量子力学与统计物理习题解答 第一章1. 一维运动粒子处于⎩⎨⎧≤>=-)0(0)0()(x x Axe x xλψ的状态，式中λ>0，求（1）归一化因子A ； （2）粒子的几率密度；（3）粒子出现在何处的几率最大？ 解：（1）⎰⎰∞-∞∞-*=0222)()(dx e x A dx x x x λψψ令 x λξ2=，则323232023202224!28)3(88λλλξξλξλA AA d e A dx ex Ax=⨯=Γ==-∞∞-⎰⎰由归一化的定义1)()(=⎰∞∞-*dx x x ψψ得 2/32λ=A（2）粒子的几率密度xe x x x x P λλψψ2234)()()(-*==（3）在极值点，由一阶导数0)(=dxx dP 可得方程0)1(2=--xex x λλ 而方程的根0=x ；∞=x ；λ/1=x 即为极值点。
几率密度在极值点的值0)0(=P ；0)(lim =∞→x P x ；24)/1(-=e P λλ由于P(x)在区间(0，1/λ)的一阶导数大于零，是升函数；在区间(1/λ，∞)的一阶导数小于零，是减函数，故几率密度的最大值为24-e λ，出现在λ/1=x 处。
2. 一维线性谐振子处于状态t i x Aet x ωαψ212122),(--=（1）求归一化因子A ；（2）求谐振子坐标小x 的平均值；（3）求谐振子势能的平均值。
解：（1）⎰⎰∞∞--∞∞-*=dx e Adx x222αψψ⎰∞-=02222dx e A xα⎰∞-=0222ξαξd e Aαπ2A =由归一化的定义1=⎰∞∞-*dx ψψ得 πα=A （2） ⎰⎰∞∞-∞∞--==dx xe A dx x xP x x222)(α因被积函数是奇函数，在对称区间上积分应为0，故 0=x （3）⎰∞∞-=dx x P x U U )()(⎰∞∞--=dx e kx x 22221απα ⎰∞-=0222dx e x k x απα⎰∞-=222ξξπαξd e k⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰∞-∞-0022221ξξπαξξd e e k⎰∞-=02221ξπαξd e k 2212ππαk=24αk =将2μω=k 、μωα=2代入，可得02141E U ==ω 是总能量的一半，由能量守恒定律U T E +=0可知动能平均值U E U E T ==-=0021和势能平均值相等，也是总能量的一半。
3．设把宽为a 的一维无限深势阱的坐标原点取在势阱中点，有⎩⎨⎧≥∞<=)2/|(|,)2/|(|,0)(a x a x x U试通过具体解定态薛定谔方程，证明势阱中粒子的波函数为2/||,6,4,2,sin 2,5,3,1,cos 2)(a x n x an a n x a n a x n ≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===ππψ粒子的能量为 ,4,3,2,1,22222==n n aE n μπ证明：势函数与时间无关，是定态问题。
由于是无限深势阱，粒子不可能到达阱外，因此在阱外 2/||,0)(a x x ≥=ψ 在阱内，波函数满足定态薛定谔方程2/||)()(22a x x E x ≤=''-ψψμ上式可变形为 0)(2)(2=+''x Ex ψμψ令222 Ek μ=，则方程化为0)()(2=+''x k x ψψ该方程的通解为 kx B kx A x cos sin )(+=ψ 在边界上，波函数应满足连续性条件，即0)(0)(2/2/==+=-=a x a x x x ψψ将通解代入有2cos 2sin 02cos 2sin=+=+-ka B ka A ka B ka A由此可得2cos 02sin==ka B ka AA 和B 不能同时为零，否则解无意义。
0≠A ，则必有,6,4,2,02sin==⇒=n a n k ka n π0≠B ，则必有,5,3,1,02cos ==⇒=n an k ka n π由此可得方程的解为⎪⎩⎪⎨⎧===,6,4,2,sin ,5,3,1,cos )(n x a n A n x a n B x n ππψ 由归一化条件 ⎰∞∞-*=1dx n n ψψ可知12/sin 2/2/222==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰-a A dx x a n A a a π12/cos 2/2/222==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰-a B dx x a n B a a π解得a B A /2== 故在阱内的波函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===,6,4,2,sin 2,5,3,1,cos 2)(n x an a n x a n a x n ππψ粒子的能量,4,3,2,1,22222222===n n ak E n μπμ波函数的两个表达式还可统一为一个表达式,3,2,1),2(sin 2)(=+=n ax a n a x n πψ书中例题与习题的不同是将坐标原点取在势阱的左边界上，其解为,3,2,1,sin 2)(==n x an a x n πψ 因此只要作坐标平移代换21ax x +=，将坐标原点移到势阱中心，立即可得到习题的结果。
4．带电荷q 的一维谐振子在外电场E 作用下运动，x q x x U E-=)2/()(22μω，试证明粒子的能量和波函数分别为 222221μωωE q n E n -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21121),()(212μωαψαEq x x x H eN x n x n n -==-证明：势函数与时间无关，是定态问题。
定态薛定谔方程为)()(21)(2222x E x x q x x u ψψμωψ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+''-E 上式可改写为)()(2)()2(21)(222242222222x E x q x q x q x x u ψψμωψωμμωμωψ=-+-+''-E E E即)(2)(21)(22222222x q E q x x u ψμωμωμωψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+''-E E 作代换21μωEq x x -=，2222μωβE q E E +=，则方程化为标准的一维谐振子方程)(21)(2121212x E x x u ψμωψβ=+''- 其解为 )()(1211212x H eN x n x n n αψα-=能量为ωβ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21n E n代换回去得能量 2222222212μωωμωβE E q n q E E n -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=波函数21121),()(212μωαψαEq x x x H eN x n x n n -==-我们看一下谐振子所受的力12222)()(x q x q x dx x dU F μωμωμωμω=-=-==EE 由F =0可知谐振子的平衡点不再是0=x 而是平移到2μωEq x =作代换21μωEq x x -=，无非是将坐标原点移到新的平衡点2μωEq ，移到新的平衡点后，与标准谐振子的力函数表达式完全相同。
