河北省石家庄市第二中学2020届高三教学质量检测数学（理）试题第I 卷选择题(共60分)一.选择题(共12小题，每题5分,共60分)1.已知集合11{|24},{|lg ,}410x A x B y y x x =≤≤==>，则A∩B=() A. [-2,2] B. (1,+∞) C. (-1,2] D. (-∞,-1]∪(2,+∞)2.已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(-1,2),则1z i=+ () 13.22A i + 13.22B i -+ 31.22C i -+ 33.22D i -+ 3.设,a b r r 是向量，则“||||a b =r r ”是“||||a b a b +=-r r r r ”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数1()cos 1x x e f x x e +=⋅-的部分图象大致为( )5.右侧茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩(单位:分，每题5分,共16题).已知两组数据的平均数相等，则x 、y 的值分别为()A.0, 0B.0,5C.5,0A.0,0B.0,5C.5,0D.5，56. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题: “今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲比戊多得( ) 钱?1.3A2.3B 1.6C 5.6D 7.将函数f(x)=cos2x 图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数g(x)的图象，若g(x)在区间[0,a]上单调递减，则实数a 的最大值为( ).8A π .4B π.2C π3.4D π 8.已知双曲线C 2222:1(0,0),x y a b a b-=>>O 为坐标原点，12,F F 为其左、右焦点,点G 在C 的渐近线上，21,6||||,F G OG OG GF ⊥=u u u r u u u r 则该双曲线的渐近线方程为( ).2A y x =±2.B y x =±3.C y x =± D. y=±x 9.正四面体A-BCD 中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，若BP+PE 的最小值为14,则该正四面体的外接球的表面积为( )A.32πB.24πC.12πD.8π10. 已知点G 在△ABC 内，且满足2340,GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r 若在△ABC 内随机取一点，此点取自△GAB,△GAC,△GBC 的概率分别记为123,,,P P P 则()123.A P P P == 123.B P P P << 123.C P P P >> 213.D P P P >>11.《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多·达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆。
该油画规格为：纵77cm ，横53cm.油画挂在墙壁上的最低点处B 离地面237cm （ 如图所示）.有一身高为175cm 的游客从正面观赏它（该游客头顶T 到眼睛C 的距离为15cm ），设该游客离墙距离为xcm, 视角为θ.为使观赏视角θ最大，x 应为（ ）A.77B.80C.100 .2D12.已知点P 是曲线y=sinx+lnx 上任意一点,记直线OP (O 为坐标原点)的斜率为k,给出下列四个命题: ①存在唯一点P 使得k=-1;②对于任意点P 都有k<0;③对于任意点P 都有k<1;④存在点P 使得k≥1,则所有正确的命题的序号为()A.①②B.③C.①④D.①③第II 卷非选择题(共90分)二.填空题(共4小题，每题5分,共20分)13.若实数x, y满足约束条件2020,240x yx yx y-+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x+ y的最小值为_____14. 已知121101,x dx mπ--=⎰则1()mxx-的展开式中2x的系数为_____(用数字表示)15.已知点P是椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>上一点，点P在第一象限且点P关于原点O的对称点为Q,点P在x轴。
上的投影为E，直线QE与椭圆C的另一个交点为G，若APQG为直角三角形，则椭圆C 的离心率为____.16. 若函数f(x)的导函数.()cos()(0,0,||)2f x A x A oπωϕϕ'=+>><，()f x'部分图象如图所示，则φ=____函数()(),12g x f xπ=-当12,[,]123x xππ∈-时，12|()()g x g x-|的最大值为___三。
解答题（共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17一21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求选择其中一个作答.）（一）必考题（共60分）17. (12分)如图，四棱锥P- ABCD中侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB⊥BC，1//,,2BC AD AB BC AD==E是PD的中点.(1)证明:直线CE//平面PAB ;(2)求二面角B PC D--的余弦值.18. (12分)甲、乙两同学在高三一轮复习时发现他们曾经做过的一-道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下:等比数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知______(1)判断123,,S S S 的关系并给出证明;(2)若133,a a -=设||,{}12n n n n b a b =的前n 项和为,n T 证明:4.3n T < 甲同学记得缺少的条件是首项1a 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第(1)问的答案是132,,S S S 成等差数列.如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题.19. (12分)如图,椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2,2点P(0,1)在短轴CD 上，且1.PC PD ⋅=-u u u r u u u r(1)求椭圆E 的方程;(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A, B 两点，是否存在常数λ，使得OA OB PA PBλ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 为定值?若存在，求λ的值;若不存在，请说明理由.20. (12 分)调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析，鉴定，调配与研发，周而复始、反复对比.调味品品评师需定期接受品味鉴别能力测试，一种常用的测试方法如下:拿出n 瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序;经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设n=4,分别以1234,,,a a a a 表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种调味品在第二次排序时的序号，并令X 1234|1||2||3||4a a a a =-+-+-+-|，则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述. ( 如第二次排序时的序号为1,3,2,4,则X=2) .(1)写出X 自可能取值构成的集合(不用证明);(2)假设1234,,,a a a a 的排列等可能地为1,2,3,4的各种排列,求X 的分布列和数学期望;(3)某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2.(i)试按(2)中的结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮测试相互独立) ;(ii)请判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何?并说明理由.21. (12分)已知函数f(x)=x lnx.(1)求曲线y= f(x)在2x e -=处的切线方程;(2)关于x 的不等式f(x)≥λ(x -1)在(0,+∞)上恒成立,求实数λ的取值范围;(3)若12()()0,f x a f x a -=-=且12,x x <证明:2221(1)12.x x e ae --<+(二)选考题(共10分)请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22. (10分)已知曲线11:1x t C y t⎧=⎪⎨=⎪⎩ ( t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρ= 2sinθ .(1)求曲线1C 的极坐标方程; (2) 求曲线1C 2C 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ <2π).23. (10 分)已知绝对值不等式:2|1||1|5 4.x x a a ++->-+(1)当a=0时,求x 的取值范围; (2) 若对任意实数x,上述不等式恒成立，求a 的取值范围.。