max
M max ymax M max IZ WZ
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
弯曲正应力强度条件
σmax
M
max
y max
Iz

M
max
WZ
σ
1.等截面梁弯矩最大的截面上 2.离中性轴最远处 3.变截面梁要综合考虑 M 与 I z 4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，两方面都要考虑
FS 90kN

M
-
x 90kN
I Z 5.832 10-5 m4 1 M EI
ql 2 / 8 67.5kN m
EI Z 200 109 5.832 10 -5 C MC 60 103 194.4m

x
目录
21
§5-3 横力弯曲时的正应力
第五章 弯曲应力
目录
第五章
弯曲应力
§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4 弯曲切应力 §5-6 提高弯曲强度的措施
目录
§5-1 纯弯曲
回顾与比较 内力 应力
FN A
T IP
M FS
目录
? ?
§5–1 引言
(Introduction)
4 103 8810-3 c,max 7.6410-6 46 .1106 Pa 46 .1MPa c
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2 .5kN.m
t ,max 27.2MPa t
c,max 46.1MPa c
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
52 z1 z
I z 7.6410 m
-6
4
yc 52mm
y
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
（3）作弯矩图
（4）B截面校核
2 .5kN.m
4kN.m
4 103 5210-3 t ,max 7.6410-6 27.2 106 Pa 27.2MPa t
q(x)
m h
m
m1 O
Fs z q1 y
B x
p n dx p1 n1 y
x
28
目录
关于切应力的分布作两点假设： 1、横截面上各点的切应力方向平行于剪力 ( // Fs ) 2、切应力沿截面宽度均匀分布
29
切应力互等定理：
知识点补充
在相互垂直 的两个平面上， 切应力必然成对 存在，且数值相 等；两者都垂直 于两个平面的交 线，方向则共同 指向或共同背离 这一交线。
2
E

1
Iz M
变形几何关系
物理关系 静力学关系
Ee
M EI Z 1
e
y
M E Iz
E
1
y

为梁弯曲变形后的曲率；此 公式为求弯曲变形关键公式

正应力公式
为曲率半径，
My IZ
10
例5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩 解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则：
t ,max t
c,max c
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m x
180
例题5-1
120
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
K
FBY
FS 90kN
y 解：1. 求支反力 FAy 90kN FBy 90kN
M C 90 1 - 60 1 0.5 60kN m
常见截面的 IZ 和 WZ
I Z y 2 dA
A
IZ Wz y max
圆截面
矩形截面
空心圆截面
空心矩形截面
IZ Wz
d
4
64
bh IZ 12
3
3
IZ
D
3
4
64
(1 - 4 )
b0 h0 bh 3 IZ 12 12
3
d
32
bh Wz 6
2
3 3 b h bh D 0 0 4 W ( ) /(h0 / 2) Wz (1 - ) z 12 12 32
m m
FS M
？
m
4
§5-1 纯弯曲
纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
目录
§5-2 纯弯曲时的正应力
一、变形几何关系
m a b n

a
b
m´ n´
a´
b´ m´
m x n
a´ b´
n´
平面假设：
横截面变形后保持为平 面，且仍然垂直于变形后的 梁轴线，只是绕截面内某一 轴线偏转了一个角度。
1.C 截面上K点正应力 2.C 截面上最大正应力 30 3.全梁上最大正应力 z 4.已知E=200GPa， C 截面的曲率半径ρ

M
-
ql 2 / 8 67.5kN m

bh3 0.12 0.183 IZ 5.832 10-5 m 4 12 12 90kN 180 60 103 ( - 30) 10 -3 M y 2 K C K IZ 5.832 10 -5
§5-2 纯弯曲时的正应力
设想梁是由无数 层纵向纤维组成 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长 中间一层纤维长度 不变－－中性层 中间层与横截面的 交线－－中性轴
中性轴
中性层
横截面对称轴
中性轴⊥横截面对称轴
目录
一、变形几何关系（ Deformation geometric relation ）
dx
ql 2 / 8 67.5kN m

x

104.17 106 Pa 104.17 MPa
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m x
180 120
4. C 截面曲率半径ρ
30
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
K
z y
C 截面弯矩
M C 60kN m
FBY
C 截面惯性矩
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲
弹性力学精确分析表明， 当跨度 l 与横截面高度 h 之 比 l / h > 5 （细长梁）时， 纯弯曲正应力公式对于横力 弯曲近似成立。材料力学不 加说明一般默认为细长梁。
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
横力弯曲正应力公式
My 公式适用范围 IZ
•细长梁的纯弯曲或横力弯曲 •横截面惯性积 IYZ =0 •弹性变形阶段 横力弯曲最大正应力
4kN.m
（5）C截面要不要校核？
2.5 103 8810-3 t ,max 7.6410-6 28.8 106 Pa 28.8MPa t
梁满足强度要求
目录
§5-4 弯曲切应力
分几种截面形状讨论弯曲切应力 一、矩形截面梁
b y A x n n1 dx P m m1

M
-
x 90kN
Cmax
M C ymax IZ 180 10 -3 2 5.832 10 -5
ql 2 / 8 67.5kN m

x
60 103

92.55 106 Pa 92.55MPa
目录
§5-3 横力弯曲时的正应力
q=60kN/m
180 120
x
FN1 * 1dA
A
* F
dFS’
A
B1 B FN2
N1
My1 M * dA y1dA * A I Iz A z M * Sz Iz M dM * FN 2 * 2dA Sz A Iz
A*为距中性轴为y的横线以外部分 的横截面面积
'
30
31
(2)分析方法(Analysis method) 讨论部分梁的平衡
m n
F1
F2 m
n
q(x)
m
M τ’ A m B n M+dM y
x
n dx
m’
z
m
y
dx
n x
B
z y A1 x
h
o
A1 B1 A
B1
A m’ B
FN1
m’ FN2
y
A
b m
n
dx
32
y
m
n
z
m’
x A1 z
bh I z y dA y bdy ; A -h / 2 12
2 h/2 2
3
y
例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：
I z y dA 2 y R - y dy
2 2 2 2 A -R
R
R
4
4

D
4
64
3. 全梁最大正应力
30
A
FAY
B
1m
C
l = 3m
x
K
最大弯矩
z y
M max 67.5kN m
截面惯性矩
I z 5.832 10-5 m 4
FBY
FS 90kN

M
-
max
x 90kN
M max ymax IZ 67.5 103 180 10 -3 2 5.832 10 -5