第十六章 二次根式知识点与复习
知识点1：二次根式的定义及有意义的条件：
形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，
才有意义． 【例1】下列各式
1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153
x a a a --+---+， 其中是二次根式的是 （填序号）． 举一反三：
1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A 、a
B 、10-
C 、1a +
D 、21a +
2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有___________个
【例2】若式子13
x -有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三： 1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是
【例3】若y =5-x +x -5+2009，则x + y =
举一反三：
1、若11x x ---2()x y =+，则x －y =
2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值
3、已知a 是5整数部分，b 是 5的小数部分，求12
a b +
+的值。

知识点2：二次根式的性质：1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 2. ()()a aa 20=≥．
注意：此性质既可正用，也可反用：a a a =≥()()20
3. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩
||()() （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．
（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．
4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩
||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系 【例4】若()2
2340a b c -+-+-=，则=+-c b a ． 举一反三：
1、已知y x ,为实数，且()02312
=-+-y x ，则y x -＝
2、若1a b -+与24a b ++互为相反数，则()2005_____________a b -=。

【例5】已知2x <,则化简244x x -+＝（ ） A 、2x - B 、2x + C 、2x --
D 、2x - 举一反三：
1、若2
3a ，则()()2223a a ---＝
2、若a －3＜0，则化简
a a a -++-4962＝
【例6】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │+2()a b + 的结果等于（ ）
A ．－2b
B ．2b
C ．－2a
D ．2a 举一反三：
实数a 在数轴上的位置如图所示：化简：21(2)______a a -+-=．
1- 0 1 2
a o
b a
【例7】化简二次根式22a
a a +-的结果是（ ） （A ）2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a
举一反三：
1、把二次根式a a
-1化简，正确的结果是（ ） A. -a B. --a C. -a D. a 知识点3： 最简二次根式：
（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式； 分母中不含根号．
知识点4：同类二次根式（可合并根式）：
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。

【例8】在根式1) 222;2);3);4)275
x a b x xy abc +-，最简二次根式是 1、下列根式中，不是．．
最简二次根式的是（ ）A ．7 B ．3 C ．12 D ．2 2、下列根式不是最简二次根式的是( )A.21a + B.21x + C.24
b D.0.1y 【例9】下列根式中能与3是合并的是( )A.8 B. 27 C.25 D.
21 1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ ）
A 、318和
B 、133
和 C 、22a b ab 和 D 、11a a +-和 2、如果最简二次根式
83-a 与a 217-能够合并为一个二次根式, 则a=__________.
知识点5：分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

知识点6：有理化因式：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用a a a ⋅=来确定，如：a a 与，a b a b ++与，b a -与b a -等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如a b +与a b -，a b a b +-与，a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。

分母有理化的方法与步骤：
①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

【例10】 把下列各式分母有理化
（1）
148 （2） 2a b - （3） 221- （4）5353+- (5)333223-
1、已知2323x -=
+，2323
y +=-，求下列各式的值：（1）x y x y +- （2）223x xy y -+
知识点7：二次根式计算——二次根式的乘除
1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

ab =a ·b （a ≥0，b ≥0）
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

a ·b ＝ab ．（a ≥0，b ≥0）
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
a b =a b
（a ≥0，b>0） 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

a b =a b （a ≥0，b>0） 【例11】能使等式2
2x x x x =--成立的的x 的取值范围是（ ） A 、2x > B 、0x ≥ C 、02x ≤≤ D 、无解
知识点8：二次根式计算——二次根式的加减
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。