Yk const
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pij与qij之比定义为相对增益或相对放大系数ij， ij可表示为 pij Y Y i i ij (9-8) qij U j U j U k const Yk const 即 由相对增益ij元素构成的矩阵称为相对增益矩阵。
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图9-1所示是化工生产中的精馏塔温度控制方案。 ul的改变不仅仅影响y1，同时还会影响y2；同样 地，u2的改变不仅仅影响y2，同时还会影响y1。因此， 这两个控制回路之间存在着相互关联、相互耦合。这 种相关与耦合关系如图9-2所示。 耦合是过程控制系统普遍存在的一种现象。耦合 结构的复杂程度主要取决于实际的被控对象以及对控 制系统的品质要求。因此如果对工艺生产不了解，那 么设计的控制方案不可能是完善的和有效的。
Y1 q11 U 1
Y2 const
K 12 K 21 K 11 K 22 K 12 K 21 K 11 K 22 K 22
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类似地可求得
q 21 K 11 K 22 K12 K 21 K K K 21 K 12 K K K12 K 21 ; q12 11 22 ; q 22 11 22 K 12 K 21 K 22
pij
U j
U k const
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然后，在所有其它回路均闭合，即保持其它被控 变量都不变的情况下，找出各通道的开环增益，记作 矩阵Q。它的元素qij的静态值称为Uj与Yi通道的第二放 大系数。它是指利用闭合回路固定其它被控变量时， Uj与Yi的开环增益。qij可以表为 (9-7)
Yi qij U j
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U 1 R1 Y1 Y1 3U 1 4U 2 ; U 2 R2 Y2 Y2 5U 1 U 2
9.2.2 相对增益矩阵
1．相对增益矩阵的定义 相对增益可以确定过程中每个被控变量相对每个控 制变量的响应特性，并以此为依据去构成控制系统。 另外，相对增益还可以指出过程关联的程度和类型， 以及对回路控制性能的影响。 相对增益可以评价一个预先选定的控制变量Uj对 一个特定的被控变量Yi的影响程度。而且这种影响程 度是相对于过程中其他控制变量对该被控变量Yi而言 的。对于一个耦合系统，因为每一个控制变量不只影 响一个被控变量，所以只计算在所有其他控制变量都 固定不变的情况下的开环增益是不够的。因此，特定 的被控变量Yi对选定的控制变量的响应还取决于其他 控制变量处于何种状况。 14
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(2) 直接计算法 现以图9-7所示双变量耦合系统为例说明如何由 第一放大系数直接求第二放大系数。引入P矩阵， 式（9-10）可写成矩阵形式，即
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另外，还有一种极端情况，当公式(9-8)中分母趋于 零，则其它闭合回路的存在使得 Yi 不受 Uj 的影响，此 时 ij 趋于无穷大。关于相对增益具有不同数值时的含 义将在下面关于相对增益性质中予以讨论。
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2．相对增益的计算 从相对增益的定义可以看出，确定相对增益，关 键是计算第一放大系数和第二放大系数。最基本的方 法有两种。一种方法是按相对增益的定义对过程的参 数表达式进行微分，分别求出第一放大系数和第二放 大系数，最后得到相对增益矩阵。另一种方法是先计 算第一放大系数，再由第一放大系数直接计算第二放 大系数，从而得到相对增益矩阵，即所谓的第二放大 系数直接计算法。
根据定义可得相对增益ij p11 K 11 K 22 p 21 K 12 K 21 11 ; 21 q11 K 11 K 22 K 12 K 21 q 21 K 11 K 21 K 11 K 22 p12 K 12 K 21 p 22 K 11 K 22 12 ; 22 q12 K 12 K 21 K 11 K 22 q 22 K 11 K 22 K 12 K 21
（9-15）
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从上述分析可知，第一放大系数pij是比较容易 确定的，但第二放大系数qij则要求其他回路开环增 益为无穷大的情况才能确定，这不是在任何情况下 都能达到的。事实上，由式（9-12）和式（9-14） 可看出，第二放大系数qij完全取决于各个第一放大 系数pij，这说明有可能由第一放大系数直接求第二 放大系数，从而求得耦合系统的相对增益ij。
Y1 v11 (U 1 v12Y2 v1n Yn )
Y2 v 22 (U 2 v 21Y1 v 2 n Yn ) Yn v nn (U n v n1Y1 v n ( n 1)Yn 1 )
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9.2 解耦控制系统的分析
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由图9-8可得 K c2 K11 K c 2 ( K11 K 22 K 21 K 12 ) Y1 K 11 K 21 K 12 U1 1 K c 2 K 22 1 K c 2 K 22 于是，根据定义得 Y1 K 11 K 22 K 12 K 21 (9-12) q11 lim K c 2 U K 22 1 另外，利用式（9-10）得Y1与U1和Y2之间的关系表达 Y2 K 21U 1 式 Y1 K 11U 1 K 12 K 22 (9-13) 再根据第二放大系数qij的定义，对式(9-10)求导也 可得如下的第二放大系数q11
