2020年普通高等学校招生全国统一考试文 科 数 学（二）注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{log (1)0}A x x =-<，则R C A =（ ） A.(,1]-∞B.[2,)+∞C.(,1)(2,)-∞+∞D.(,1][2,)-∞+∞2.若复数z 满足(23)13i z +=，则复平面内表示z 的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.函数11()22x f x e x =--的图象大致为（ ） A.B.C.D.4.在ABC ∆中，90B ∠=︒，(1,2)AB =，(3,)AC λ=，λ=（ ）A.1B.2C.3D.45.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，()()2a b c a c b ab +-++=，则角C 的正弦值为（ ） A.12B.32C.22D.16.双曲线221mx ny -=（0mn >）的一条渐近线方程为12y x =，则它的离心率为（ ） A.5B.52C.5或52 D.5或527.执行如图所示的程序框图，若输出的值为1-，则判断框中可以填入的条件是（ ）A.999n ≥B.999n ≤C.999n <D.999n >8.已知单位圆有一条直径AB ，动点P 在圆内，则使得2AP AB ⋅≤的概率为（ ） A.12B.14C.24ππ- D.24ππ+ 9.长方体1111ABCD A B C D -，4AB =，2AD =，15AA =，则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为（ ） A.25B.35C.45D.1210.将函数()sin 2cos 2f x x x =+图象上所有点向左平移38π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一个对称中心是（ ） A.(,0)3πB.(,0)4πC.(,0)6πD.(,0)2π11.已知()f x 是定义在R 上偶函数，对任意x R ∈都有(3)()f x f x +=且(1)4f -=，则(2020)f 的值为（ ） A.2B.3C.4D.5此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号12.过抛物线C：22x py=（0p>）的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若4AF BF=，O为坐标原点，则AFOF=（）A.54B.3C.4D.5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第(22)~(23)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知某大学由大一500人，大二750人，大三850人.为该大学学生的身体健康状况，该大学负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若在大二学生中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是人.14.若变量x，y满足约束条件840,0x yx yx y+≤⎧⎪-≤⎨⎪≥≥⎩，则2z x y=+的最大值为 .15.已知23sin cos2αα=，则cos2α= .16.，则该正八面体的外接球的表面积为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（12分）已知正项等比数列{}n a满足3112S S-=，212314a S+=.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）记2212211log logna nba a+-=，求数列{}nb的前n项和nT.18.（12分）经调查，3个成年人中就有一个高血压，那么什么是高血压？血压多少是正常的？经国际卫生组织对大量不同年龄的人群进行血压调查，得出随年龄变化，收缩压的正常值变化情况如下表：其中：1221ˆni iiniix y nxybx nx==-=-∑∑，ˆˆa y bx=-，82117232iix==∑，8147384i iix y==∑.（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ˆˆˆy bx a=+.（ˆa，ˆb的值精确到0.01）（3）若规定，一个人的收缩压为标准值的0.9 1.06倍，则为血压正常人群；收缩压为标准值的1.06 1.12倍，则为轻度高血压人群；收缩压为标准值的1.12 1.20倍，则为中度高血压人群；收缩压为标准值的1.20倍及以上，则为高度高血压人群.一位收缩压为180mmHg的70岁的老人，属于哪类人群？19.（12分）已知椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>，其短轴为4，离心率为1e，双曲线221x ym n-=（0m>，0n>）的渐近线为y x=±，离心率为2e，且121e e⋅=.（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆E 的右焦点为F ，过点(4,0)G 作斜率不为0的直线交椭圆E 于M ，N 两点，设直线FM 和FN 的斜率为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.20.（12分）在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 中，//AD BC ，AB AD BC ==，AD DC ⊥；PAD ∆中PA PD =，60APD ∠=︒，平面PAD ⊥平面PCD .（1）证明：AB ⊥平面PAD ；（2）若4AB =，Q 为线段PB 的中点，求三棱锥Q PCD -的体积.21.（12分）已知函数2()12xa f x x e x =-++，1a ≤， 2.718e =为自然对数的底数.（1）当0a ≤时，判断()f x 零点个数并求出零点（2）若函数()f x 存在两个不同的极值点1x ，2x ，求实数a 的取值范围.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

