速度环量 ：速度矢在积分路径方向的分量沿该
路径的线积分。
定义 AB ABVs ds
某瞬时在流场中任取曲线AB
微元弧 dsr
Vs : vr 在 dsr 向的投影
A
r V
Vs
B
dsr
速度环量是标量，速度方向与积分AB曲线方
向相同时（成锐角）为正,反之为负。 线积分方向相反的速度环量相差一负号，即
ΓAB＝－ΓBA
速度环量的其他表示形式：
AB
r V
dsr
V
r cos(V
,
dsr
)ds
Vxdx Vydy Vzdz
AB
AB
AB
沿封闭周线C的速度环量
c ÑcVs ds
r
ÑcV
dsr
Ñ cVx dx Vy dy Vz dz
r V
α
r
Vs
ds C
速度环量的计算
1) 已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量
对于无旋流场:
求解：
Vx
Vx x
Vy
Vx x
1
p x
Vx
Vy x
Vy
Vy x
1
p y
因 Vx＝－ωy，Vy＝ωｘ，代入上式得：
旋涡的产生： 与压力差、质量力和粘性力等
因素有关。
流体流过固体壁面时，除壁面附近粘性影响严 重的一薄层外，其余区域的流动可视为理想流体 的无旋运动。
旋涡场的几个基本概念：
一、涡线,涡管,旋涡强度 涡线(vortex line)：
r 3 r 2
涡线上所有流体质点在
r 同瞬时的旋转角速度矢量
与此线相切。
d abcda
vx dx
(vy
vy x
dx)dy
(vx
vx y
dy)dx
vydy
(vy vx )dxdy x y
y
d
vx
vx y
dy
c
而
( v y x
vx y
)
2z
微矩形面积ds上的环量：
v y dy
dx
vy
vy x
dx
a vx
b x
0
d 2zdS 2ndS 2dJ
将C域分为若干微矩形, 对各微分面积求d
自然界中如龙卷风,桥墩后面规则的双排涡 列等等是经常能观察到的旋涡运动的例子。但 在大多数情况下流动中的旋涡肉眼难于察觉。
园盘绕流尾流场中的旋涡
园球绕流尾流场中的旋涡
园柱绕流尾流场中的旋涡
有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡
弯曲槽道内的二次流
旋涡运动理论广泛地应用于工程实际: 机 翼、螺旋桨理论等。旋涡与船体的阻力、振动、 噪声等问题密切相关。
海姆霍兹定理
海姆霍兹第一定理 ——涡管强度守恒定理
（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）
涡管上任取截面Ⅰ和 Ⅱ，并将涡管表面在 ａｂ处切开。
由斯托克斯定理
abdbaea 2 nd
因为内ωｎ＝０所以
abdb'a'ea 20 nd
而 ab ba 0
因为ab ba
故得 C 0
若流体正压则 p p P
蜒c ddvrt
dsr
c
(U
P)dsr
?c
d
(U
P)
0
所以 d 0
证毕
dt
汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：
1) 在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。 因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。
2) 推论: 流场中原来有旋涡和速度环量的，永 远有旋涡并保持环量不变，原来没有旋涡和 速度环量的, 就永远无旋涡和速度环量。
σ
ABB，A，EA前进所围的区域
为单连通域。 用斯托克斯定理有:
ABB'A'EA 2 nd
ABDB'A'EA AB C BA L
C
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Ｌ
Ｅ
C
区域在走向的左侧
ΓＣ：沿外边界逆时针的环量
ΓL ：沿内边界顺时针的环量
AB BA
积分路线相反，抵消掉了。
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Ｌ
Ｅ
C
最后有 C L 2nd
已证明，圆柱内的流体运动有旋，且旋涡角 速度就是ω。
这样的旋涡以及它的诱导速度场可作为平 面涡处理。由于旋涡诱导的速度场是无旋的， 在讨论整个流场的速度和压力分布时，亦须将 旋涡内部和外部分开。
一、速度分布
