第4模块 第2节
[知能演练]
一、选择题
1．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m
n
等于
( )
A ．－12
B ．2 C.12
D ．－2
解析：m a ＋n b ＝(2m,3m )＋(－n,2n ) ＝(2m －n,3m ＋2n )，
a －2
b ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)． 由m a ＋n b 与a －2b 共线， 则有2m －n 4＝3m ＋2n －1，
∴n －2m ＝12m ＋8n ，∴m n ＝－1
2.
答案：A
2．已知向量OM →＝(3，－2)，ON →
＝(－5，－1)，则12
MN →等于
( )
A ．(8,1)
B ．(－8,1)
C ．(4，－1
2
)
D ．(－4，1
2
)
解析：∵OM →＝(3，－2)，ON →
＝(－5，－1)， ∴12MN →＝12(ON →－OM →) ＝1
2[(－5，－1)－(3，－2)] ＝12×(－8,1)＝(－4，12)． 答案：D
3．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →
＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 是
( )
A ．梯形
B ．矩形
C ．菱形
D ．正方形
解析：∵AB →＋BC →＋CD →
＝a ＋2b －4a －b －5a －3b ＝－8a －2b ，
∴AD →＝2(－4a －b )＝2BC →，
∴AD →∥BC →且|AD →|＝2|BC →
|，故四边形是梯形． 答案：A
4．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C (x ，y )满足OC →
＝αOA →＋βOB →
，其中α、β∈R ，且α＋β＝1，则x ，y 满足的关系式为
( )
A ．3x ＋2y －11＝0
B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5
C ．2x －y ＝0
D ．x ＋2y －5＝0
解析：由OC →＝αOA →＋βOB →
， ∴(x ，y )＝(3α－β，α＋3β)．
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3α－β，y ＝α＋3β.∴⎩⎨⎧
α＝3x ＋y
10
，β＝－x ＋3y
10
.
∵α＋β＝1，∴x ＋2y －5＝0. 答案：D 二、填空题
5．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量c ＝ (－4，－7)共线，则λ＝________. 解析：由题意得λa ＋b ＝(2＋λ，2λ＋3)， 又λa ＋b 与c 共线，
因此有(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝0， ∴λ＝2. 答案：2
6．已知点A (1，－2)，若向量AB →与a ＝(2,3)同向，|AB →
|＝213，则点B 的坐标为________． 解析：∵向量AB →
与a 同向， ∴设AB →
＝(2t,3t )(t >0)．
由|AB →
|＝213，
∴4t 2＋9t 2＝4×13.∴t 2＝4. ∵t >0，∴t ＝2.∴AB →
＝(4,6)． 设B 为(x ，y )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝4，y ＋2＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5，y ＝4.
答案：(5,4) 三、解答题
7．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)． 设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →
＝－2b ， (1)求：3a ＋b －3c ；
(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n . 解：由已知得a ＝(5，－5)， b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c
＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5－3m ＋8n ＝－5，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝－1n ＝－1. 8．在▱ABCD 中，A (1,1)，AB →
＝(6,0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P .
(1)若AD →
＝(3,5)，求点C 的坐标； (2)当|AB →|＝|AD →
|时，求点P 的轨迹． 解：(1)设点C 坐标为(x 0，y 0)， 又AC →＝AD →＋AB →
＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)， 即(x 0－1，y 0－1)＝(9,5)， ∴x 0＝10，y 0＝6，即点C (10,6)． (2)由三角形相似，不难得出PC →＝2MP →
设P (x ，y )，则
BP →＝AP →－AB →
＝(x －1，y －1)－(6,0)＝(x －7，y －1)，
AC →＝AM →＋MC →＝12AB →＋3MP →
＝12AB →＋3(AP →－12
AB →) ＝3AP →－AB →
＝(3(x －1)，3(y －1))－(6,0) ＝(3x －9,3y －3)，
∵|AB →|＝|AD →
|，∴▱ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD . ∴AC →⊥BP →
，即(x －7，y －1)·(3x －9,3y －3)＝0. (x －7)(3x －9)＋(y －1)(3y －3)＝0， ∴x 2＋y 2－10x －2y ＋22＝0(y ≠1)． ∴(x －5)2＋(y －1)2＝4(y ≠1)．
故点P 的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆去掉与直线y ＝1的两个交点．
[高考·模拟·预测]
1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b
( )
A ．平行于x 轴
B ．平行于第一、三象限的角平分线
C ．平行于y 轴
D ．平行于第一、四象限的角平分线
解析：a ＋b ＝(0,1＋x 2)，由1＋x 2≠0及向量的性质可知，C 正确．故选C. 答案：C
2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →
等于
( )
A ．(－2，－4)
B ．(－3，－5)
C ．(3,5)
D ．(2,4)
解析：在平行四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →
， ∴BD →＝(AC →－AB →)－AB →
＝(1,3)－2(2,4)＝(1,3)－(4,8)＝(－3，－5)． 答案：B
3．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →
＝
( )
A.14a ＋1
2
b
B.23a ＋13
b
C.12a ＋1
4b
D.13a ＋23
b 解析：由已知得
DE ＝13EB ，则DF ＝1
3DC ，
∴CF ＝2
3
CD ，
∴CF →＝23CD →＝23(OD →－OC →)
＝23(12b －12a )＝13b －1
3a ， ∴AF →＝AC →＋CF →
＝a ＋13b －13a
＝23a ＋13b . 答案：B
4．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________. 解析：3－k 1＝－63⇒k ＝5.故填5.
答案：5
5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,1)，k ，t 为正实数，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－1k a ＋1
t b ，问
是否存在k 、t ，使x ∥y ，若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：x ＝a ＋(t 2＋1)b
＝(1＋2)＋(t 2＋1)(－2,1)＝(－2t 2－1，t 2＋3) y ＝－1k a ＋1t b ＝－1k (1,2)＋1
t (－2,1)
＝(－1k －2t ，－2k ＋1t
)，
假设存在正实数k ，t ，使x ∥y ，则 (－2t 2－1)(－2k ＋1t )－(t 2＋3)(－1k －2
t )＝0，
化简得t 2＋1k ＋1
t ＝0，即t 3＋t ＋k ＝0，
∵k ，t 是正实数，故满足上式的k ，t 不存在． ∴不存在这样的正实数k ，t ，使x ∥y .
[备选精题]
6．已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)． (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．
解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝1
4.
(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.
从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin(2θ＋π4)＝－2
2.
又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4，或2θ＋π4＝7π
4.
因此θ＝π2，或θ＝3π
4
.。