5．有一维势垒如下图所示，自由粒子沿x +方向向势垒运动，0U E <<，求粒子的透射系数D 。
提示：写出)(x U 表达式；令E x U =)(，解出积分限b ；利用（2-104）式得D ，并注意简化运算。
解：⎩⎨⎧><≤≤-=ax x a x a x U x U ,0,00),/1()(0E()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------------=⎰=⎰=⎰=⎰=2/302/3000000000000003240)(220220])/1([220])([220E U b a U E U U a x aUd x a U E U U a dx x aUE U dxE a x U dxE x U eD e D e D eD e D D b b bbμμμμμ由 b aU U a b U E 000)/1(-=-= 可得000=--b aU E U 故 ()2/3003240E U U a eD D --=μ6．粒子在三维无限深势阱⎩⎨⎧≥≥≥∞<<<=)2/||,2/||,2/|(|,)2/||,2/||,2/|(|,0),,(c z b y a x c z b y a x z y x U中运动，求粒子的波函数和能量。
解：势能不含时间是定态问题。
在阱外，波函数 2/||,2/||,2/||,0),,(c z b y a x z y x ≥≥≥=ψ 在阱内，波函数满足定态薛定谔方程 2/||,2/||,2/||),,(),,(222c z b y a x z y x E z y x ≤≤≤=∇-ψψμ令222Ek μ=，则方程可化为标准形式 0),,(),,(22=+∇z y x k z y x ψψ令 )()()(),,(z Z x Y x X z y x =ψ 代入方程有02222222=+++XYZ k Z dz d XY Y dy d XZ X dx d YZ除以XYZ ，可得01112222222=+++k Z dzd Z Y dy d Y X dx d X 要使上式成立，必然有222222222111z y x k Z dzd Z k Y dy d Y k X dx d X -=-=-=即000222222222=+=+=+Z k Z dzd Y k Y dyd X k X dx d z y x 由波函数的连续性可知在边界上)2/()2/(0)2/()2/(0)2/()2/(==-==-==-c Z c Z b Y b Y a X a X 由方程和边界条件可得⎪⎩⎪⎨⎧='==,6,4,2,sin ,5,3,1,cos )(n x a n A n x a n A x X n ππ⎪⎩⎪⎨⎧='==,6,4,2,sin ,5,3,1,cos )(m x b m B m x b m B y Y m ππ⎪⎩⎪⎨⎧='==,6,4,2,sin ,5,3,1,cos )(l x c l C l x c l C x Z l ππ由归一化条件可得a A A 2='=；bB B 2='=；cC C 2='=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=== ,6,4,2,sin 2,5,3,1,cos 2)(n x a n a n x a n a x X n ππ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===,6,4,2,sin 2,5,3,1,cos 2)(m x bm b m x b m b y Y m ππ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===,6,4,2,sin 2,5,3,1,cos 2)(l x cl c l x c l c x Z l ππ或,3,2,1),2(sin 2)(=+=n a x a n a x X n π,3,2,1),2(sin 2)(=+=m b y b m b y Y m π ,3,2,1),2(sin 2)(=+=l c z c l c z Z l π波函数,2,1;,2,1;,2,1),2(sin )2(sin )2(sin 8),,(===+++=l m n cz c l b y b m a x a n abc z y x nml πππψ 能量 )(2)(22222222222222222cl b m a n k k k k E z y x nml++=++==μπμπμ2、一维谐振子处于基态22122)(x e x απαψ-=，其中μωα=求 ?)()(22=⋅p x ∆∆（要求：按定义计算）⎰⎰∞∞-∞∞--=⋅===22222*2212122ααπαπαπαψψαdx e x dx x x x⎰⎰∞∞--∞∞-===022*dx xe dx x x xαπαψψ222221)(α∆=-=∴x x x ··························3分同理，222)(p p p -=∆ ·························1分 注意到一维情况下，只须考虑x p ，因此dx e x e i dx x i p x x x 22*2222ααπαψψ-∞∞--∞∞-∂∂⋅=∂∂=⎰⎰0)(222=-=⎰∞∞--dx x e i x απαα ···················3分 dx e x ep x x x 2222222222ααπα-∞∞--∂∂-=⎰dx xe dx d e x x ⎰∞∞---⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222222αααπαdx e x e e x x x ⎰∞∞----⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=2222223222222ααααπα ⎰⎰-∞∞----=dx e x dx e x x 222222523ααπαπα22122222523 ααπαπααππα=⋅-⋅=2)()(222222 α∆∆=-==∴x xx p p p p ·························3分最后得 4221)()(222222=⋅=⋅αα∆∆p x ······················2分第四章1．试证ϕθϕθψ33sin )(),,(i e r f r =为2ˆL 和zL ˆ的共同本征函数，并求出相应的本征值。