11 12 22 21 Λ n1 n 2
1n 2 n nn
(9-9)
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如果在上述两种情况下，开环增益没有变化，即相 对增益ij=l，这就表明由Yi和Uj组成的控制回路与其它 回路之间没有关联。这是因为无论其它回路闭合与否 都不影响 Uj 到 Yi 通道的开环增益。如果当其它控制变 量都保持不变时Yi不受Uj的影响，那么ij为零，因而就 不能用Uj来控制Yi。如果存在某种关联，则Uj的改变将 不但影响Yi，而且还影响其它被控变量 Yk (ki)。因此， 在确定第二放大系数时，使其它回路闭环，被控变量 Yk保持不变，则其余的控制变量Uk (kj)必然会改变。 其结果在两个放大系数之间就会出现差异，以致 ij 既 不是零，也不是1。
根据第一放大系数pij的定义，对式(9-10)求导也 可得如下的p11 Y1 p11 K 11 U 1 U const
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同理可得，p21=K21，p12=K12，p22=K22。
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② 第二放大系数qij的计算 第二放大系数qij是在其他通道闭合且保持Yk（ki） 恒定的条件下，该通道的静态增益。仍以图9-7双变量 静态耦合系统为例说明qij的计算。为了确定U1到Y1通 道之间的第二放大系数q11，必须保持Y2恒定，固定Y2 的方法之一是令控制器Gc2(s)的增益Kc2=。假设控制 器Gc2(s)为纯比例环节，可令Gc2(s)=Kc2。因此可得计 算q11的等效方框图如图9-8所示。
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9.1 解耦控制的基本概念
9.1. l 控制回路间的耦合
在一个生产过程中，被控变量和控制变量往往不 止一对，只有设置若干个控制回路，才能对生产过程 中的多个被控变量进行准确、稳定地调节。在这种情 况下，多个控制回路之间就有可能产生某种程度的相 互关联、相互耦合和相互影响。而且这些控制回路之 间的相互耦合还将直接妨碍各被控变量和控制变量之 间的独立控制作用，有时甚至会破坏各系统的正常工 作，使之不能投入运行。
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9.1.2 被控对象的典型耦合结构
对于具有相同数目的输入量和输出量的被控对象， 典型的耦合结构可分为P规范耦合和V规范耦合。 图9-3为P规范耦合对象。
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它有n个输入和n个输出，并且每一个输出变量 Yi(i=1,2,3,…,n）都受到所有输入变量Ui(i=1,2,3,…,n） 的影响。如果用pij(s)表示第j个输入量Uj与第 i个输出 量Yi之间的传递函数，则P规范耦合对象的数学描述式 如下：
9.2.1 耦合程度的分析
确定各变量之间的耦合程度是多变量耦合控制系 统设计的关键问题。 常用的耦合程度分析方法有两种：直接法和相对 增益法。 相对增益分析法将在后面详细介绍，下面简要介 绍直接法。
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例9-1 试用直接法分析图9-5所示双变量耦合系统的 耦合程度。
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解 用直接法分析耦合程度时，一般采用静态耦合结 构。所谓静态耦合是指系统处在稳态时的一种耦合结 构，与图9-5动态耦合系统对应的静态耦合结构如图96所示。
对于一个多变量系统，假设 Y是包含系统所有被 控变量Yi的列向量；U是包含所有控制变量Uj的列向量。 为了衡量系统的关联性质首先在所有其它回路均为开 环，即所有其它控制变量都保持不变的情况下，得到 开环增益矩阵P 。这里记作 Y= P U （9-5）
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其中，矩阵P的元素pij的静态值称为Uj到Yi通道的第 一放大系数。它是指控制变量Uj改变了一个Uj时，其 它控制变量Uk (kj)均不变的情况下，Uj与Yi之间通道 的开环增益。显然它就是除Uj到Yi通道以外，其它通 道全部断开时所得到的Uj到Yi通道的静态增益，pij可 表示为 Yi (9-6)
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(1) 定义计算其余通道开路情况下，该通道 的静态增益。现以图9-7所示双变量静态耦合系统为例 说明pij的计算。
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如图9-7所示，当计算p11时，可将支路（2）、 （3）和（4）断开，或令控制器Gc2(s)的增益Kc2=0， 改变控制变量Ul，求出被控变量Y1，这两者的变化量 之比即为p11，不难看出，p11=K11。 实际上，由图9-7所示的双变量静态耦合系统方框 图可得 Y1 K 11U 1 K 12U 2 (9-10) Y2 K 21U 1 K 22U 2
Y1 p11U 1 p12U 2 p1nU n Y2 p 21U 1 p 21U 2 p 2 nU n Yn p n1U 1 p n1U 2 p nnU n
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图9-4为V规范耦合对象。
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它有n个输入和n个输出，并且每一个输出变量 Yi （i=1,2,3,…,n）不仅受其本通道的输入变量 Ui(i=1,2,3,…,n）的影响，而且受其他所有输出变量Yj （ji）经过第j通道带来的影响。如果用vij(s)表示传递 函数，则V规范耦合对象的数学描述式如下：