| 振幅2变化缓慢1 |
2
一个强弱变化所需的时间
t
一个拍
合振幅变化的频率即拍频
拍
|
2 1 2
|| 2
1
|
拍现象是一种很重要的物理现象。
▪手风琴的中音簧： 键盘式手风琴（Accordion)的两排中音簧的频率 大概相差6到8个赫兹，其作用就是产生“拍”频。 而俄罗斯的“巴扬”---纽扣式手风琴则是单簧片 的，因此没有拍频造成的颤音效果。
即 1- 2 << 1 or 2
x 2Acos 2 1 t cos 1 2 t
2 2
振幅随时间的变化非常缓慢
x
x1
振幅调制因子Amplitude modulation factor
x2
o
t
x x1 x2
x 2Acos 2 1 t cos 1 2 t
2 2
x x x1 x2 x1 x2 o
相互垂直的两个简谐振动。
四、两个互相垂直不同频率简谐振动的合成
如果两个相互垂直的振动的频率不相同，它们 的合运动比较复杂，而且轨迹是不稳定的。下面只 讨论简单的情形。
两振动的频率只有很小的差异
则可以近似地看做同频率的合成，不过相差在缓 慢地变化，因此合成运动轨迹将要不断地按上图 所示的次序，在图示的矩形范围内自直线变成椭 圆再变成直线等等。
同方向同频率两个简谐振动的合成仍为简谐振动。
讨论两个特例
x
(1)两个振动同相
20 10 2k , k 0,1,2,...
合成振动
由 A A12 A22 2A1 A2 cos(20 10 ) o
T 2
T
3T 2
2T
t
A A12 A22 2A1 A2 A1 A2
(2)两个振动反相
x
合成振动
T
3T
2
2
o
T
2
t
T
上述结果说明两个振动的相位差对合振动起着 重要作用。
例: 两个沿同一直线且具有相同振幅和周期的谐振动
合成后，产生一个具有相同振幅的谐振动，求原来两
个振动的相位差。
解：
A A1 A2
A2
A
A1 A2 A
O
2
1
2
3
A1
例: N个同方向，同频率的谐振动，若它们相位依次
为， 2，…,试求它们的合振幅;并证明当N=2k
时的合振幅为零。
解：合振幅A
A 2R sin N
2
由OPa可看出
sin N
A0
2R sin 2
P /2
R
N
A合
Q
A A0
2
sin
请大家自行练习！
2
分析：
O
a A0 B
b C
X
当N=2k 时的合振幅为零。 请记住这个结论！
当=2k 时的合振幅为最大。 做笔记！
差频
x2 A cos 2t 和频
x
x1 x2
2 A cos 2 1
2
t
cos 1 2 t 2
位 移
x
合振动 分振动1
振幅周期性变化
分振动2
2 21
o
T
T
3T
2
2
2
T
t
为一复杂振动
着重研究1
,
相近情况
2
——拍现象（Beat)
即 1- 2 << 1 or 2
着重研究1
,
相近情况
2
——拍现象（Beat)
A1 A2 轨迹为圆
x
提问：若y方 向振动落后x y 方向，则结 果如何？
右旋！
画合运动的轨迹：可在x、y方向分别选一旋转矢量如图。把小 点按顺序用曲线联起来，即可得所求合运运动的轨迹。
两个互相垂直不同振幅同频率简谐振动的合成20 10 04 Nhomakorabea3
2
4
2 A2
2 A1
5
3
7
2
9
4
2
4
4
与合成相反：一个圆运动或椭圆运动可分解为
如果两振动的频率相差较 大，但有简单的整数比
则合成运动又具有稳定的 封闭的运动轨迹。这种图 称为李萨如图。
如果已知一个振动的周期，就 可以根据李萨如图形求出另一 个振动的周期，这是一种比较 方便也是比较常用的测定频率 的方法。
五、谐振分析和频谱 （自学）
在自然界和工程技术中，我们所遇到的振 动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处理 这类问题，往往把复杂振动看成由一系列不同 频率的间谐振动组合而成，也就是把复杂振动 分解为一系列不同频率的间谐振动，这样分解 在数学上的依据是傅立叶级数和傅立叶积分的 理论，因此这种方法称为傅立叶分析。
A
x2 A2 cos(t 20 ) x x1 x2
x Acos(t 0 )
A2
A1
A2
A A12 A22 2 A1 A2 cos(20 10 )
tg0
A1 sin10 A2 sin20 A1 cos10 A2 cos20
2010
x20
0
x10
AM
A1
x0
t o .P x
x
20 10 (2k 1) , k o,1,2,... x1
x2
由A A12 A22 2A1 A2 cos(20 10 )
合成振动
T
3T
o
2
2 T
A A12 A22 2A1 A2 A1 A2
2T t
如果 A1 A2 则 A=0
一般情况 为其他任意值，则：
A1 A2 A ( A1 A2 )
本讲主要内容： 一、同方向同频率两个简谐振动的合成
二、同方向不同频率两个简谐振动的合成
三、两个互相垂直同频率简谐振动的合成
四、两个互相垂直不同频率简谐振动的合成
五、谐振分析和频谱 研究方法： 采用振动描述的三种方法来分析简谐 振动的合成。
一、同方向同频率两个简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 10 )
▪利用拍频测速 从运动物体反射回来的波的频率由于多普勒效
应要发生微小的变化，通过测量反射波与入射波 所形成的拍频，可以算出物体的运动速度。这种 方法广泛应用于对卫星、各种交通工具的雷达测 速装置中。
三、两个互相垂直同频率简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 10 )
y2 A2 cos(t 20 )
消去 t 得到轨道方程 （椭圆方程）
x2 A12
y2 A2 2
2
xy A1 A2
cos(20
10 ) sin2 (20
10 )
20 10 0
20 10
x A1 y A2
2 A2
仍为谐振动， 但是振动方向 改变了！
y
x A1
y
A2
2 A1
x 质点的轨迹曲线
20
10
2
x2 y2 A12 A22 1
二.同方向不同频率两个简谐振动的合成
同方向同频率两个简谐振动的合成 ------仍为简谐振动
r 2
A2
r A
r 1
A1
若1= 2 ,则 不变； 若1 2 ,则 变； x
同方向不同频率两个简谐振动的合成 ------为一复杂运动
设两振动振幅相同，并以它们的初相位都为零时为
计时起点 x1 A cos 1t