【选修4-4：坐标系与参数方程】22.（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ，2C 的极坐标方程分别为2sin ρθ=，cos()4πρθ-=.（1）求1C 和2C 交点的极坐标；（2）直线l的参数方程为：2212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与x 轴的交点为P ，且与1C 交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值.【选修4-5：不等式选讲】23.（10分）已知函数()13f x x x =++-，1x ≥-. （1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）若()f x 的最小值为n ，正数a ，b 满足22nab a b =+，求24a b +的最小值.答案第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合2{log (1)0}A x x =-<，则R C A =（ ） A.(,1]-∞B.[2,)+∞C.(,1)(2,)-∞+∞D.(,1][2,)-∞+∞【答案】D【解析】由集合2{log (1)0}{12}A x x x x =-<=<<，则{1R C A x x =≤或2}x ≥. 2.若复数z 满足(23)13i z +=，则复平面内表示z 的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】∵(23)13i z +=，∴1313(23)2323(23)(23)i z i i i i -===-++-， 则复平面内表示z 的点(2,3)-位于第四象限. 3.函数11()22x f x e x =--的图象大致为（ ） A.B.C.D.【答案】C【解析】函数11()22x f x e x =--是偶函数，排除选项B ； 当0x >时，函数11()22x f x e x =--，可得1()12x f x e '=-， 当0ln 2x <<时，()0f x '<，函数是减函数，当ln 2x >时，函数是增函数，排除选项A ，D ，故选C.4.在ABC ∆中，90B ∠=︒，(1,2)AB =，(3,)AC λ=，λ=（ ） A.1 B.2C.3D.4【答案】A【解析】ABC ∆中，90B ∠=︒，(1,2)AB =，(3,)AC λ=，∴(2,2)BC AC AB λ=-=-， 又90B ∠=︒，∴AB BC ⊥，∴0AB BC⋅=，即22(2)0λ+-=，解得1λ=.5.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，()()2a b c a c b ab +-++=，则角C 的正弦值为（ ）A.12B.2C.2D.1【答案】D【解析】由()()2a b c a c b ab +-++=，可得2220ab c +-=，根据余弦定理得222cos 02a b c C ab+-==， ∵(0,)B π∈，∴sin 1C =.6.双曲线221mx ny -=（0mn >）的一条渐近线方程为12y x =，则它的离心率为（ ）B.22 D.5或2【答案】C【解析】∵双曲线221mx ny -=（0mn >）的一条渐近线方程为12y x =， ∴2b a =或12b a =，∴双曲线的离心率为c e a ===7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为1-，则判断框中可以填入的条件是（ ）A.999n ≥B.999n ≤C.999n <D.999n >【答案】C【解析】该程序框图的功能是计算122lglg lg2lg(1)231nS n n =++++=-++的值. 要使输出的S 的值为1-，则2lg(1)1n -+=-，即999n =.故①中应填999n <. 8.已知单位圆有一条直径AB ，动点P 在圆内，则使得2AP AB ⋅≤的概率为（ ） A.12B.14C.24ππ- D.24ππ+ 【答案】A【解析】由2AP AB ⋅≤可知，AP 在AB 向量上的投影为1，所以P 点所在位置为半个圆，面积占整个圆的12，所以概率为12.9.长方体1111ABCD A B C D -，4AB =，2AD =，1AA =11A B 与1AC 所成角的余弦值为（ ） A.25B.35C.45D.12【答案】C【解析】∵1111//C D A B ，∴异面直线11A B 与1AC 所成的角即为11C D 与1AC 所成的角11AC D ∠. 在11ACD Rt ∆中，114C D =，15AC ==，∴111114cos 5C D AC D AC ∠==. 10.将函数()sin 2cos2f x x x =+图象上所有点向左平移38π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一个对称中心是（ ） A.(,0)3πB.(,0)4πC.(,0)6πD.(,0)2π【答案】D【解析】将函数()sin 2cos 22(sin 2cos 2))224f x x x x x x π=+=+=+图象上 所有点向左平移38π个单位长度，得到函数()2sin(2)2sin 2g x x x π=+=-的图象， 令2x k π=，求得2k x π=，k Z ∈，令1k =，可得()g x 图象的一个对称中心为(,0)2π.11.已知()f x 是定义在R 上偶函数，对任意x R ∈都有(3)()f x f x +=且(1)4f -=，则(2020)f 的值为（ ）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】由(3)()f x f x +=，知函数()f x 为周期函数，且周期3T=，则(2020)(36731)(1)(1)4f f f f =⨯+==-=.12.过抛物线C ：22x py =（0p >）的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，若4AF BF =，O 为坐标原点，则AF OF=（ ）A.54B.3C.4D.5【答案】A【解析】由题意得22x py =，则(0,)2p F ，所以2pOF =， 设直线AB 的方程为2py kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，且12x x >， 因为4AF BF =，所以4AFBF -=，则214x x =-，①由222p y kx x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理得2220x pkx p --=，所以122x x pk +=，212x x p =-，② 联立①②可得34k =-，即直线AB 的方程为342p y x =-+， 又23422p y x x py ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，整理得222320x px p +-=， 解得2x p =-或2px =，故(,)28p p A ，(2,2)B p p -，所以根据抛物线的定义可知5828pp AF p =+=，所以54AF OF =.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。