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NCS20190607项目第一次模拟测试
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C D C A A C B A B A 13．4- 14.6 15.
7
9
16.9(,
]16
三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．
17．【解析】（Ⅰ）由已知3sin 2)0(==ϕf ， 又2
||π
ϕ<
，所以3
π
ϕ=
，所以)3
sin(2)(π
ω+
=x x f ………3分
由(2)0f =，即2sin(2)03
π
ω+=，所以23
k π
ωπ+
=，k Z ∈，
解得26k πωπ=
-，k Z ∈，而02πω<<，所以3
π
ω=. ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，)3
3sin(
2)(π
π+=x x f ， 令()3f x =
得2333x k ππππ+=+或2233x k ππππ+=+，Z k ∈， 所以6x k =或61x k =+，由图可知， 3)B . ………8分
所以)3,1(),3,2(-=-=CB CA ，所以2||,7||==CB CA ， ………10分 所以14
7
57
25|
|||cos =
=
=
∠CB CA CB CA ACB . ……………………………………………12分 18．【解析】（Ⅰ）证明：因为⊥1CC 底面ABCD ，所以BD CC ⊥1. 因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥. ………2分 又C CC AC =1 ，所以⊥BD 平面1ACC .
又由四棱台1111D C B A ABCD -知，11,,,C C A A 四点共面. 所以1AA BD ⊥. ………6分 （Ⅱ）由已知，得1111111111112
1
21C B A C C B A B C B A E E C A B V V V V ----===， 又因为3
34432sin 2213131211111
11=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-πAA S V C B A C B A C ，
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所以3
3
2111=
-E C A B V . ………………………………………………………………12分 19．【解析】（Ⅰ）由图可知，各组中值依次为3700,3500,3300,3100， 对应的频率依次为2.0,4.0,3.0,1.0， 故B 型节能灯的平均使用寿命
为34402.037004.035003.033001.03100=⨯+⨯+⨯+⨯小时. ………4分
（Ⅱ）由图可知，使用寿命不超过3600小时的频率为8.0，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率为8.0，故估计一年内5支B 型节能灯需更换的支数为48.05=⨯. ………7分 （Ⅲ）若选择A 型节能灯，一年共需花费3
512036005200.7510870-⨯+⨯⨯⨯⨯=元；…9分
若选择B 型节能灯，一年共需花费5.9671075.0555360025)45(3
=⨯⨯⨯⨯+⨯+-元 .…11分
因为967.5820>，所以该商家应选择A 型节能灯.
20．【解析】（Ⅰ）椭圆E 与圆O ：2
2
1x y +=相切，知2
1b =； ……………………………2分
又椭圆E 上动点与圆O 26+，即椭圆中心O 6
得椭圆长半轴长6a =
，即2
32a =； 所以轨迹E 的方程为2
2213
x y +=. ……………………………………………………………5分 （Ⅱ）①当1l 与x 轴重合时，2l 与圆相切，不合题意.
②当x l ⊥1轴时，)0,1(-M ，1:1=x l ，3||=
AB ，此时332233221=⨯⨯=
∆ABM S .…6分 ③当1l 的斜率存在且不为0时，设1:1+=my x l ，0≠m ，则11
:2+-=y m
x l ，
设),(),,(2211y x B y x A ，由22
1,213
x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，22
(23)410m y my ++-=， 所以1212
2241
,23m y y y y m +=-=-+， ……………8分 所以222
2123121
||1|m m AB m y y ++=+-=由⎪⎩⎪⎨⎧
=++-=1
,112
2y x y m
x 得，02)11(2
2=-+y m y m ，解得122+=m m y M ， …………9分 所以221||1|1
M MN y m m =+=+
所以22221123121||||22231
ABM
m m S AB MN m m ∆++==⋅++
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2223m ==
+， ……………10分
1>，
≥
当且仅当2
m =±
时取等号.
所以ABM S ∆≤.
综上，ABM ∆
1l
的方程为1x y =+.……………12分
21．【解析】（Ⅰ）)1
(ln e )(b x
ax x x f x
++
-='， ……………2分 由已知，有⎪⎩⎪⎨⎧='=2e )1(,2e )1(f f ，即⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=2e )1e(,2e e a b b ，解得21,1==b a . ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，)23(ln e )(+-=x x x f x ，则)211(ln e )(++-='x x x x f x
令2
1
1ln )(++-=x x x x g ，则01)(22<+--
='x x x x g 恒成立， …………7分 所以)(x g 在),0(+∞上单调递减，又因为02
1
)1(>=g ，012ln )2(<-=g ，
所以存在唯一的)2,1(0∈x ，使得0()0g x =，且当),0(0x x ∈时，0)(>x g ，即0)(>'x f ， 当),(0+∞∈x x 时，0)(<x g ，即0)(<'x f . ……………10分 所以)(x f 在),0(0x 上单调递增，在),(0+∞x 上单调递减.
又因为当0→x 时，0)(<x f ，02e )1(>=f ，0)212(ln e )2(2>-=f ，0)e 2
5(e )(e <-=e f ， 所以存在0=k 或2，使得)(x f y =在)1,(+k k 上有唯一零点. ……………12分
22．【解析】（Ⅰ）由参数方程⎩⎨⎧+=+=θ
θsin 23cos 24y x ，得普通方程2
2
(4)
(3)4x y ，
所以极坐标方程
2
8cos
6sin
21
0. ……………5分 （Ⅱ）设点,A B 对应的参数分别为1t 、2t ，将⎩⎨⎧+=+=t y t x 31,2代入得2
2(4)
(3)4x y 01)13(2=++-t t ， 所以121=t t ， ……………8分
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直线⎩⎨⎧+=+=t y t x l 31,2:（t 为参数）可化为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=)2(231),2(212t y t x ，
所以1212|||||2||2|4||4MA MB t t t t ⋅===. ……………10分
23．【解析】（Ⅰ）因为22()
||
|23||()(23)|f x x
m x m x
m x
m ，
所以2
2
()|23|(1)22f x m m m ≥++=++≥. ……………5分 （Ⅱ）由已知，|12|2)2(2
+++=m m f ， ①当2
1
-
≥m 时，(2)16f 等价于16322≤++m m ，即14)1(2≤+m ，
解得114114-≤≤--m ，所以1142
1
-≤≤-m ； ……………7分 ②当2
1
-
<m 时，(2)16f 等价于16122≤+-m m ，
解得53≤≤-m ，所以2
1
3-
<≤-m . ……………9分 综上，实数m 的取值范围是]114,3[--. ……………10分。