杂质的Si 在室温时的载流子浓度、迁移率和电导率：① 硼原子31015cm -3；② 硼原子1016cm -3，磷原子11016cm -3； ③ 磷原子1016cm -3，硼原子11016cm -3；④ 磷原子31015cm -3，镓原子11017cm -3，砷原子11017cm -3。

解：∵迁移率μ与杂质总浓度有关，而载流子密度由补偿之后的净杂质浓度决定，∴在同样掺杂情况下电导率与迁移率是不同掺杂浓度的函数。

⑴ 只含一种杂质且浓度不高，可认为室温下已全电离，即1530A N 310p cm -==⨯由图4-14查得p 0=31015cm -3时,空穴作为多数载流子的迁移率2480/p cm V s μ=⋅电导率 151910310 1.610480 2.310/p p q s cm σμ--==⨯⨯⨯⨯=⨯⑵ 因受主浓度高于施主，但补偿后净受主浓度不高，可视为全电离，即16161530 1.310 1.010310A D p N N cm -=-=⨯-⨯=⨯，而影响迁移率的电离杂质总浓度应为16161631.310 1.010 2.310i A D N N N cm -=+=⨯+⨯=⨯由图4-14查得这时的空穴迁移率因电离杂质总浓度增高而下降为2340/p cm V s μ=⋅因此，虽然载流子密度不变，而电导率下降为151910310 1.610340 1.6310/p p q s cm σμ--==⨯⨯⨯⨯=⨯⑶ 这时，施主浓度高于受主，补偿后净施主浓度不高，可视为全电离，即16161530 1.310 1.010310n cm -=⨯-⨯=⨯影响迁移率的电离杂质总浓度跟上题一样，即16161631.310 1.010 2.310i N cm -=⨯+⨯=⨯由图4-14查得这时的电子迁移率约为：2980/n cm V s μ=⋅相应的电导率 151910310 1.610980 4.710/n n q s cm σμ--==⨯⨯⨯⨯=⨯⑷ 镓浓度与砷浓度相等，完全补偿，净施主浓度即磷浓度，考虑杂质完全电离，则1530()310D n N P cm -==⨯但影响迁移率的电离杂质总浓度1517173310210 2.0310i N cm -=⨯+⨯=⨯由图4-14查得这时的电子迁移率因电离杂质浓度提高而下降为：2500/n cm V s μ=⋅ 相应的电导率 151910310 1.610500 2.410/n n q s cm σμ--==⨯⨯⨯⨯=⨯17.①证明当n≠p且电子浓度n =n i (p/n)1/2时，材料的电导率最小，并求min σ的表达式；②试求300K 时Ge 和Si 样品的最小电导率的数值，并和本征电导率相比较。

解：⑴∵()n p q n p σμμ=+，又2i n p n =∴2()i n p n q n n σμμ=+ 令0d dnσ=，得220i n p n n μμ+=∴pinn n μμ= 又32222332()20p i np i n d dn nn μμσμ==>故当p i n n n μμ=时，σ取极小值。

这时ni pp n μμ=∴1122min[()()]2p n i n p i n p n pn q n q μμσμμμμμμ=+=因为一般情况下n＞p，所以电导率最小的半导体一般是弱p 型。