的任意一个原函数
下限的函数值取差值。
部分定积分的计算可以利用 ，再用原函数在定义域的上
例1 求
.
解 因为
即
有一个原函数
，所以
例 2 计算积分
.
解 由于
于是
2. 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 2.1 不定积分中第二换元法的定理形式
定理 3 设 续，并且
连续，
及
都连续，
则
的反函数 ，
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区别：由不定积分中第二换元法的证明过程可知，不定积分中第二换元法要求变换Biblioteka 的反函数存在且连续， 并且
。而在定积分的第二换元法则不这样要求， 它
通过换元法写出关于新变量的被积函数与新变量 积分的计算最终需要对变量进行还原。
的积分上下限后可以直接求职，不像不定
例 3 用第二换元法求解
解令
，则
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3
—
，则
证明 令
.
，由于
在
构成的区间上连续，记
，
在
，则
得证。 1.3 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
区别：第一换元法在定积分中对未知量 域内一阶连续可导即可，对积分要求变弱。
给出了定义范围，要求换元函数
在该定义
—
联系： 不定积分的实质是求一个函数的原函数组成的集合，
不定积分的第一换元法求出简单函数
换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
1. 第一换元法在不定积分和定积分中的联系与区别 1.1 不定积分中第一换元法的定理形式
定理 1 若
，且
的原函数容易求出，记
， 则
.
证明 若
，令
，于是有
因而
得证。 1.2 定积分中第一换元法的定理形式
定理 2 若 连续，
在
上一阶连续可导，且
构成的区间上连续，其中
存在且连 （ 1） （ 2）
2
—
证明 将（ 2）式右端求导同时注意到（ 1）式，得
这便证明了（ 2）式。 2.2 定积分中第二换元法的定理形式
定理 4 设 在
连续，作代换
导数
，且
，则
，
，其中
在
构成的区间上有连续
证明 设 是 的一个原函数，则
是
的一个原函数。于是
，
定理得证。 2.3 第二换元法在不定积分和定积分中的联系与区别
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