绝对值的性质及化简【绝对值的几何意义】一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . （距离具有非负性）【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：① 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| |”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.【求字母a 的绝对值】 ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：|a|≥0如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =【绝对值的其它重要性质】（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a ab b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）||a|-|b|| ≤ |a ±b| ≤ |a|+|b|a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离．【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。

【绝对值不等式】（1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；（2）证明绝对值不等式主要有两种方法：A ）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、讨论法、平方法；B ）利用不等式：|a|-|b|≦|a+b|≦|a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。

【绝对值必考题型】例1：已知|x －2|＋|y －3|＝0，求x+y 的值。

【例题精讲】（一）绝对值的非负性问题1. 非负性：若有几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0.2. 绝对值的非负性；若0a b c ++=，则必有0a =，0b =，0c =【例题】若3150x y z +++++=，则x y z --= 。

总结：若干非负数之和为0， 。

【巩固】若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋【巩固】先化简，再求值：ab b a ab ab b a 2)23(223222+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---．其中a 、b 满足0)42(132=-+++a b a .（二）绝对值的性质【例1】若a ＜0，则4a+7|a|等于（ ）A ．11aB ．-11aC ．-3aD ．3a【例2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ）A ．1，0B ．正数C ．非正数D ．非负数【例3】已知|x|=5，|y|=2，且xy ＞0，则x-y 的值等于（ ）A ．7或-7B ．7或3C ．3或-3D ．-7或-3【例4】若1-=x x，则x 是（ ）A ．正数B ．负数C ．非负数D ．非正数【例5】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ）A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞aB ．1+a ＞a ＞1-b ＞-bC ．1+a ＞1-b ＞a ＞-bD ．1-b ＞1+a ＞-b ＞a【例6】已知a ．b 互为相反数，且|a-b|=6，则|b-1|的值为（ ）A ．2B ．2或3C ．4D ．2或4【例7】a ＜0，ab ＜0，计算|b-a+1|-|a-b-5|，结果为（ ）A ．6B ．-4C ．-2a+2b+6D ．2a-2b-6【例8】若|x+y|=y-x ，则有（ ）A ．y ＞0，x ＜0B ．y ＜0，x ＞0C ．y ＜0，x ＜0D ．x=0，y≥0或y=0，x≤0【例9】已知：x ＜0＜z ，xy ＞0，且|y|＞|z|＞|x|，那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号【例10】给出下面说法：（1）互为相反数的两数的绝对值相等；（2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；（3）若|m|＞m ，则m ＜0；（4）若|a|＞|b|，则a ＞b ，其中正确的有（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（2）（4）C ．（1）（3）（4）D ．（2）（3）（4）【例12】若x ＜-2，则|1-|1+x||=______若|a|=-a ，则|a-1|-|a-2|= ________【例15】已知数,,a b c则下列各式：①()0b a c ++->；②0)(>+--c b a ；③1=++cc b b a a ；④0>-a bc ； ⑤b c a b c b a 2-=-++--．其中正确的有 ．（请填写番号）【巩固】已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abc+++的值c a 0b（三）绝对值相关化简问题（零点分段法）零点分段法的一般步骤：找零点→分区间→定符号→去绝对值符号．【例题】阅读下列材料并解决相关问题： 我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点 值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况：⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥（1）求出2x +和4x -的零点值 （2）化简代数式24x x ++-解：（1）|x+2|和|x-4|的零点值分别为x=-2和x=4．（2）当x ＜-2时，|x+2|+|x-4|=-2x+2；当-2≤x ＜4时，|x+2|+|x-4|=6；当x ≥4时，|x+2|+|x-4|=2x-2．【巩固】化简1. 12x x +++2. 12m m m +-+-的值3. 523x x ++-．4. (1)12-x ；变式5.已知23++-x x 的最小值是a ，23+--x x 的最大值为b ，求b a +的值。