（1）旋涡内部：流体象刚体一样绕中心转动
Vr 0, V r
（r < R）
在旋涡中心（0＜r＜R）：速度呈线性分布
dH的方向: 垂直于ds和ｒ所在的平面，按右手法则确定。
流体力学中毕奥——沙伐尔公式的形式
旋涡强度为Ｊ（环量Γ＝2Ｊ）的ds段涡丝 对于Ｐ点所产生的诱导速度：
ds sin
dv
4
r2
流场中单一有限长涡丝在P点的诱导速度沿
整个涡丝积分：
v
4
s
sin ds
r2
该式可算出任意单一涡丝所引起的诱导速度场
这就是双连通域的斯托克斯定理。
推论一 单连域内的无旋运动，流场中处处 r 为 零，则沿任意封闭周线的速度环量为零
c 2nd 2 0d 0
反之，若沿任意封闭周线的速度环量等于 零，可得处处为零的结论。
但沿某闭周线的速度环量为零，并不一定无 旋（可能包围强度相同转向相反的旋涡）。
推论二 对于包含一固体在内的双连通域，若流 动无旋，则沿包含固体在内的任意两 个封闭周线的环量彼此相等。
流场中多条涡丝可组成一涡面, 每条 涡丝的诱导速度求得后，沿涡面积分就可 求得整个涡面上的诱导速度。流体力学中 速度场可以看成是涡丝诱导出来的。
典型实例：无限长直涡丝
dx段对Ｐ点的诱
导速度是：
dv
4r 2
sin
dx
ＭＮ段对Ｐ点的
诱导速度：
v
2
sin d
4 R 1
4 R
(cos1
cos2 )
方向垂直于纸面向外
压力分布为：
p
p0
1 2
V2
（r>R）
结论：
1.愈靠近中心，速度值愈大，压力ｐ愈小。 2.在旋涡边界上，r=R，V＝VR＝ωＲ，如相应
的压力为PＲ
则
pR
p0
1 2
VR2
即在边缘R上，压力较无穷远处下降了
1 2
VR2
（2）旋涡内部: 定常有旋流动
由伯努利方程有： p
1 2
V 2
CL
流线为同心圆族，不同流线上压力不同。 由欧拉方程（给定边界条件，略去质量力）
本章讨论内容：
1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，漩涡强 度速度环量）
2.司托克斯定理 3.汤姆逊定理 4.海姆霍兹定理 5.毕奥－沙伐尔定理 6.旋涡诱导速度的一般提法 7.兰金组合涡
旋涡运动的基本概念
有旋运动： ωx,ωy,ωz在流场中不全为零的流动
一般，整个流场中某些区域为旋涡区，其余 的地方则为无旋区域。
AB
Vx dx Vy dy
AB
Vz dz
AB x
dx
y
dy
z
dz
B
A d B A
对于有旋场:
由公式
AB
r V
dsr
Vxdx Vydy Vzdz
AB
AB
计算
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
蜒 c
cVxdx Vy dy Vz dz
dx dy dz
c x y z
Ñc d 0
对于有旋场:
c ÑcVsds 2nd
此式称为斯托克斯定理
三、斯托克斯定理
斯托克斯定理：沿任意闭曲线的速度环等于该
曲线为边界的曲面内的旋涡强
度的两倍,即 Γｃ＝２J
或 c ÑcVsds 2nd
环量与旋涡强度通过线积分
n
r
与面积分联系起来了。
d
C
证 明:
流场中取微元矩形abcd
（2）旋涡外部
由无限长直涡线的诱导速度公式：
r 0,
V
2 r
R2
r
（r>R）
式中： R2 2 2 R2 const.
外部流速与ｒ成反比。
二、压力分布
（1）旋涡外部：流动定常且无旋
由欧拉积分式确定速度和压力的关
系。略去质量力有：
p
1 2
V2
C
由边界条件ｒ→∞，
பைடு நூலகம்
V
2 r
0
该处ｐ＝ｐ0，则有Ｃ＝ｐ0
点涡。如环量为Γ，则在平面极坐标内的诱导速
度为:
v 2 R
vr 0
R为场点至点涡的距离 已证明这种速度场是无旋的。
如图强度相等的两点涡的初始位置，试 就(a)和(b)两种情况决定此两点涡的运动。
兰金（Rankin）组合涡
设流场中有一半径为Ｒ的无限长圆柱形 流体象刚体一样绕其轴线转动，角速度为ω。
磁场
带电导线
电流强度ｉ
诱导磁场强度
r dH
诱导速度场
涡丝(线)
旋涡强度
诱导速度场
r dV
电磁场与诱导速度场的类比
dH
i
ds sin r2
场点
电磁学中，电流强度为ｉ的导线，微元导
线ds对场点Ｐ所产生的磁场强度由毕奥——沙
伐尔公式得:
dH i ds sin
式中：
r2
ｒ: ds离场点P的矢径
θ: 是ds与ｒ的夹角
任取微分面积dσ， r 法线分量为ωｎ