第七章应力状态分析强度理论7.1 应力状态概述一、工程实例1. 压缩破坏2. 弯曲拉伸破坏3. 弯曲剪切破坏4. 铸铁扭转破坏5. 低碳钢扭转破坏二、应力状态的概念1. 点的应力状态过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。

2. 一点应力状态的描述以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。

3. 求一点应力状态（1）单元体三对面的应力已知，单元体平衡（2）单元体任意部分平衡（3）截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。

三、应力状态的分类1. 单元体：微小正六面体2. 主平面和主应力：主平面：无切应力的平面主应力：作用在主平面上的正应力。

3. 三种应力状态单项应力状态：三个主应力只有一个不等于零，如A 、E 点 二向应力状态：三个主应力中有两个不等于零，如B 、D 点 三向应力状态：三个主应力都不等于零四、应力状态分析的方法 1.解析法2. 图解法7.2应力状态分析的解析法一、解析法图示单元体，已知应力分量x σ、y σ、xyτ和yx τ。

xxx（一）任意截面上的正应力和切应力：利用截面法，考虑楔体bef 部分的平衡。

设ef 面的面积为dA ， ∑=0F n 0sin )Asin (cos )sin A (cos )cos A (sin )cos A (A =-+-+αασααταασαατσαd d d d d y yx x xy∑=0F tsin )Asin (cos )sin A (sin )cos A (cos )cos A (A =++--ααταασαασαατταd d d d d yx y x xy根据切应力互等定理： y x xy ττ=三角函数关系：22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-=，∂=cos sin 22sin αα解得：ατασσσσσα2sin 2cos 22x x xy yy--++=（7-1）ατασστα2cos 2sin 2x xy y+-= （7-2）（二）主应力即主平面位置将式（8-1）对取一次导数，并令其等于零可确定正应力的极值和所在平面的位置。

令0αα=时，0d d =ασα 即：yx xy xy y x σσταατασσασα--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=22tan 02cos 2sin 22d d 000 将0α和ο900+α代入（8-1），求出最大及最小的正应力为：22min max )2(2xy y x yx τσσσσσσ+-±+=⎭⎬⎫ （三）最大切应力及其作用平面的位置将式（8-2）对α取一次导数，并令其等于零可确定切应力的极值和它所在平面的位置。

令1αα=时，0d d =ατα即： xy y x τσσα22tan 1-= 22min max )2(xy y x τσσττ+-±=⎭⎬⎫ 所以有：22201παα+=，401παα+=即最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为ο45 例题1. 如图a 所示受力杆件内单元体各面上的应力分量。

试用解析法求出单元体在ο30=α倾斜面上的应力，主应力的大小并确定主平面的方位。

解：（1） 斜截面上的应力如图a ，有：MPa 50x =σ，MPa 100y -=σ，MPa 70xy -=το30=α所以，axy y y MP 1.7360sin 7060cos 2100502100502sin 2cos 22x x 30=-++-=--++=οοοατασσσσσa xy yMP 3060cos 7060sin 2100502cos 2sin 2x 30=-++-=οοοατασστ （2）主应力及主平面的方向MPa 6.127MPa 6.77)2(222min max -=+-±+=⎭⎬⎫或xy y x yx τσσσσσσ 主应力为MPa 6.771=σ，MPa 02=σ，MPa 6.1273-=σσο5.b)ya)933.010050)70(222tan 0=+-⨯=--=yx xyσστα（3）主平面位置为ο5.210=α或ο5.1110=α，即主平面外法线与x 轴的夹角为ο5.21或ο5.111（见图b ），该单元体是主单元体。

2. 已知圆轴直径d=15mm ，在外力偶m N 100M ⋅=e 作用下，发生扭转。

试分析圆轴表面上A 点的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。

解：（1）A 点处横截面上的切应力为MPa 97.150m)015.0(14.3m N 1001616M W M 333e P T =⨯⋅⨯===d πτ 在A 点周围截取单元体，单元体各面上的应力如图b ，ττσσ===xy ,0y x 所以，150.97MPa )2(222min max ±=±=+-±+=⎭⎬⎫ττσσσσσσxy y x yx （2）主应力为MPa 97.150,0,MPa 97.150321-===σσσ-∞→--=y x xyσστα22tan 0主平面位置为：σ a)οο4590200-=-=αα 或οο135270200-=-=αα（3）由上分析可知，圆轴扭转时表面上各点均处于纯剪切应力状态，而且各点m ax σ所在的平面连成一个倾角为ο45的螺旋面，由于铸铁抗拉强度低，试件将沿这一螺旋面上因抗拉能力不足而发生断裂破坏。

