σ 30 100 50 2 100 50 2
sy
n
例1 已知 sx= –100MPa、sy =50MPa 、tx = – 60MPa，a = –30º
cos[2 ( 30)] ( 60)sin[2 ( 30)]
114.5MPa
τ 30
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τ T WP
此时不适用基本变形下的强度条件，应同时考虑s 、t 的影响。 又如：受内压容器筒壁
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sy
A 筒壁某点A处应力： sx 、sy，为双向受拉状态。 又如：火车车轮与铁轨接触处表层
4
sx
s s
A
s
A点应力：为三向受压状态。 此外：在通过A点不同斜截面上的应力是不同的，将影响到构 件的破坏形式。
s
OC CFcos2 α DFsin2 α σx σy σx σy cos2 α τ x sin2 α σ α 2 2
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证明： H点横坐标： OM 纵坐标： MH CD与s 轴夹角为2a0
OM σx σy 2 σx σy 2 cos2 α τ x sin2 α σ α
ty
e
cos2 α τ x sin2 α
b
sy
切线方向上： Σ F 0 τ
τ α d A (σ x d A cos α )sin α ( τ x d A cos α )cos α (σ y d A sin α )cos α ( τ y d A sin α )sin α 0
∴ τ α σ x sin α cos α σ y sin α cos α τ x cos2 α τ y sin 2 α
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二、应力状态的研究方法 在构件危险点处取微小六面体——单元体 dx、dy、dz分析。 一般情况下，在单元体的各个面上分布有s、t 。 单元体各面应力：sx、sy、sz、txy、txz、tyz
F 1 F2
6
y
sy
tyz
A
Fn
txy
txz
x
sx
z
sz
由于单元体各面面积很小，可认为各面上的 s、t 均布。 此外：平行平面上，s 大小相等；垂直平面上，t 大小相等。
2
s
st或σu源自nt或 τ max [t ]
τu n
可建立强度条件： σmax [s ] 如：直升机螺旋桨轴
但实际中常见较复杂问题：危险点同时受 s 、t 作用。
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3
t
s
A
s t
工作时受轴向力F、外力偶矩Me作用，横截面同时存在s 、t 。 取轴表层A点：
σ FN A
tx
a
sa a
a
ta
ty
e
2
合力： sxdAcosa、 txdAcosa
bc面积：bc×1= dAsina 合力： sydAsina、 tydAsina 静力平衡条件：法线方向上
Σ Fn 0
b
sy
cos α
sin α
2
1 cos2 α 2 1 cos2 α
2 2sin α cos α sin2 α
2
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,0)
满足应力圆方程。
2

σx σy 2
∴
σx σy 2 半径： CD CF FD τx R 2
单元体a 斜截面ae上的应力sa、ta 在应力圆上从D点同向转过2a到H点，
a
ty
sy sa
d
19 n
则H点的坐标即为a 斜截面上的应力sa、ta， 证明： H点横坐标： OM 纵坐标：
a
ty
sy sa
d
20 n
a sx
c
2a
ta
b
tx
D
x
t
G O
H (sa, ta) 2a0 CM F
MH CHsin(2 α0 2 α ) (CDsin2 α0 )cos2 α (CDcos2 α0 )sin2 α
DFcos2 α CFsin2 α
σx σy 2
s
E
sin2 α τ x cos2 α τ α

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σx σy 2
sin2 α τ x cos2 α
n
14 x
sx
tx
a
sa a
a
ta
ty
e
b
∴
σα τ α σx σy 2 σx σy 2
sy
cos2 α τ x sin2 α
σx σy 2
sin2 α τ x cos2 α
可知：sa、ta与sx、sy、tx(ty)有关，并随斜截面位置a而变化。
100 50 2
sin[2 ( 30)] ( 60)cos[2 ( 30)] 35.0MPa
讨论：
σα
σx σy 2

σx σy 2
cos2 α τ x sin2 α
16
τ α
σx σy 2
sin2 α τ x cos2 α
当在单元体上截取两个相互垂直的斜截面时：
MH
a sx
c
2a
ta
b
tx
D
x
t
G O E
H (sa, ta) 2a0 CM F
CD与s 轴夹角为2a0
OM OC CM
OC CHcos(2 α0 2 α ) OC CHcos2 α0 cos2 α CHsin2 α0 sin2 α OC (CDcos2 α0 )cos2 α (CDsin2 α0 )sin2 α
即：a、a1= a + 90º 则： σ α 1
σx σy 2 σx σy 2 cos2 α τ x sin2 α
有：sa+ sa1 = sx+ sy =常数 即：过单元体中相互垂直的两个截面上的正应力之和为一常数。
τ α 1 σx σy 2 sin2 α τ x cos2 α τ α
2
σx σy 2
,0)
半径：
σx σy 2
2 τx
2
通常称作应力圆(Stress Circle)或莫尔圆(Mohr's Circle)。
三、应力圆的应用——图解法
已知单元体，作出其应力圆。
即已知两点：D (sx，tx，E(sy，ty，作应力圆。
a
ty
sa与截面垂直，拉应力为正，反之为负； ta与截面相切，绕研究对象内任一点顺时针时为正，反之为负。
左半部分受力：sx、sy、tx、ty、sa、ta，处于平衡状态。
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设单元体沿 z 方向厚度为1：
n
12 x
ae面积：dA
合力： sadA、 tadA ab面积：ab×1= dAcosa
sx
1
第 十三 章
§13–1 §13–2 §13–3 §13–4 §13–5
应力状态分析
引 言 平面应力状态应力分析 极值应力与主应力 复杂应力状态的最大应力 广义胡克定律
主要介绍：平面应力状态分析、最大应力与主应力、 应力与应变的一般关系
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§13–1 引 言
一、应力状态的概念 基本变形下，危险点只受正应力或只受切应力作用：
sy
e c
斜截面位置：用斜截面外法线 n 与 x 轴的夹角 a 表示。 规定：从 x 到 n 逆时针时， a 为正，反之为负。
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a
ty
sy sa ta sy
e c
n
n
11 x
d
sx
b
a tx
a
sx
x
sx
tx
a
sa a
a
ta
ty
e
b
sy
截面法：沿斜截面ae假想地切开单元体，取左半部分研究。 截面ae上应力：
σ α d A (σ x d A cos α )cos α ( τ x d A cos α )sin α (σ y d A sin α )sin α ( τ y d A sin α )cos α 0
∴ σα σ x cos2 α σ y sin 2 α 2 τ x sin α cos α
sy
d
18
sx
b c
取坐标系：横轴s，纵轴t 。
取比例尺：MPa/mm 。 作出D(sx，tx、E(sy，ty ， 连D、E两点，交横轴于C点， 以C点为圆心、CD为半径作圆，
O
tx
D
x
t
G C E
σx σy 2
2 2
F
s
即得单元体的应力圆。
证明： ∵ DDCF ≌ DECG ∴ C为GF中点。 圆心C：( ∵ CF FG
σx σy 2
2
cos2 α τ x sin2 α
sin2 α τ x cos2 α
τ α0
二式平方后相加，得
(σα
σx σy 2
) τ α 0
2
为一以sa、ta为变量的圆方程，其 圆心： (
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σx σy 2 2 ( ) τx 2
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F 1
F2
y
sy
txy txz
x
7
tyz
A
Fn
sx
z
sz
当 dx、dy、dz 足够小时，单元体各面上的应力便可作为A点 应力。 一般情况下，单元体处于平衡状态。