x
一般应力状态
y y
yx
yz
xy
zy
x
z
zx
xz
x
z
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法
1. 斜截面上的应力
y
y

y y
n
y
ae
xx
a
x x y
b
y x d
a
x x
xx x
fc
z
y
y
y
e
x
x a a
a
b
b
y
ft
y
(设ef的面积为dA)
对于与ef 垂直的截面上的应力，
y n
y y
a 900

x
y
2
x
y
2
cos 2a
x
sin 2a
a 900

x
y
2
sin 2a
x
cos 2a

a
x
e
da
x a
x
x x
b
fc
y
y
a a 90o x y 常 数
D1
60O
E1
例1：单元体σx=-30MPa， σy=60MPa， τx=-40MPa。
（a）试用解析法和图解法确定α1=30°和α2=-40°两截面 上的应力；
（b）求主应力，确定主平面的位置。
解：（b） α0 =69.2 o

D2
y
y
1
a0
x
3 x
B1
OC 2a 0
D1
B2
第七章 应力状态分析
低碳钢拉伸
铸铁扭转
§7-1 概述
应力状态的概念
物体上一点处所有截面上应力的集合
应力状态的研究方法 取单元体 物体上某点周围截取的足够小长方体。各截面上应力
均匀，对应截面上应力等值反向，相互垂直截面上切 应力互等。
平面应力状态
y y yx xy x
x
y y x
x

2
y
2


2 x
若以σ为横轴，τ为纵轴，则该圆的圆心在
( x y ,0 ) 处，半径为
2
(x
y
2
)2


2 x
。
这样的圆——应力圆（莫尔圆）。
a



x

2
y
2


2 a


x

2
y
2


2 x
y
应力圆的作法： 点
例1：单元体σx=-30MPa， σy=60MPa， τx=-40MPa。
（a）试用解析法和图解法确定α1=30°和α2=-40°两截面 上的应力；
（b）求主应力，确定主平面的位置。
解：（a） 图解法

D2
E2
B1
80O O C
B2
y
300 300
30°
x
x 40°
y
400 400
图示单元体上，σx=-6MPa， τx=-3MPa，求主应力大小
和主平面位置。
D2
1 67.5
x
x
B1
A2
D1

C O A1 2a 0
22.5
3
解：
σ1 σ3

x
2

(x
2
)2


2 x
-17..2244
MPa
tan2α0 = -2τx /σx = -1，
2
y
2


2 x
y
应力圆的作法： 点
面 y y

D1
2
A2 B2
2a

0
x

O
y
C
B1 A1
1
D2 y
2 x x
x
1
a0
x
例1：单元体σx=-30MPa， σy=60MPa， τx=-40MPa。
（a）试用解析法和图解法确定α1=30°和α2=-40°两截面 上的应力；
（b）求主应力，确定主平面的位置。
解：（a） 解析法
300

x
y
2
x
y
2
cos 600
x
sin 600
300 27.14MPa
y
300 300
30°
x
x 40°
y
400 400
300 58.97MPa
40 32.2MPa 40 37.3MPa
a a 90o
——过一点任意两个互相垂
y
y y
a a 900
a
a 900
x
a
x
x
直的截面上的正应力之和 为常数，
切应力服从切应力互等定理。
主平面方位：
a0

x

2
y

(xΒιβλιοθήκη 2y)2


2 x
a 0900
x
y
2

(

x

2
y
)2

2 x
a0 0
主单元体
主应力公式：
tan 2a0


x
2 x
y
y
y y
a a900
a2
a 900
x
a
xx
x
1
a0
σ1σ
2


x

2
y


(
x

2
y
)2


2 x
主方向 （主平面的法线方向）
二、图解法
a

x

2
y
x

2
y
Cos2a
Ft 0 : a d A ( x d Acosa)cosa ( x d Acosa)sina
( y d Asina)sina ( y d Asina)cosa 0
e
x
x a a
a
—— 平面应力状态下任意斜截面（其法线 在xy平面内）上的σα和τα计算公式。
x Sin2a
①
a

x

2
y
Sin2a
xCos2a
②
a
x
y
2

x
y
2
Cos2a
x Sin2a
a



x

2
y
2


2 a



x

2
y
2


2 x
a



x

2
y
2


2 a


面 y y

2
A2 O
y
y
E
2a B2
CF
D2
x
a
x x
D1
a
x
x

B1 A1
1
应力• 圆起上始点半径的；坐标 和斜•截转面向上一的致应； 力有
着 一 一对应的关系。
• 2倍角对应关系。
a



x

2
y
2


2 a


x

y
ft
y
(设ef的面积为dA)
e
x
x a a
a
—— 平面应力状态下任意斜截面（其法线 在xy平面内）上的σα和τα计算公式。
b
y
ft
y
(设ef的面积为dA)
列平衡方程：
Fn 0 : a d A ( x d Acosa)sina ( y d Asina)cosa
－( x d Acosa)cosa ( y d Asina)sina 0
tan 2a 0

2 x x y

80 90
2a0 41.630
138.370
例2：一纯切应力状态的单元体如图所示。求主应
力大小和方向。
铸铁扭转
解：

1

D2
3
1
A2
O
A1


3
D1
σ1 = OA 1 =τ， σ3 = OA2 = -τ
例3：