§9 圆轴扭转的力学模型
一、扭转变形
杆件两端作用两个大小相等、 方向相反，且作用平面垂直于杆 件轴线的力偶，致使杆件的任意 两个横截面都发生绕轴线的相对 转动，这样的变形形式称为扭
转变形。
1、外力特点
杆件受到一对力偶矩的大小相等、旋向相反，作用平面与杆轴线垂直 的力偶作用。
2、变形特点：
纵向线发生倾斜，相邻横截面发生相对错动；横截面仍为平面，只是绕 轴线发生转动。
P m 9549 n
Nm
kW
r / min
三、扭矩和扭矩图
截面法： T m
T为圆轴扭转时截面上的内力--扭矩
扭矩正负的规定：按右手螺旋法则 扭矩图：表示扭矩沿轴线的变化 情况图。 ⊕
圆轴扭转时的内力及内力图
1、圆轴扭转时的内力----扭矩
以扭转变形为主的杆------------轴 扭转时的内力称为矩
B 477.5N· m Tn
C 955N· m
A
D
NA 1592N m n N M B M C 9550 B 477.5 N m n ND M D 9550 637N m n M A 9550
作扭矩图 637N· m
Tnmax=955N· m
扭矩与扭矩图
扭矩：T是横截面上的内力偶矩。 内力—由截面法求得。
M0
M0 T 内力偶 平衡
取左边部分
M0 假想切面 由平衡方程：
外力偶
T M0
M0
M0 T
取左边部分
M0 假想切面 由平衡方程：
外力偶 平衡
T 取右边部分
扭矩
M0
T M0 T
扭矩
T 和T 是同一截面上的内力，应当有 相同的大小和正负。 平衡
外力偶
扭矩的符号规定：
T
M0
正
M0 T
负
按右手螺旋 法则确定扭 矩的矢量方 向，扭矩矢 量的指向与 截面的外法 线方向一致 者为正，反 之为负。
32
画扭矩图：
AB段： 10kN m
T 10kN m
10kN m 10kN m
o A
T / kN m
10
B
20kN m
20
C
输入功率：N(kW)
m 转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟m 作功：
W 60N1000 60000N
W m m 2n 1 2nm
W W'
N m 9550 n
Nm
单位
二、功率、转速和外力偶矩之间的关系
工程中作用于传动轴上的外力偶矩往往不是直接给出的， 而是给出轴所传递的功率和轴的转速，它们间的换算关系如下
推断结论：

横截面上各点无轴向变形，故 横截面上没有正应力。 横截面绕轴线发生了旋转式的 相对错动，故横截面上有剪应 力存在。 各横截面半径不变，所以剪应 力方向与截面径向垂直。

受力特点：在杆件的两端作用有两个大小相等、方向相反、 且作用面垂直于杆件轴线的力偶。 变形特点：使杆件的任意两个截面都发生绕杆件轴线做相对 转动的变形。这种变形称为扭转。 扭转时杆件两个横截面相对转动 的角度称为扭转角--
630
例 如图，主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输 出功率分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速 n=300r/min。试画出传动轴的扭矩图。
M 解： 36 1146 N .m A 300 11 M B M C 9549 350 N .m 300 14 M D 9549 446 N .m 300 9549
2.18 A D
AD段
最大扭矩在AB段，且
T图
1.64 3.28
T 3280 N m
MB
B
MC
C
MA
A
MD
D
简捷画法：
M A 5460 N m M B M C 1640 N m M D 2180 N m
外力偶矩计算 扭转内力——扭矩与扭矩图
解：1．确定控制面
外加力偶处截面A、B、C、D均为控制面
315
2．截面法求各段扭矩
T1
315
315
T2 T3
486
M 0 T 315 0 T 315 M 0 T 315 315 0 T 630
x 1 1 x 2 2
T1 M B 350N.m
T2 (M B M C ) 700 N m
446
T3 M D 446
T
截面一侧

M
T (kN m)
350 700
从最外母线看，外力偶切线方向与 扭矩图从左到右突变方向相同。
[例]已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW， 从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭

以扭转为主的杆件通常称为轴。 截面形状为圆形的轴称为圆轴。 本章主要讨论圆轴扭转时的应力、变形、强度和刚度问题。
外力偶矩计算 扭转内力——扭矩与扭矩图
2、按输入功率和转速计算
电机每秒输入功： W P 1000(N.m)
外力偶每秒作功完成：
W m 2 n 60
m 60000
扭矩正负规定
右手四指与扭矩转向一致，
拇指指向截面外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
右手螺旋法则
扭矩及扭矩图
1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。
2 截面法求扭矩
mx 0 T m 0 T m
3 扭矩的符号规定：
m
m
m
T
x
“T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则。让
离开截面
外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
2.扭矩和扭矩图 用截面法研究横 截面上的内力
T = Me
外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩图


4、扭矩图
扭矩沿轴线各截面的分布情况用图形表示
例 已知A轮输入功率为50kW，B、C、D轮输出功率分别为15、 30、20kW，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。
P P 9549 [N m] 2 n n
其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。
如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 W= 0.7355 kW ），则
P[马力] m 7024 [N m] n[r / min]
外力偶矩的计算
力偶在单位时间内所作之功即功率P，等于力偶之矩M与相应角速度的乘积。
解：由功率－转速关 系计算外力偶矩
MB
B
MC
C
MA
A
MD
D
PA 400 M A 9.55 9.55 5.46kN m n 700 PB 120 M B M C 9.55 9.55 1.64kN m n 700 PD 160 M D 9.55 9.55 2.18kN m 35 n 700
M
x
0 T3 486 0 T3 486
3．建立T－x坐标系，画出扭矩图
486 T
315 （—） （+）
（kN.m）
建立T－x坐标系，其中x轴平行于圆轴 的轴线，T轴垂直于圆轴的轴线。将所求得 的各段的扭矩值，标在Tx－x坐标系中，得 x 到相应的点，过这些点作x轴的平行线，即 得到所需要的扭矩图。
2、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到 m m
m
Mn
M
X
0
Mn m 0
Mn m
3、扭矩正负号的规定
确定扭矩方向的右手法则：
4个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向。
扭矩正负号：
离开截面为正，指向截面为负。 指向截面
外力偶矩正负号的规定
和所有外力的规定一样， 与坐标轴同向为正，反向为负
矩图。
解：①计算外力偶矩
m2
m3
m1 n
m4
m1 9.55
P 500 1 9.55 n 300 A 15.9(kN m)
B
C
D
P2 150 m2 m3 9.55 9.55 4.78 (kN m) n 300 P4 200 m4 9.55 9.55 6.37 (kN m) n 300
20
C
x
5kN
向
5kN
T / kN m
+
3kN
10
C B 在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。 34
FN 图
-
5kN
A
例 某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功 率为PA=400KW，从动轮B、C和D的输出功率分别为 PB=PC=120KW，PD=160KW。试作轴的扭矩图。
x
Mn1
M
Mn2
X
0
mc
M n1 mA 0
0
计算扭矩： AB段 BC段 Mn1设为正的 Mn2设为正的
M
X
M n1 mA 76.4 Nm
M n2 114.6 Nm
外力偶矩计算 扭转内力——扭矩与扭矩图
二、扭矩T：当杆件受到外力偶作用发生扭转变形时，在杆 横截面上产生的内力，称为扭矩T，单位为KN.m或N.m 如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方向所 有横截面上的扭矩都是相同的，都等于作用在轴上的外力偶矩。