（四）b a -表示数轴上表示数a 、数b 的两点间的距离．【例题】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.并回答下列各题：(1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： .(2) 若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 .(3) 结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 .(4) 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 .(5) 若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数，试求x 的取值范围．（五）、绝对值的最值问题例题1: 1）当x 取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？2) 当x 取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？3) 当x 取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？4）当x 取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？例题2：1）当x 取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？2)当x 取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？3)当x 取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？4）当x 取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？若想很好的解决以上2个例题，我们需要知道如下知识点：、1）非负数：0和正数，有最小值是02）非正数：0和负数，有最大值是03）任意有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，则-|a|≤04）x 是任意有理数，m 是常数，则|x+m|≥0，有最小值是0，-|x+m|≤0有最大值是0（可以理解为x 是任意有理数，则x+a 依然是任意有理数，如|x+3|≥0，-|x+3|≤0或者|x-1|≥0，-|x-1|≤0）5）x 是任意有理数，m 和n 是常数，则|x+m|+n≥n，有最小值是n-|x+m|+n≤n，有最大值是n(可以理解为|x+m|+n 是由|x+m|的值向右(n>0)或者向左（n<0)平移了|n|个单位，为如|x-1|≥0，则|x-1|+3≥3，相当于|x-1|的值例题1：1 ) 当x 取何值时，|x-1|有最小值，这个最小值是多少？2 ) 当x 取何值时，|x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？3 ) 当x 取何值时，|x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？4） 当x 取何值时，-3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？解： 1）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|有最小值是02）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|+3有最小值是33）当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-34）此题可以将-3+|x-1|变形为|x-1|-3，即当x-1=0时，即x=1时，|x-1|-3有最小值是-3例题2：1）当x取何值时，-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？2 ) 当x取何值时，-|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？3 ) 当x取何值时，-|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少？4）当x取何值时，3-|x-1|有最大值，这个最大值是多少？思考：若x是任意有理数，a和b是常数，则1）|x+a|有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？2）|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？3) -|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？例题3：求|x+1|+|x-2|的最小值，并求出此时x的取值范围例题4：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？例题4：求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值归档总结：若含有奇数个绝对值，处于中间的零点值可以使代数式取最小值若含有偶数个绝对值，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值例题5：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？【例题6】|x-1|的最小值|x-1|+|x-2|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|的最小值【例题7】（1）已知|x|=3，求x的值（2）已知|x|≤3，求x的取值范围（3）已知|x|＜3，求x的取值范围（4）已知|x|≥3，求x的取值范围（5）已知|x|＞3，求x的取值范围【例题8】（1）已知|x|≤3，则满足条件的所有x的整数值是多少？且所有整数的和是多少？（2）已知|x|＜3，则满足条件的x的所有整数值是多少？且所有整数的和是多少？【乘方最值问题】（1）当a取何值时，代数式（a-3)²有最小值，最小值是多少？（2）当a取何值时，代数式 (a-3)²+4有最小值，最小值是多少？（3）当a取何值时，代数式(a-3)²-4有最小值，最小值是多少？（4）当a取何值时，代数式-（a-3)²有最大值，最大值是多少？（5）当a取何值时，代数式- (a-3)²+4有最大值，最大值是多少？（6）当a取何值时，代数式-(a-3)²-4有最大值，最大值是多少？（7）当a取何值时，代数式4- (a-3)²有最大值，最大值是多少？【探究1】某公共汽车运营线路AB 段上有A 、D 、C 、B 四个汽车站，如图现在要在AB 段上修建一个加油站M ，为了使加油站选址合理，要求A 、B 、C 、D 四个汽车站到加油站M 的路程总和最小，试分析加油站M 在何处选址最好？【探究2】如果某公共汽车运营线路上有A1，A2，A3 A4，A5五个汽车站（从左到右依次排列），上述问题中加油站M 建在何处最好？【探究3】如果某公共汽车运营线路上有A1，A2，A3，…，An 共n 个汽车站（从左到右依次排列），上述问题中加油站M 建在何处最好？【探究4】根据以上结论，求|x-1|+|x-2|+.....+|x-616|+|x-617| 的最小值。