二、主应力迹线σ311τ梁在横力弯曲时，除横截面上、下两边缘各点均处于单向拉伸或压缩外，横截面其他各点处的正应力就不是主应力。

现利用应力圆来确定这些点处主应力的数值和主平面的位置。

如图a ，表示一个受均布荷载q 作用的矩形截面梁，在梁的某一横截面m-n 上，围绕2、4两点各取出一个单元体。

设此横截面上的剪力和弯矩都是正值，则此二单元体各面上的应力状态如b 图所示。

单元体的x 平面是梁的横截面。

其上的正应力y I ZM x =σ和切应力b Z *ZQ xy I S F =τ。

单元体的y 平面是梁的水平纵截面，其上的0y =σ，xy τ和y x τ等值反号。

根据这些已知应力，就可以作出相应的应力圆。

求出梁截面上一点主应力方向后，把其中一个主应力的方向延长与相邻横截面相交，求出交点的主应力后，再将其延长线与下一个相邻横截面相交，依次类推，所做出的折线。

折线上任一点的切线方向表示该点的主应力方向。

梁内任意一点的主应力的表达式为：22x 1)2(2xyx τσσσ++= 22x3)2(2xyxτσσσ+-=由上式知，梁内任意一点处的两个主应力必然一个为拉应力，另一个为压应力，两者的方向任意垂直。

所以在梁的xy 平面内可以绘制两组正交的曲线，在一组曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力1σ（拉应力）的方向，而在另一组曲线上每一点处切线的方向则为主应力3σ（压应力）的方向。

这样的曲线称为梁的主应力迹线，前者称为主应力1σ迹线，后者则称为主应力3σ迹线。

如图实线表示主应力1σ迹线，虚线表示主应力3σ迹线。

由于主拉应力的存在，混凝土抗拉强度不足而沿着所在的主平面的方向开裂。

在梁跨中的底部，主拉应力1σ方向是水平或接近水平的，所以裂隙方向是垂直的。

在两端主拉应力1σ方向是倾斜的，所以裂隙也是与主应力正交而倾斜。

正因为这样，在钢筋混凝土受弯构件中，主要承受拉力的钢筋应大致按照主应力1σ迹线来配置排列，以承担梁内各点处的最大拉应力。

7.3 应力状态分析的图解法一、应力圆方程由式（7-1）（7-2）可知在二向应力状态下，在法向倾角为α的斜截面上的正应力与切应力均为α的函数。

现消去α，则有，ατασσσσσα2sin 2cos 22x x xy yy --=+-ατασστα2cos 2sin 2x xy y+-=以上两式等号两边平方，然后相加，得2xy 2x 22x 22τσστσσσαα+-=++-）（）（y y以横坐标表示σ，以纵坐标表示τ，上式时一个以ασ和ατ为变量的圆周方程，圆心的横坐标为2x yσσ+；纵坐标为零。

圆的半径为2xy2x 2τσσ+-）（y。

这一圆周称为应力 圆。

又称摩尔应力圆，简称摩尔圆。

二、应力圆的作法以图a 所示单元体为例说明应力圆的做法。

先建立τσ-直角坐标系，按一定比例尺量取横坐标x OA σ=， xy AD τ=,先确定D 点（见图B ）。

量取y OB σ=，xy D B τ='，确定D '，根据前节符号规定，y x τ为负，所以D 点与D '点分别位于横坐标的上下边。

连接D 、D '与横坐标交于C 点。

以C 点为圆心，CD 为半径作圆，显然圆心C 的纵坐标为零，横坐标为2OB OA 21OD x y σσ+=+=）（，所以，C 点即是应力圆的圆心。

圆半径22x 22)2(AD CA CD xyy τσσ++=+=。

所以，图b 所作的xyτy xτ ,0)三、应力圆的应用（一）二向应力状态单元体与应力圆的对应关系1. 点面对应 应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面上的正应力和切应力值。

2. 二倍角对应 单元体上任意两个斜截面的外法线之间的夹角若为α，则对应在应力圆上代表该斜截面上应力的两点之间的圆弧所对应的圆心角必为α2。

3. 转向对应 应力圆半径旋转时，半径端点的坐标随之改变，对应地，单元体上斜截面的法线亦沿相同方向旋转，才能保证斜截面上的应力与应力圆上半径端点的坐标相对应。

（二）确定单元体斜截面上的应力根据以上的对应关系，可以从作出的应力圆确定单元体内任意斜截面那个的应力值。

注意上图a 、b ，若求法线n 与x 轴夹角为逆时针α角的斜截面的应力ασ、ατ，则在应力圆上，从D 点也按逆时针方向沿圆周转到E 点，且使DE 弧所对应的圆心角α2，则E 点的坐标就代表以n 为法线的斜面上的应力ασ、ατ。

证明：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+=+=-+=++=αααααααααααα2sin 2cos CE 2cos 2sin CE )22(sin CE OF 2sin 2cos CE 2cos 2cos CE OC )22(cos CE OC OF 000000因为CD CE =2CA 2cos CD 2cos CE x 00yσσαα-===xy ταα===AD 2sin CD 2sin CE 00所以 ασατασσσσ=-++-=2sin 2cos 22OF x x xy yyασατασσ=+-=2cos 2sin 2FE x xy y这就是式（7-1）（7-2），证毕。

（三）主应力的数值和主平面的方位由于应力圆上1A 点的横坐标（正应力）最大，纵坐标（切应力）等于零，所以1A 代表最大主应力，即：11max A OC OA C +==σ同理，1B 点表示最小正应力，即：11min CB -OC OB ==σ。