标量场变化最大，及其最大值（梯度的方向及大小）；而且可
以求出任意方向
v l
的方向导数，这只要求出梯度与该方向单位
矢量 eˆ l 的标积就行了。总而言之，梯度场是源于标量场的一个
矢量场，它全面地刻画了标量场的空间变化特征。
9
②梯度的计算
直角坐标系 G r a d f a ˆx x f a ˆy f y a ˆz f z= a ˆx x a ˆy y a ˆz z f
5
1). 方向导数
f(x ,y ,z ) lim f(x x ,y ,z ) f(x ,y ,z )
x x 0
x
f(x,y,z)lim f(x,y y,z)f(x ,y,z)
y y 0
y
y
Q
Vy
P
x
x
标 量 场 f(x ,y ,z )延 l v 方 向 的 方 向 导 数 表 示 f 沿 该 方 向 的 变 化 率
18
2) 散度计算方法
直角坐标系
divA vA v=Ax Ay Az x y z
柱坐标系
divAv Av=1r (rrAr)
A
(rAz z
)
1 (rAr) 1 A Az
r r r z
球坐标系 divA vA v=R2s1in(ARR R 2sin)(A Rsin)(RA)
广义坐标系
=1(R2AR) 1 (Asin) 1 A R2 R Rsin Rsin
标量场在某点的梯度的大小等于该点的最大方向导数， 梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向（与等值面 垂直，且指向标量场增大的方向）。
GradV
V n
a)n
沿任意方向的方向导数（变化率）？
V V n V cos l n l n
V n
eˆn geˆl
GradV geˆl
标量函数在任意方向l上的变化 率等于梯度在该方向的投影。
aˆx
xaˆy
yaˆz
z
▽称为“del”算子
Gradf f
圆柱坐标系
f aˆr
fraˆrfaˆz
f z
球坐标系
fa ˆR R fa ˆR fa ˆRsi nf
广义坐标系
f a ˆ u 1 l f 1 a ˆ u 2 l f 2 a ˆ u 2 l f 3 a ˆ u 1 h 1 f u 1 a ˆ u 2 h 2 f u 2 a ˆ u 2 h 3 f u 3
u v
V g F d v 4k(R 2 3 R 1 3 )
u v u vu v
VdivA dvÑ SA gdS
23
Example:
v
example：For vector function , Aa ˆrr2a ˆz2z
verify the divergence theorem for the circular cylindrical region enclosed by
l x y z
标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。
6
2). 梯度
V q 4 0R
标 量 f(x,y,z) 等 于 常 数 的 空 间曲面称为标量场的等值 面。函数值相等的点构成 的曲面。
Q
1
v l1
v ln
Q
v Q2
P l2
电势V沿ln方向的方向导数最大
7
①梯度的概念
那么在（2，1，3）处的梯度为
G rad 4a ˆx10a ˆya ˆz
其模为
117
因此，在（2，1，3）处方向导数的最大值为（117）1/2
12
例2
f aˆ f aˆfaˆz fz
13
例3
设标量 =xy2+yz3, 矢量
v A2a ˆx2a ˆya ˆz
试求标量函数在点（2，-1，1）处沿矢量A的方向上的方向导数。
d iv A v A v h 1 h 1 2 h 3 (h 2 h u 3 1 A u 1 ) (h 1 h u 3 2 A u 2 ) (h 1 h u 2 3 A u 3 )
19
散度运算规则
uv uv uv uv
g(A B) gAgB
uv
uv
g(CA) CgA
uv
uv uv
20
例 求到任一点的位置矢量的散度。 解
u v Axa ˆxya ˆyza ˆz
divA v A v=A xA yA z1 1 13 x y z
uv A RaˆR
d iv A v A v = R 1 2 ( R 2 R A R ) R s 1 in ( A s in ) R s 1 in A 3
Field and Wave Electromagnetic 电磁场与电磁波
2019. 09.16
1
作业情况
1班：人 2班：人 合计：人 情况:
2
Review
u v
任意矢量 A:
A A xa ˆxA u y u a rˆyA za ˆz
位置矢量:
p(x1, y1, z1) o px1 a ˆxy1 a ˆyz1 a ˆz
v Bx By Bz d l d l x a ˆ x d l y a ˆ y d l z a ˆ z d x a ˆ x d y a ˆ y d z a ˆ z
微分体积 :
dvdxdydz
微分面积:
dsvdsa ˆsa ˆxdsxa ˆydsya ˆzdsz
a ˆxdydza ˆydxdza ˆzdxdy
3
Main topic 梯度和散度
1. 标量场的梯度 2. 矢量场的散度 3. 散度定理
4
1. 标量场的梯度
We now address the method for describing the space rate of change of a scalar field at a given time. As the rate of change may be different in different directions, a vector is needed to define the space rate of change of a scalar field at a given point and at a given time.
10
梯度运算符合以下规则：
C 0
C为常数
C C
( )
( )
( / ) ( ) / 2
F ( ) F '( )
11
例1 已知标量场 (x,y,z)x2yy2z1 求（2，1，3）处方向导数的最大值。
解 根据梯度的定义
Grad=aˆx
xaˆy
yaˆz
z
2xyaˆx (x22yz)aˆyy2aˆz
v
l
nˆ
n cos
l
P
8
某点的梯度的性质： （1）垂直于给定函数的等值面。 （2）指向给定函数在某位置变化最快的方向。 （3）它的大小等于给定函数每单位距离的最大变化率。 （4）一个函数在某点任意方向的方向导数等于此函数的梯度与 该方向单位矢量的点积（标积）。
可以看出：掌握了某一点的梯度，可以知道标量场沿什么方向
z 源点 P’ (x’,y’,z’)
rv '
u R v(rvrv')
rv 场点 P (x, y, z)
O
y
1 R
eˆx
x
1 R
eˆy
y
1 R
eˆz
z
1 R
同理可得
v
1 Rv3
[(x
x
')eˆx
(
y
y
')eˆy
(z
z
')eˆz
]
'
1 R
R R3
R R3
15
2. 矢量场的散度
d svtop aˆ z r d r d
d svb o tto m aˆ z r d r d
d svside aˆ r r d d z
u v u vu v
VdivA dVÑ SA g dS
A
B
矢量场
通量线 or 流线 矢量的通量
vv
AgdS
电力线
S vv
Ñ 源 and 汇（洞） AgdS S
净通量
16
如： 真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面 包围的自由电荷的电荷量q与真空介电常数0之比：
uv v
ÑS EgdS
q
0
高斯定理
闭合曲面内的电量为正、负、零时的通量······
外 表 面 u F v g du S v0 2 0 (kR 2)R 2 2sindd4kR 2 3 外 表 面 u F v g d u S v 0 2 0 (k R 1 )R 1 2sindd 4k R 1 3
Ñ u vu v
SF g d S 4k(R 2 3 R 1 3)
gu F vR 12R(R2FR)3k
f lim f(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x ,y y ) f(x ,y ) l x 2 y 2 ， 二 维
l l 0
l
flim f(x x,y y,z z)f(x,y,z) l x2 y2 z2 ， 三 维
l l 0
l
数 学 上 可 以 证 明 （ 三 维 ） f fco s fco s fco s
r=5,z=0,and z=4
z4 r 5 z0
v gF
1
(rFr )
1
F
Fz
r r r z
v
A aˆ r r 2 aˆ z 2 z d sv d s aˆ s aˆ r d s r aˆ d s aˆ z d s z